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[组图]平行线分线段成比例定理

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一、成比例线段的相关概念
　　对于四条线段a、b、c、d，如果其中两条线段的长度的比等于另外两条线段的长度的比，如(或a：b=c：d)，那么，这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段．此时也称这四条线段成比例．
　　例1．判断下列线段a、b、c、d是否是成比例线段：
　　(1)a=4，b=6，c=5，d=10；
　　(2)a=2，b=，c=，d=．
　　解：(1) ∵　，，
　　　　　　∴　，
　　　　　　∴　线段a、b、c、d不是成比例线段．
　　　　(2) ∵　，，
　　　　　　∴　，
　　　　　　∴　线段a、b、c、d是成比例线段．
　　　　　　对于成比例线段我们有下面的结论：　
　　　　　　如果，那么ad=bc．
　　　　　　如果ad=bc(a、b、c、d都不等于0)，那么．
　　　　　　以上结论称为比例的基本性质．

　　例2．证明：(1)如果，那么；
　　　　　　　 (2)如果，那么．
　　证明：(1) ∵，
　　　　　　　在等式两边同加上1，
　　　　　　　∴　，
　　　　　　　∴　．
　　　　　(2) ∵ ，
　　　　　　　∴　ad=bc，
　　　　　　　在等式两边同加上ac，
　　　　　　　∴　ad＋ac=bc＋ac，
　　　　　　　∴　ac-ad=ac-bc，
　　　　　　　∴　a(c-d)=(a-b)c，
　　　　　　　两边同除以(a-b)(c-d)，
　　　　　　　∴　．

二、平行线分线段成比例定理
　　平行线分线段成比例定理是研究相似三角形的最重要和最基本的理论.它一方面可直接判定线段成比例，另一方反面也可用辅助平行线转移比例.
1.平行线分线段成比例定理：
　　三条平行线截两条直线所得的对应线段成比例.
　　如图1-1
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1-1
　　若，则，(或；或)
　　定理的证明
　　过A点作AN∥DF，交l2于M，交l3于N 点，连接 BN、CM(如图(1-2)
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图1-2
　　∵
　　∴AM=DE MN=EF
　　在△ACN中，有.
　　∵BM∥CN ∴S△BCM=S△BMN
　　∴ 亦即
　　如何理解定理结论中“所得对应线段成比例”呢？
　　“对应”是数学的基本概念，图1-1中，在的条件下，可分别推出如下结论之一：
　　(1) 简称“上比下”等于“上比下”
　　(2) 简称“上比全”等于“上比全”
　　(3) 简称“下比全”等于“下比全”
　　把这个定理运用于三角形中就得到它的重要推论.

2.平行于三角形一边的直线的判定和性质(“A”、“X”型)
　　主要的基本图形：
　　　
　　 　　　(图1) 　　　　　　　　　　　平行线分线段成比例 　　　　　　　　　　(图2)
　　图1、2中，有定理：平行于三角形一边的直线截其他两边或延长线，所得的对应线段成比例(可看作性质1).及其逆定理：如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角形的第三边(可看作判定).
　　以及定理：平行于三角形的一边，并且和其他两边(或两边的延长线)相交的直线所截得的三角形与原三角形的三边对应成比例(可看作性质2).
　　对“A”、“X”型的特征分析：A点是两相交直线的交点，D、E和B、C是两平行线和相交直线的交点，(共5点)，其中作比的三点在一条直线上(AD：AB=AE：AC中，A、D、B在一条直线上，A、E、C在一条直线上.)在作辅助线的时候我们可以观察这些特征.而可以作比的六个点中如果有两个点是同一个点，那么过这个点作平行线往往可以一举多得.
　　注意点：
　　(1)平行线分线段成比例没有逆定理
　　(2)判断平行线的条件中，只能是被截的两条直线的对应线段成比例(被判断的
　 　　平行线本身不能参与作比例)
　　(3)有些时候我们也要注意图3，DE//BC，则DF：FE=BG：GC
　　(4)由于平行线分线段成比例定理中，平行线本身没有参与作比例，因此，有关
　 　　平行线段的计算问题通常转化到“A”、“X”型中.

典型例题
　　1．如图2-1 已知△ABC中AB=AC，AD⊥BC，M是AD的中点，CM交AB于P，DN∥CP交AB于N，若AB=6cm，求AP的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2-1
　　解：∵AB=AC，AD⊥BC
　　　　∴BD=DC
　　　　∵DN∥CP
　　　　∴BN=NP又AM=MD
　　　　∴AP=PN==2cm
　　点评：此题利用平行线分线段成比例定理，结合中点定义找出线段的比值，进而求出线段的长.

　　2．(如图2-2)已知直线截△ABC三边所在的直线分别于E、F、D三点且AD=BE.
　　　　　　求证：EF：FD=CA：CB.
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2-2
　　分析：欲证这类比例线段问题，常利用平行线分线段成比例定理.作平行线是十分重要的，问题在于经过哪个点作哪条直线的平行线？从图中各线段之间的相互位置可知，在△DEC中要得到EF：FD相等的比缺少过D作FB的平行线，只要过D作DK∥AB交BC于K点便得.在△ABC中要得到相等的比，且利用AD=EB的条件也缺少过D且与FB平行的直线，得到.
　　因此过D作DK∥AB交BC于K点是有利于问题解决的一种辅助线的作法.
　　证法(一) 过D作DK∥AB交EC于K点.
　　　　　　 则：
　　　　　　　　 亦即
　　　　　　 又AD=BE
　　　　　　 ∴.
　　证法(二) 过E作EP∥BA交CA的延长线于P是解决此问题的第二种辅助线作法.
　　证法(三) 过D作DN∥BC交AB于N也可解决此问题.

　　3．AM是△ABC的中线，P是AM上任意一点，BP、CP的延长线分别交AC、AB于E、D两点.
　　　　　　求证：DE∥BC.
　　分析：如图2-3
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　图2-3
　　欲证DE∥BC，只需证
　　∵P是AM上任意一点，若延长AM至H且，则问题获解.这样需要DP∥BH且PE∥HC，
　　从而需证四边形BPCH为平行四边形，又M是BC边的中点，故只须使HM=MP即可.
　　证明：延长AM到H，使HM=MP，连接BH、CH
　　　　　∵BM=MC
　　　　　∴四边形BPCH是平行四边形
　　　　　∵BH∥CD，CH∥BE
　　　　　在△ABH和△ACH中
　　　　　有
　　　　　∴DE∥BC
　　点评：证明本题的关键利用辅助线转移比例，本题证明在△ABH中有.
　　注意防止出现的错误，即须注意：平行线所截得的对应线段成比例，而两条平行线中的线段与所截得的线段不成比例.

来源：中国哲士网

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