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方程(组)与不等式(组)
方程(组)与不等式

 

[组图]总复习五：几何专题(一)

查询数九年上复习的详细结果
目标认知
重点：
　　1、系统回顾平面几何直线形所学构建知识网络，明晰知识体系从问题的角度归纳概括所学;
　　2、总结概括面对‘直线形中相等关系证明’问题的一般化应对策略.

难点：
　　应对‘相等关系证明问题的策略’.

一、构筑知识体系网络，明晰问题类型
　

二、直观图、三视图、折叠展开图
　　1．如图所示是一个几何体的两个视图，求该几何体的体积(取3.14，长度单位cm)
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：从所给两个视图可以确定，设几何体是由两部分组成的，直观图如下图，下面是一个长方体，它的长、宽、高分别是30cm、25cm、40cm．上面是一个圆柱体，底面圆的直径是20cm，长为32cm，所以该几何体的体积是这两部分体积之和．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：长方体体积为：
　　　　圆柱体体积为：
　　　　
　　答：几何体体积为．
　　说明：本题的求解立足于观察与识别，属于较低层次.但作为考试题，则需要同学脱开具体图形而进入想象层面，即直接通过空间想象获得结论.

　　2．一个物体由几块相同的长方体叠成，它的二视图如图，试回答下列问题．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(1)该物体有几层高?
　　(2)该物体最长的地方有多长?
　　(3)最高部分位于哪里?
　　分析：由主视图、侧视图可见其高；由俯视图可见其长；由主视图、俯视图可见其最高部分．
　　解：(1)2层高；(2)3个单位长(一块长方体的长为1个单位)；(3)左边靠近观察者的两块长方体部分．
　　说明：对于物体的三视图的分析，可在平时多观察一些不同的物体，留心其三视图的情况．

　　3．用小方块搭一个几何体，使得它的主视图和俯视图如图所示，这样的几何体只有一种吗?它至少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?分别画出它们的几何体的左视图，并在左视图的小正方形中标出小立方块的个数．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析与解：本题主要考查由主视图、俯视图构建一个几何体的能力．解题的方法只要用小立方块按主视图与俯视图的要求搭一搭，问题迎刃而解．
　　　　　　
　　这样的几何体有9种，符合要求的几何体至少要8个小立方块，最多12个小立方块．如上图．
　　说明：本题属于知识回顾类型的问题，基本功扎实的学生比较容易求解它.
　　说明：本题给出了两个视图，要求学生绘制另一个视图，由于几何体尚未完全确定，因此具有一定的开放性.而且，“至少需要多少个小立方块?最多需要多少个小立方块?”要求学生能够根据图形“还原”出所有符合条件的几何体，可能具有较大的难度.

　　4．下面是一种剪纸方法的图示(先将纸折叠，然后再剪，展开即得到图案)：
　　
　　下面四个图案中，不能用上述方法剪出的是 ( )
　　
　　解析：选C
　　说明：本题实质是考查学生对图形的轴对称与中心对称性质理解与掌握的情况.解题时需要考生能从问题中发掘出这一内含信息、并将之数学化——所谓“能够剪出”，是指可以经过轴对称变换得到.

　　5．如图①，矩形纸片ABCD，AB=12cm，AD=16cm，现按以下步骤折叠：
　　(1)将∠BAD对折，使AB落在AD上，得折痕AF，如图②；
　　(2)将△AFB沿BF折叠，AF与DC交于点G，如图③.则GC的长为( )
　　(A)1cm；　　　 (B)2cm；　　　 (C)3cm；　　　 (D)4cm．
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：选D，折叠的实质是轴对称变换，关键抓住折叠前后的对应关联.

　　6．如图所示的立方体，将其展开得到的图形是( )
　　
　　解析：选D，此处考察我们空间想象能力，做此题关键是抓住4个选项分支所给的图能否折叠成正方体，并且折成的正方体中几个画图案的面的相对位置与原始图相吻合，若总是想不出，可以在日常生活中多积累拆盒子的经验.

二、三角形、四边形概念性质
　　1．下列哪一个角度可能成为某个多边形的内角和( )
　　A．260° 　　　B．1980°　　　 C．600° 　　　D．2180°
　　【分析】(1)多边形问题一般可转化为三角形问题来解决，从n边形的一个顶点出发可以连结(n-3)条对角线，可将n边形分割成(n-2)个三角形，内角和为(n-2)·180°，因此，n边形的内角和必为180°的整数倍．
　　(2)求正多边形的内角和，可先求其每个外角的度数，因为多边形的外角和是一个常量，即360°．正n边形的每个外角为，其每个内角即为.
　　【解】1980°是180°的整数倍，故选B．
　　【说明】本题要求学生熟记多边形的内角和与外角和公式，也可以利用公式求出多边形的边数，复习时要关注掌握用分割法确定多边形的对角线条数、三角形的个数等变化规律．

　　2．如图：以△ABC的三边为边在BC边的同侧作等边△ABD，等边△BCE，等边△ACF，则：
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(1)四边形ADEF是平行四边形吗?为什么?
　　(2)当△ABC满足________时，四边形ADEF是菱形?
　　(3)当△ABC满足________时，四边形ADEF是矩形?
　　(4)当△ABC满足________时，以A、D、E、F为顶点的四边形不存在.
　　分析与解答：
　　(1)根据△ABD，△BCE，△ACF都是等边三角形，可得到：BD=BA，∠DBE=∠ABC，BE=BC，
　 　　从而△BDE≌△BAC
　 　　∴ DE=AC
　 　　而 AC=AF
　 　　∴ DE=AF
　 　　同理：AD=EF
　 　　∴ 四边形ADEF是平行四边形.
　　(2)由(1)知，四边形ADEF是平行四边形，若要使ADEF为菱形，则应有AD=DE
　 　　∴ △ABC满足AB=AC≠BC
　　(3)由(1)知：四边形ADEF是平行四边形，
　 　　若要使ADEF是矩形，则应有∠DAF=90°，
　 　　而∠BAD=∠CAF=60°
　 　　∴ △ABC满足：∠BAC=150°
　　(4)要使以A、D、E、F为顶点的四边形不存在，则应有三点共线，即点A、D、F共线，
　 　　从而∠DAF=，而∠BAD=∠CAF=60°
　 　　∴ △ABC满足∠BAC=60°.

　　3．如图ABCD中，AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，交CD于点E、F，AE、BF相交于点M．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(1)试说明：AE⊥BF；
　　(2)判断线段DF与CE的大小关系，并予以说明．
　　【分析】要证AE⊥BF，可探求△ABM中∠BAE与∠ABF和的度数，通过正确识图分析，把已知条件巧妙转化．判断线段DF与CE的大小关系时，先探求DE与CF的大小关系，可在△ADE、△BCF中寻求相等的数量关系，再依据ABCD对边相等的性质过渡求证.
　　【解】(1)方法一：如图，
　　　　　　　　　　 ∵ 在ABCD中，AD∥BC，
　　　　　　　　　　 ∴ ∠DAB+∠ABC=180°，
　　　　　　　　　　 ∵ AE、BF分别平分∠DAB和∠ABC，
　　　　　　　　　　 ∴ ∠DAB=2∠BAE，∠ABC=2∠ABF.
　　　　　　　　　　 ∴ 2∠BAE+2∠ABF=180°，即∠BAE+∠ABF=90°.
　　　　　　　　　　 ∴ ∠AMB=90°.
　　　　　　　　　　 ∴ AE⊥BF.
　　　　　　 方法二：如图，延长BC、AE相交于点P，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　 ∵ 在ABCD中，AD∥BC，
　　　　　　　　　　 ∴ ∠DAP=∠APB.
　　　　　　　　　　 ∵ AE平分∠DAB，∴ ∠DAP=∠PAB.
　　　　　　　　　　 ∴ ∠APB=∠PAB.∴ AB=BP.
　　　　　　　　　　 ∵ BF平分∠ABC，∴ AP⊥BF，即AE⊥BF.
　　　　　(2)线段DF与CE是相等关系，即DF=CE，
　　　　　　 ∵ 在ABCD中，CD∥AB，∴ ∠DEA=∠EAB.
　　　　　　 又 AE平分∠DAB，∴ ∠DAE=∠EAB.
　　　　　　 ∴ ∠DEA=∠DAE.
　　　　　　 ∴ DE=AD.同理可得 ∴ CF=BC.
　　　　　　 又∵ 在ABCD中，AD=BC，∴ DE=CF.
　　　　　　 ∴ DE-EF=CF-EF，即DF=CE.
　　【说明】本题考查了平行四边形的性质、角平分线的定义、垂直的定义、等腰三角形的性质等知识的综合应用，同时本题的第(2)问也是一道开放性试题.

　　4．已知如图，在△ABC中，AB=AC，若将△ABC绕点C顺时针旋转180°得到△FEC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(1)猜想AE与BF有何关系？说明理由；
　　(2)若△ABC面积为，求四边形ABFE的面积；
　　(3)当∠ACB为多少度时，四边形ABFE为矩形？说明理由.
　　【分析】根据图形旋转的性质可证△ACE≌△FCB，其实旋转变换后，△ABC与△FEC关于点C成中心对称；欲判断ABFE为矩形，可考虑证明对角线AF=BE，再探求∠ACB的度数.
　　【解】(1)旋转可知，AC=CF，BC=CE，∠ACE=∠BCF，
　　　　　　 ∴ △ACE≌△FCB，∴ AE=BF，∠EAF=∠BFA.
　　　　　　 ∴ AE∥BF.即AE与BF的关系为平行且相等.
　　　　　(2)由(1)知：.又∵ BC=CE，∴ .
　　　　　　 同理，.∴ .
　　　　　(3)当∠ACB=60°时，四边形ABFE为矩形.
　　　　　　 理由：∵ BC=CE，AC=CF，∴ 四边形ABFE为平行四边形．
　　　　　　 当∠ACB=60°时，△ABC为等边三角形．
　　　　　　 ∴ BC=AC，∴ AF=BE，∴ 四边形ABFE为矩形．
　　【说明】《新课标》在四边形内容中加强了与对称、平移、旋转几何变换的联系．本题以两图形成对中心对称的特性为背景设计，结合三角形全等、特殊四边形的性质与判断进行考查．在复习时要加强几何变换中识图能力的训练及经验累积．

　　5．将两张宽度相等的矩形纸片叠放在一起得到如图所示的四边形ABCD．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(1)求证：四边形ABCD是菱形；
　　(2)如果两张纸片的长都是8，宽都是2．那么菱形ABCD的周长是否存在最大值或最小值?如果存在，请
　 　　求出来；如果不存在，请简要说明理由．
　　【分析】第(1)题寻求AD、AB的数量关系，依据有一组邻边相等的平行四边形是菱形进行判别；第(2)题，动手实验操作寻求两矩形纸片的特殊位置关系．①互相垂直；②对角线重合时，探求菱形ABCD周长的最大值、最小值．
　　【解】(1)如图，∵ AD∥BC， AB∥DC，　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　 ∴ 四边形ABCD为平行四边形．
　　　　　　 分别过点B、D作BF⊥AD，DE⊥AB，垂足为点F、E，
　　　　　　 则DE=BF．
　　　　　　 ∵ ∠DAE=∠BAF，∴ Rt△DAE≌Rt△BAF，∴ AD=AB．
　　　　　　 ∴ 四边形ABCD是菱形．
　　　　　(2)存在最大值和最小值．
　　　　　　 ①当∠DAB=90°时，菱形ABCD为正方形，周长最小值为8；
　　　　　　 ②当AC为矩形纸片的对角线时，设AB=x，如图，
　　　　　　 在Rt△BCG中，，.
　　　　　　 ∴ 周长最大值为17．
　　【说明】本题涉及了菱形的判断、矩形的性质、三角形的全等、勾股定理及函数的综合应用，考查了学生灵活运用四边形知识识别图形、动手操作探究的能力．
　　这部分内容中考中常以填空题、选择题、证明题、计算综合题、探究操作题的形式呈现，重点考查：三角形成立的条件，直角三角形等腰三角形正三角形的概念性质，全等三角形的判定性质，平行四边形及特殊平行四边形的性质在实际中的应用、梯形问题及多边形问题的研究方法，但题目的出现多是立足于知识间的相互联系，综合考查同学的动手操作和实践创新能力，识图、分析、灵活运用几何知识解决实际问题的能力及探索、发现问题的能力，我们可以立足于问题类型梳理每大类问题的应对策略，提高我们综合运用知识方法的能力.
　　就问题方法来分类，我们可以将这部分问题分为：相等关系证明、和差倍分问题的证明、平行垂直关系的证明、计算类问题.

三、相等关系证明
　　1．已知：在△ABC中，D、E、F分别为边AB、AC、BC边的中点，AH⊥BC于点H，连接DF、EF、DH、EH.
　　求证：∠DFE=∠DHE
　　解析：法一：△FDE≌△HED →
　　　　　法二：
　　　　　　　　……

　　2．已知：如图，四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，∠ADC=∠BCD，AD=BC，
　　　　　　求证：AO=BO
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：……
　　　　　
　　　　　或再证.

　　3．如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，AF平分∠CAB交CD于E，交CB于F，且EG∥AB交CB于G，判断CF与GB的大小关系，并证明你的结论.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：法一：转化为证CG=BF
　　　　　　　　
　　　　　　　　导角
　　　　　法二：作转化证
　　　　　　　　

　　4．已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，D为BC的中点，CE⊥AD于点E，交AB于点F，连接DF.求证：∠ADC=∠BDF.
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：法一：作CH⊥AB于H交CD于G，证△BDF≌△CDG
　　　　　　　　←CG=BF←△ACG≌△CBF
　　　　　法二：过B作BK⊥CB于B交CF延长线于K
　　　　　　　　→△ACD≌△CBK→△DFB≌△KFB
　　　　　法三：考虑设数计算出∠ADC与∠FDM的正切值，设DE=1,则→CE=2，AE=4，AC=，CD=，
　　　　　　　　过F作FM⊥BD于M，过B作BH⊥AD延长线于H→(BH=2，)，
　　　　　　　　.
小结：面对‘相等问题’的一般化策略
　　1°先看待证目标各自所在的三角形是否全等
　　2°两个待证对象是否在同一个特殊图形：等腰三角形、平行四边形……
　　3°考虑转化
　　①等式性质：加上或减去同一部分
　　如 例2．OA=OB←BD-OD=AC-OC
　　　 例3．CF=BG←CG=BF
　　②特殊图形转化
　　如例3．CF→CG 　　　　　　　　　　BG→EH
　　　　　　　 ↑ 　　　　　　　　　　　↑
　　　　　 等腰三角形 　　　　　　　平行四边形
　　 　　　　　↓ 　　　　　　　　　　　↓
　　 例1．∠DHA+∠EHA=∠DAH+∠EAH， ∠DAE=∠DFE
　　③构选全等转化
　　如例3．CE=EH←△ACE≌△AHE
　　　　　 CG=BF←△CEG≌△FHB
　　例4．
　　4°通过数据计算出来
　　如例4．法三.

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