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方程(组)与不等式(组)
方程(组)与不等式

 

[组图]相似三角形单元复习

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一、知识要点、重点：
　　1．进一步巩固和熟练掌握相似三角形的判定方法，通过寻找或构造相似三角形以便于计算线段的长度
　 　　和比例或证明角等、线段成比例等.
　　2．进一步巩固和熟练掌握相似三角形的性质的应用，加深对面积方法的理解和应用.
　　3．加深对对应的理解，渗透分类思想，提升数学思维的严密性.

二、几组常见相似基本图形：
　　平行线型
　　　　　　　　　　　　
　　相交线型
　　　　　　　　　　　　
　　旋转型
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　双“⊥”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

三、例题分析：
　　1．如图，矩形草坪长20m，宽16m，沿草坪四周有2m宽的环形小路，小路内外边缘所形成的两个矩形相似吗？为什么？
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：因为矩形的四个角都是直角，所以关键是看矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比是否相等.
　　解：，
　　　　
　　　　而，∴
　　　　∴矩形ABCD与矩形EFGH的对应边的比不相等，因而它们不相似.
　　两个边数相同的多边形，必须同时满足“对应边的比都相等，对应角都相等”这两个条件才能相似，缺一不可.

　　2. △ABC∽△DEF，若△ABC的边长分别为5cm、6cm、7cm，而4cm是△DEF中一边的长度，你能求出△DEF的另外两边的长度吗？试说明理由.
　　分析：因没有说明长4cm的线段是△DEF的最大边或最小边，因此需分三种情况进行讨论.
　　解：设另两边长是xcm，ycm，且x<y.
　　　　（1）当△DEF中长4cm线段与△ABC中长5cm线段是对应边时，有，
　　　　　　 从而x=cm，y=cm.
　　　　（2）当△DEF中长4cm线段与△ABC中长6cm线段是对应边时，有，
　　　　　　 从而x=cm，y=cm.
　　　　（3）当△DEF中长4cm线段与△ABC中长7cm线段是对应边时，有，
　　　　　　 从而x=cm，y=cm.
　　　　　　 综上所述，
　　　　　　 △DEF的另外两边的长度应是cm，cm或cm，cm或cm，cm三种可能.
　　一定要深刻理解“对应”，若题中没有给出图形，要特别注意是否有图形的分类.

　　3．矩形ABCD中，BC=3AB，E、F是BC边的三等分点，连结AE、AF、AC.问：图中是否存在非全等的相似三角形？请证明你的结论.
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解析：观察本题的图形，如果存在相似三角形只可能是“相交线型”的相似三角形，即△EAF与△ECA.
　　答：存在，是△EAF与△ECA.
　　证明：设AB=a，∵BC=3AB，
　　　　　∴BC=3a.
　　　　　又∵E、F是BC边的三等分点，
　　　　　∴BE=EF=FC=a，EC=2a.
　　　　　在△ABE中，由勾股定理可求AE=.
　　　　　在△EAF与△ECA中，∠AEF为公共角，且，
　　　　　∴△EAF∽△ECA（两组对应边的比相等且夹角相等的两个三角形相似）.
　　说明：以上用了相似三角形的判定定理：“两组对应边的比相等且夹角相等，两三角形相似”，该定理的灵活应用是学习上的难点所在，应注重加强训练.

　　4．已知，如图，D为△ABC内一点连接BD、AD，以BC为边在△ABC外作∠CBE=∠ABD，∠BCE=∠BAD，BE、CE交于E，连接DE.
　　求证：△DBE∽△ABC.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：由已知条件∠ABD=∠CBE，∠DBC公用.
　　　　　所以∠DBE=∠ABC，要证的△DBE和△ABC，
　　有一对角相等，要证两个三角形相似，或者再找一对角相等，或者找夹这个角的两对应边的比相等.从已知条件中可看到△CBE∽△ABD，这样既有相等的角，又有对应边的比相等，问题就可以得到解决.
　　证明：在△CBE和△ABD中，
　　　　　∵∠CBE=∠ABD， ∠BCE=∠BAD，
　　　　　∴△CBE∽△ABD.
　　　　　∴.
　　　　　∴.
　　　　　又∵∠CBE=∠ABD，
　　　　　∴∠CBE+∠DBC=∠ABD+∠DBC.
　　　　　即∠DBE=∠ABC.
　　　　　∴△DBE∽△ABC.
　　说明：本题应用综合分析法，既用到了相似三角形的性质，又用到了相似三角形的判定，要求对四种判定方法和八种基本图形要熟练掌握.

　　5．如图，我们想要测量河两岸相对应两点A、B之间的距离(即河宽) ，你有什么方法？方案：先从B点出发与AB成90°角方向走50m到O处立一标杆，然后方向不变，继续向前走10m到C处，在C处转90°，沿CD方向再走17m到达D处，使得A、O、D在同一条直线上.那么A、B之间的距离是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：这是一道测量河宽的实际问题，题中借用相似三角形的对应边的比相等，比例式中四条线段，测出了三条线段的长，必能求出第四条.
　　解：∵AB⊥BC，CD⊥BC，
　　　　∴∠ABO=∠DCO=90°.
　　　　又 ∵ ∠AOB=∠DOC，
　　　　∴△AOB∽△DOC. ∴.
　　　　∵BO=50m，CO=10m，CD=17m，∴AB=85 m.
　　　　答：河宽为85m.
　　本题利用了“”型基本图形，实际上测量河宽有很多方法，可以用“”型基本图形，借助相似；也可用等腰三角形等等.

　　6．如图，三角形ABC是一块锐角三角形余料，边BC=120mm，高AD=80mm，要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB、AC上，这个正方形零件的边长是多少？
　　　　　　　 　　　　　
　　分析：把所需正方形按题中所述要求画出，发现利用相似三角形对应高的比等于相似比能较快地解决问题.
　　解：设正方形PQMN为加工成的正方形零件. 边QM在BC上，顶点P、N分别在AB、AC上.
　　　　△ABC的高AD与边PN相交于点E. 设正方形的边长为毫米.
　　　　∵四边形PQMN是正方形，
　　　　∴PN∥BC.
　　　　∴△APN∽△ABC，△APE∽△ABD.
　　　　∴，
　　　　∴.
　　　　∴.
　　　　解得：（毫米）.
　　　　答：加工成的正方形零件的边长为48毫米.
　　思考：若把例3中的三角形余料，加工成矩形，且PN=2PQ时，PN是多少？

　　7．利用位似图形的方法把五边形ABCDE放大1.5倍.
　　分析：即是要画一个五边形A′B′C′D′E′，要与五边形ABCDE相似且相似比为1.5.
　　解：画法是：
　　　　　　　　 　　　　　
　　1．在平面上任取一点O.
　　2．以O为端点作射线OA、OB、OC、OD、OE.
　　3．在射线OA、OB、OC、OD、OE上分别取点A′、B′、C′、D′、E′，
　 　　使OA′: OA= OB′:OB=OC′:OC=OD′:OD=OE′:OE=1.5.
　　4．连结A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′.
　 　　这样：.
　 　　则五边形A′B′C′D′E′为所求. 另外一种情况，所画五边形跟原五边形分别在位似中心的两侧.
　　说明：由题可知，利用位似的方法，可以把一个多边形放大或缩小.

　　8．在梯形中，，，，点分别在线段上（点与点不重合），且，设，.
　　（1）求与的函数表达式；
　　（2）当为何值时，有最大值，最大值是多少？
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）在梯形中，，
　　　　　　 ，，
　　　　　　 ，.
　　　　　　 ，，.
　　　　　　 . .
　　　　　　 ，，.
　　　　　　 与的函数表达式是；
　　　　（2）.
　　　　　　 当时，有最大值，最大值为.

　　9．（广东）正方形边长为4，*、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，
　　（1）证明：；
　　（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；
　　　　 当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；
　　（3）当点运动到什么位置时，求此时的值.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：此题涉及正方形的性质；相似三角形判定和性质；直角梯形；与二次函数有关的面积问题；二次函数的极值问题；相似三角形有关的计算和证明.
　　解：（1）在正方形中，
　　　　　　 ，，
　　　　　　 ，，
　　　　　　 在中，，
　　　　　　 ，，
　　　　（2），
　　　　　　 ，，
　　　　　　 ，
　　　　　　 当时，取最大值，最大值为10.
　　　　（3），要使，必须有，
　　　　　　 由（1）知，，
　　　　　　 当点运动到的中点时，，此时.

来源：中国哲士网

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