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[组图]中考总复习八:相似、解三角形

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一、复习建议:
  1、本章节是数学家族非常古老的两个分支,悠久的研究史积累了丰富的素材,有许多启迪思维但又非常困难的内容,面对中考复习,时问很紧,故复习时一定要结合考试课标明确考试范围、内容、要点,进行有针对性地复习。
考试内容 考试要求层次
A B C
空间图形(部分)   比例线段 了解比例的基本性质,了解线段的比、成比例线段,会判断四条线段是否成比例,会利用线段的比例关系求未知线段;了解黄金分割 会用比例的基本性质解决有关问题  
三角形 相似三角形 了解两个三角形相似的概念 会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算;会利用三角形的相似解决一些实际问题  
四边形 相似多边形 知道相似三角形及其性质认识现实生活中物体的相似 会用相似多边形的性质解决简单的问题(只要求用相似三角形解决问题)  
  位似 了解图形的位似关系 能利用位似变换将一个图形放大或缩小  
直角三角形 锐角三角形 了解锐角三角函数();知道30°,45°,60°角的三角函数值 由某个角的一个三角函数值,会求这个角的其余两个三角函数值(设比法);会计算含有30°,45°,60°角的三角函数式的值 能运用三角函数解决与直角三角形有关的简单问题
解直角三角形 知道解直角三角形的意义 会解直角三角形:能根据问题的需要添加辅助线构造直角三角形;会解由两个直角三角形构成的组合图形的问题 能综合运用直角三角形的性质解决有关问题(不含测量、设计方案)

  2、在具体题例面前,准确运用所学知识方法分析解决问题并巩固落实所学.

二、例题
  1.(1)如果两个相似三角形的相似比是1:4,那么这两个三角形周长的比是________。
  (2)如图,在平行四边形ABCD中,E为DC边的中点,AE交BD于点O,若
     则 _____。
                    
  (3)如图所示,CD为Rt△ABC斜边上的高,AC:BC=3:2,如果,那么等于( )
                   
  A.2    B.3    C.4    D.5
  (4)下列四个三角形中,与右图中的三角形相似的是( )
  
  解析:
  (1)1:4 依据:周长比、对应线段比都等于相似比
  (2) 依据:面积比等于相似比的平方
  (3)选C 依据:△ADC∽△CDB
  (4)选B 观察右图中△ABC为直角三角形,且三边之比为:

  2.已知:△ABC中,点D在AC上,∠ABD=∠C,若AB=4,AC=8,求AD的长。
                      
  解析:
     
     得 AD=2

  3.(1)已知△ABC中,∠C=90°,D、E在BC上,BD=DE=EC=AC,
                 
         <1>则图中△________∽△________,并证明你的结论;
         <2>求∠B+∠ADE的度数.
  解析:<1>△ADE∽△BAE
     
     <2>∠B+∠ADE=45°
     由∠B=∠DAE 有∠B+∠ADE=∠DAE+∠ADE=∠AEC=45°

  (2)已知:如图,在正方形网格中,△GHK的顶点都在格点上。
     <1>利用正方形网格求作△ABC,使△ABC∽△GHK;
     <2>∠HGK的度数.
  解析:(1)取点D如图,连结HD、DG得等腰Rt△HDG
        故知∠HGK=135°,
        故可作△ABC如图示。
             

  4.如图,在平面直角坐标系中,等腰梯形AOBC的四个顶点坐标分别为。在第一象限内确定点M,使△MOB与△AOB相似,求出所有符合条件的点M的坐标。
  解析:首先△MOB与△AOB相似,关键哪点与哪点互相对应,其次关注△AOB的特殊性,∠OAB=90°,
     ∠AOB=60°。
     ①若 ,即△MOB∽△AOB,则△MOB≌△AOB,M与A重合,
     ②△MBO∽△AOB
     ③△OMB∽△AOB不在I象限
     ④△OBM∽△AOB不在I象限
     ⑤△BOM∽△AOB
     ⑥△BMO∽△AOB
     综上,
  评述:1、结合问题的解决,在解决问题过程中通常都通过几个基本图形:
  
    
  2、导角
            

  5、(1)在△ABC中,∠C=90°,若AB=2,BC=1,则的值是( )
         A.    B.    C.    D.

  (2)下列的命题中,真命题的个数是( )
  ①    ②
  ③
  A.0;    B.1;    C.2;    D.3;

  (3)△ABC中,∠A,∠B都是锐角,且,则∠C的度数是( )
  A.90°    B.75°    C.60°    D.105°

  (4)在△ABC中,∠C=90°,AC=8cm,AB的垂直平分线MN交AC于D,连结BD,若,则
     BC的长是( )
  A.8cm    B.6cm    C.4cm    D.10cm

  (5)如图,已知AB是半圆O的直径,弦AD、BC相交于点P,若∠DPB=,那么等于( )
                   
  A.    B.    C.    D.
  解析:(1)D (2)A (3)D (4)C (5)B
  提示:(4)认真
                  
      (5)连结BD,在Rt△BPD中, 又由相似可得

  6.(1)△ABC中,D为BC边的中点,∠BAD=90°,,则________.
                   

  (2)如图,在△ABC中,∠BAC=120°,AB=10,AC=5,则________. ________.
                  

  (3)已知:△ABC的边边上的高,则BC=________.

  (4)已知:△ABC中,∠ACB=105°,∠A=30°,AC=8,则AB=________;BC=________.

  解析:(1)的直角三角形过D作中位线DE(或倍长中线)
        又由可设
     (2)构造直角三角形过C(or B)作高特殊角三角函数
       
     (3)→图:
        →BC=2或4
     (4)→图:
        →过C作高CD
        →.

  7.如图,∠ACB=∠ABD=90°,AB=5cm,AC=3cm,BD=。求:四边形ABDC的面积。
                    
  解析:
     过C作CE⊥BD于E,∠BCE=∠ABC→
     →。又.

  8.如图,某同学在测量小山CD的高度时,在地面的A处测得山顶C的仰角45°,向前走20米到达B处,在B处测得山顶C的仰角为60°,求小山CD的高度。
                   
  解析:设,则依题设
     ∴

  9.如图,在直角坐标平面内,O为原点,点A的坐标为(10,0),点B在第一象限内,BO=5,。求:(1)点B的坐标;(2)的值。
                   
  解析:使用三角函数,→ 构造直角三角形 →过B作BC⊥x轴于C,由BO=5,
     →BC=3,OC=4→B(4,3)
     →AC=6→AB=

  10.如图所示,有一块塑料模板ABCD,长为10cm,宽为4cm,将你手中足够大的直角三角板PHF的直角顶点P落在AD边上(不与A、D重合)在AD上移动三角板顶点P:
                   
  ①能否使你的三角板两直角边分别通过点B与点C?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由。
  ②再次移动三角板位置,使三角板顶点P在AD上移动,直角边PH始终通过点B,另一直角边PF与DC的延
   长线交于点Q,与BC交于点E,能否使CE=2cm?若能,请你求出这时AP的长;若不能,请说明理由。
  解析:①能,此时△BAP∽△PDC 设,则有
     ②能。设,又
        ∴ .

总结评述:
  三角函数知识是今后解决许多问题的工具,要:
  1.在直角三角形中熟记三角函数的定义
   
   
  2.通过两个特殊直角三角形准确记住30°,45°,60°角的三角函数值.
         

  3.非直角三角形类的问题,转化思路:
      
    两个基本图
          

  4.在较为复杂的图示中进行计算时要想着三角工具的使用.

来源:中国哲士网

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