一、目标认知
学习目标
　　1.知道解直角三角形的含义.
　　2.会解直角三角形；能根据问题的需要合理作出垂线，构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题.
　　3.会解有特殊条件的四边形中的计算问题.

学习重点和难点
　　1.重点是能灵活选用直角三角形和边角关系解直角三角形，培养应用三角函数的意识.
　　2.难点是能构造直角三角形解决解斜三角形问题.

二、教学内容解析
　　这部分知识是解决数学问题的工具，用得巧妙可以使问题得到较好的解决，也可使过程更为简洁.因此，在学习时，要有意识地形成应用三角函数的知识解决问题的意识.

1.解直角三角形
　　在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形.
　　〈注〉解直角三角形，需把所有的边、角都求出来(不包括直角).

2.解直角三角形的依据
　　在直角三角形中有6个元素(三边三角)，它们具有如下关系：
　　(1)边之间的关系：(勾股定理)
　　(2)角之间的关系：(两锐角互余)
　　(3)边、角之间的关系：
　　 　①；.
　　　 ②；.
　　(4)其它：射影定理；直角三角形斜边中线等于斜边的一半；三角形面积公式等.

3.解直角三角形的一般解法
　　在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素(其中至少有一个是边)，这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素.

中的已知条件		一般解法
一 边 一 角	斜边c和一个锐角A	(1)；(2)；(3).
	一直角边a和一锐角A	(1)；(2)；(3).
	一直角边b和一锐角A	(1)；(2)；(3).
两 边	斜边c和一直角边a	(1) (2)根据求、.
	两直角边a和b	(1) (2)；(3).

三、例题分析
1.能根据锐角三角函数的定义求解
　　1.如图，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=，且cos=，AB=4，则AD的长为(　 ).
　　A.3　　　　　　 B.
　　C.　　　　　 D.

　　分析：首先分析出∠BAC=∠ACD=∠ADE=，而已知边AB恰好是∠BAC所在的直角三角形的一条直角边，因此应该在中根据cos∠BAC的定义间接求出BC的长，从而求出AD的长.
　　解：易证∠BAC=∠ADE=，
　 　　 在中，，
　 　　　，
　　　　.
　　　　选B.
　　说明：可能有的同学会根据以前的知识，设，从而得出，最终算出，这样当然是很好的.但是，对于这种过去就比较熟悉的问题，应该尝试用新的观点去看待它、用新的方法去求解，逐渐形成使用锐角三角函数解题的意识.

2.能通过适当地做垂线，构造直角三角形；会解由两个特殊直角三角形构成的组合图形的问题(和斜三角形有关的问题)
(1)了解斜三角形可解的条件：
　　对于“SAS、ASA、AAS、SSS”，问题有唯一解；
　　对于“SSA”，问题可能无解、唯一解或两解；
　　对于“AAA”，问题无解.

(2)归纳为两类基本图形：
　　　　　　　　　 　　
　　2.如图，在中，，D是BC边上的一点，，，记.
　　(1)试写出的三个三角函数值；
　　(2)若，求BD的长.

　　解：
　　(1)，，，
　　　　
　　　　，
　　　　　，
　　　　　.
　　(2)若，则，
　　　　，
　　　　.
　　注意：两个角相等，则它们的相同的锐角三角函数值也相同.

　　3.已知：中，，，AB=，求AC、BC的长及的面积.

　　分析：要解含有特殊角(或已知角的三角函数值)锐角三角形，往往要作某条边上的高线，将其分成两个直角三角形，且使已知角成为构造的直角三角形的一个内角，以便展开推理和计算.
　　解：作于D，且设，
　　　　则，，，，
　　　　，
　　　　，
　　　　，，
　　　　.

　　〈变式〉已知：中，，，，求的长.

　　分析：本题中三角形的已知条件为“SSA”，所以要注意分类讨论.首先要正确画出图形，再根据条件进行推理和计算.
　　解(略)：如图，作于D.
　　　　　　 若为钝角，则；
　 　　　　　若为锐角，则.
　　　　　　.

3.解直角三角形的应用
(1)求线段长和面积
　　4.如图，，AD⊥BC于D， ∠B=45°，CD=1，，求AC的长.

　　解：设，则，
　　　　 .
　　　　 解得(舍)，；即.
　　　　 .

　　5.已知中，，，BC=1，求.

　　解：在AC上取点D，使，
　　　　则，.
　　　　，
　　　　，
　　　　 ，
　　　　.
　　注意：通过本题构造的两个直角三角形，可以求出.

　　〈变式1〉当且其它条件不变时，求.

　　解(略)：类似地，可以求出.
　　　　　　同理，可知.

　　〈变式2〉已知：如图，在中，，，，.求的长.

　　解：，
　　　　，
　　　　.


　　6.如图，在中，∠C=90°，D是BC边的中点，DE⊥AB于E，tanB=，AE=7，求DE.

　　解：，
　　　　.
　　　　设，
　　　　则，，，
　　　　，
　　　　.

(2)解有特殊条件的四边形问题
　　7.在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AB=2，CD=1， ∠A=60°，求AD、BC的长.

　　解：延长AD、BC相交于点E.
　　　　∠B=90°，∠A=60°，
　　　　，
　　　　；
　　　　同理，，.
　　　　，
　　　　.
　　注意：本题也可延长DC、AB后相交于一点，构造两个直角三角形.但是如果这样，已知边AB和CD将不容易直接使用，需要列方程求解，因此不主张此种构造方法.

　　8.在四边形ABCD中，∠BCD=120°，∠ABC=75°，CD=4，BC=，cosA=，求AD的长.

　　分析：已知条件众多，似乎难以入手.在已知的三个角度之中，只有∠BCD是特殊角60的补角，可以考虑从此入手展开分析.过点D作的延长线于E，则可知，，进而得，于是，，所以，可得.最后根据cosA=，可求出.
　　解(略)：根据分析，可解得.