目标认知
学习要求：
　　1．能综合运用相似三角形的判定及性质解决数学问题（主要是求线段的长以及证明比例线段）和实际
　 　　问题.
　　2．了解位似的特征及简单的位似变换，在给定位似中心和位似比的情况下会画一个图形的位似图形，
　 　　能利用位似的性质解决简单的实际问题.
　　3．熟练掌握一些基本图形，培养对图形的识别能力,并能通过构造基本图形迅速找到解决问题的途径.

学习重点：
　　综合运用相似三角形的判定及性质解决数学问题和实际问题.

学习难点：
　　将问题中涉及到的线段放到或构造到相似三角形中，转化为相似三角形的知识解决问题.

突破难点的关键：
　　熟练掌握一些基本图形，提高对图形的感知能力.

例题分析：
一、相似三角形的应用
1、求线段的长.
　　1、如图，△ABC中，AD是角平分线，DE∥AB交AC于E， AB=12，AC=8，求DE的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：由DE∥AB，可得△CED∽△CAB，于是有；
　　　　　而已知线段AC的长，故考虑用，在这个比例式中，DE是要求的，AB、AC是已知的，
　　　　　故需要将CE转化为已知或用DE的代数式表示.由AD是角平分线，DE∥AB，可知DE=AE，
　　　　　问题可以得到解决.
　　解：∵DE∥AB
　　　　∴∠EDA=∠DAB ， △CED∽△CAB，
　　　　∴
　　　　又∠EAD=∠DAB ， ∴∠EAD=∠EDA， ∴AE=ED
　　　　∴
　　　　∵AB=12，AC=8，
　　　　∴， 解得DE=4.8.

　　2、如图，在△ABC中，D为AC边上一点，∠DBC=∠A，BC=，AC=3，求CD的长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：将已知线段和要求的线段在图形中分别标识出来不难发现，AC和BC是△ABC的两边，BC和CD是△CDB的边，观察图形，这两个三角形有一对公共角∠C，再由已知∠DBC=∠A，可得这两个三角形相似，问题得到解决.
　　解：∵∠C=∠C ，∠DBC=∠A ，
　　　　∴△CBD∽△CAB，
　　　　∴，
　　　　∵BC=，AC=3， ∴ ，解得CD=2.
　　小结：求线段的长的问题通常利用比例线段来求，从而将问题转化为判定两个三角形相似，此时要将已知线段和要求的线段在图形中标识出来，然后观察和分析能否有由它们为边的两个三角形相似.通常要观察图形中是否有 “A”字形或“X” 字型或公共角型.

2、求线段的比或证明比例线段
　　3、△ABC中，DE∥BC，M为DE中点，CM交AB于N，若，求.
　　解：∵DE∥BC ，∴△ADE∽△ABC
　　　　∴
　　　　∵M为DE中点， ∴
　　　　∵DM∥BC ， ∴△NDM∽△NBC
　　　　∴
　　　　∴=1:2.
　　小结：图中有两个“A”字形，已知线段AD与AB的比和要求的线段ND与NB的比分别在这两个“A”字形，利用M为DE中点的条件将条件由一个“A”字形转化到另一个“A”字形，从而解决问题.

　　4、已知，△ABC中，D为BC中点，E是AD上一点，CE的延长线交AB于F，求证：AE:ED=2AF:FB.
　　解：过D作DM∥AB交CF于M ，
　　　　则△AFE∽△DME， △CDM∽△CBF
　　　　∴
　　　　∵D为BC中点， ∴
　　　　∴
　　　　∴ ∴AE:ED=2AF:FB.
　　小结：以所要求证的比例式中的三条线段为基础，通过做平行线构造“A”字形或“X” 字型来转移线段的比是一种常用的方法.本题还可以有以下几种构造平行线的做法，供同学们参考.
　　　　　　

　　5、已知：△ABC中，AB=AC，AD为中线，P为AD上一点，过C作CF∥AB，延长BP交AC于E，交CF于F. 　　　　　　求证：
　　解：连接CP
　　　　∵AB=AC， AD为中线，
　　　　∴∠BAP=∠CAP
　　　　又AP=AP， ∴△ABP≌ACP
　　　　∴∠ABP=∠ACP ， BP=CP
　　　　∵CF∥AB ， ∴∠ABP=∠F ， ∴∠ACP=∠F
　　　　∵∠EPC=∠CPF ∴△PEC∽△PCF
　　　　∴ ∴
　　　　∴ .
　　小结：当所要求证的成比例的四条线段共线时，往往要通过等量代换转移线段或等比代换转移线段的比，然后再将其作为三角形的边，转化为相似三角形的问题解决.本题中利用等腰三角形的对称性将线段BP转化为线段PC后，问题就显而易见了.

3、建立以线段长为变量的函数之间的关系
　　6、如图，AB∥CD，∠A=90°，AB=2，AD=5，P是AD上一动点（不与A、D重合），PE⊥BP，P为垂足，PE交DC于点E，
　　（1）设AP=x，DE=y，求y与x之间的函数关系式，并指出x的取值范围；
　　（2）请你探索在点P运动的过程中，四边形ABED能否构成矩形？如果能，求出AP的长；如果不能，请
　 　　　说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）∵AB∥CD ，∴∠A+∠D=180°
　　　　　　 ∵∠A=90°， ∴∠D=90°，∴∠A=∠D
　　　　　　 又∵PE⊥BP ，∴∠APB+∠DPE=90°，
　　　　　　 又∠APB+∠ABP=90°， ∴∠ABP=∠DPE，
　　　　　　 ∴△ABP∽△DPE
　　　　　　 ∴ ，即
　　　　　　 ∴
　　　　（2）欲使四边形ABED为矩形，只需DE=AB=2，即，解得
　　　　　　 ∵，∵均符合题意，故AP=1或 4.
　　小结：
　　（1）求以线段长为变量的两个函数间的关系时，常常将未知线段和已知线段作为三角形的边，利用相
　　　　 似三角形的知识解决.
　　（2）解决第（2）小问时要充分挖掘运动变化过程中点的特殊位置，再转化为具体的数值，通过建立
　　　　 方程解决，体现了数形结合的思想.

　　7、如图，△ABC中，AB=AC=2，∠A=90°，O为BC中点，E在AB上，F在AC上，∠EOF=45°.
　　(1)设BE=x，CF=y， 求y与x之间的函数关系式；
　　(2)设EF=m， △EOF的面积为S，求S与m之间的函数关系式.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）∵AB=AC=2，∠A=90°，
　　　　　　 ∴∠B=∠C=45°，BC=
　　　　　　 ∴∠BEO+∠BOE=135°
　　　　　　 ∵∠EOF=45°， ∴∠BOE+∠FOC=135°
　　　　　　 ∴∠BEO=∠FOC
　　　　　　 ∴△BOE∽△CFO
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∵O为BC中点，∴BO=CO=
　　　　　　 ∴，即
　　　　（2）由（1）知△BOE∽△CFO
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∵O为BC中点，
　　　　　　 ∴ ， 又∠B=∠EOF=45°
　　　　　　 ∴△BOE∽△OFE
　　　　　　 ∴∠BEO=∠FEO
　　　　　　 过O作OM⊥EF于M，ON⊥AB于N，则OM=ON
　　　　　　 在△BON中，∠BNO=90°，BO=
　　　　　　 ∴OM=ON=1
　　　　　　 ∴S=EF﹒OM=m.
　　小结：比较 例6、例7，可以归纳出下面的基本图形和问题.
　　如图，若∠1=∠2=∠3，则△ABD∽△DCE
　　若∠1=∠2=∠3，且BD=CD， 则△ABD∽△ADE∽△DCE
　　进一步可得∠4=∠5. 同学们可以参考例6、例7给出相应的证明.
　　很多问题都可以构造这样的基本图形来解决.看下面的两个例子.

　　8、如图，梯形ABCD中，BC//AD，，AD=18，BC=24，AB=m.在线段BC上任取一点P，连结DP，作射线，PE与直线AB交于点E.
　　(1) 当CP=6时， 试确定点E的位置；
　　(2) 若设CP=x，BE=y，写出y关于x的函数关系式；
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：(1)作DFBC，F为垂足.
　　　　　 当PC=6时，
　　　　　 由已知可得，四边形ABFD是矩形， FC=6，
　　　　　 点P与点F重合，又，
　　　　　 此时点E与点B重合.

　　　　(2)当点P在BF上(即)时，
　　　　　
　　　　　
　　　　　 ∴△BEP∽△FPD，
　　　　　 .
　　　　　 当点P在CF上(即)时，同理可得.
　　　　　 综合以上知:
　　小结：
　　（1）通过作DFBC，将问题转化为基本图形，问题迎刃而解.
　　（2）当相似的两个三角形为直角三角形时，也可以通过三角函数来建立线段之间的比例关系.如本题
　　　　 中 ， 即
　　（3）要注意题目条件中直线、线段、射线等词语含义的不同，考虑是否进行分类讨论.

4、在面积问题中的应用
　　9、如图，在△ABC中，BC=2，BC边上的高AD=1，P是BC上任意一点，PE∥AB交AC于E，PF∥AC交AB于F.
　　(1)设BP=，△PEF的面积为，求与的函数解析式和的取值范围；
　　(2)当P在BC边上什么位置时，值最大.
　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）∵BC=2， BC边上的高AD=1
　　　　　 　∴△ABC的面积为1
　　　　　 　∵PF∥AC
　　　　　 　∴△BFP∽△BAC
　　　　　 　∴，∴
　　　　　 　同理△CEP∽△CAB
　　　　　 　∴，
　　　　　 　∴
　　　　　 　∵PE∥AB， PF∥AC
　　　　　 　四边形PFAE为平行四边形
　　　　　 　∴
　　　　　 　∴.
　　　　（2）
　　　　　 　∴当时，即P点在BC边的中点时，值最大.
　　小结：建立三角形的面积与线段长之间的函数关系，可考虑从以下几方面考虑：
　　（1）从面积公式入手；
　　（2）从相似三角形的性质入手；将面积的比转化为相似比的平方；
　　（3）从同底或等高入手，将面积比转化为底之比或高之比.

5、在实际问题中的应用
　　（1）测量物高
　　（2）测量河宽

二、位似
1、位似的特征：
　　两个图形具备以下几个条件，称为位似图形
　　（1）相似；（2）对应顶点的连线相交于一点；（3）对应边互相平行或共线.
　　这个点叫做位似中心，对应边的比叫做位似比.通常，位似比指的是位似图形与原图形对应边的比.

2、位似的性质
　　位似图形对应顶点与位似中心的距离之比等于位似比.

3、位似变换
　　我们只研究在平面直角坐标系中，以原点为位似中心的位似变换.若位似比为k，则位似图形对应点的坐标的比为k或-k.即若一个图形上一个点的坐标为（），则它的位似图形上与之对应的点的坐标为（）或（）.

4、位似的应用
　　在指定位似中心和位似比的情况下，将一个图形放大或缩小.注意放大或缩小后的图形通常有两个，它们是全等形，并关于位似中心中心对称.
　　相似三角形的知识是解题的工具，学好这部分知识的关键是熟练掌握相似三角形的判定定理和性质定理，并注意归纳总结常见的基本图形，运用时才能得心应手.另外，若两个直角三角形相似，对应边之间的比例关系可以借助于锐角三角函数来建立.同学们在学习时要注意体会，将知识融会贯通，才能水到渠成.

巩固练习：
　　1、如图，D为△ABC中AC边的中点，AE∥BC，ED交AB于点G，交BC的延长线与点F，BG:GA=3:1，BC=8，则AE的长为_________.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　2、已知：△ABC中，AB=AC，D是AB延长线上一点，E是AC上一点，DE交BC于F，求证：BD:CE=DF:EF.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　3、已知：△ABC中，AD是∠BAC的平分线，AD的垂直平分线交AD于E，交BC的延长线于F，求证：
　　　　　　　　　　　　　　　

　　4、如图，在△ABC中，AB=AC=1，点D，E在直线BC上运动.设BD=x， CE=y
　　（l）如果∠BAC=30°，∠DAE=l05°，试确定y与x之间的函数关系式；
　　（2）如果∠BAC的度数为，∠DAE的度数为，当，满足怎样的关系式时，（1）中y与x之间的
　 　　　函数关系式还成立，试说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　5、△C′D′E′与△ABC是边长不等的两个等边三角形.C为C′D′的中点，边AC交E′D′于M，边BC交C′E′于N. 若△C′D′E′的边长为a，∠ACD′= （30°<<90°）（如图）；
　　探究：在图中线段C′N·D′M的值是否随的变化而变化？如果没有变化，请求出C′N·D′M的值；如果有变化，请说明理由.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　6、已知：如图，在等腰△ABC中，AB=6，∠A=90°，E为腰AC的中点，F在底BC上，FE⊥BE，求△CEF的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　7、梯形ABCD中，AD∥BC，∠BCD的平分线CH⊥AB于H，BH=3AH，四边形AHCD的面积为21，求△HBC的面积.
　　　　　　　　　　　　　　　　　

参考答案：
　　1、4

　　2、过E作EG∥BD交BC于G ，则△DBF∽△EGF
　　　 ∴BD:EG=DF:EF
　　　 ∵AB=AC， ∴ ∠ABC=∠C
　　　 又∠ABC=∠EGC ， ∴∠EGC=∠C
　　　 ∴EG=EC ， ∴BD:CG=DF:EF.

　　3、连接AF
　　　 ∵EF是AD的垂直平分线 ， ∴FA=FD
　　　 ∴∠FAD=∠FDA
　　　 又∠FAD=∠FAC+∠CAD， ∠FDA=∠B+∠BAD ，
　　　 ∠CAD=∠BAD
　　　 ∴∠FAC=∠B
　　　 ∵∠AFC=∠BFA
　　　 ∴△FAC∽△FBA
　　　 ∴，即，∴.

　　4、（1）证明△DBA∽△ACE，
　　　 （2）.

　　5、证明△C′CN∽△D′MC， C′N·D′M=CC′·CD′=，不变.
　　　　　　　　　　　　　　　　

　　6、过F作FG⊥AC于G，
　　　 易证△EBA∽△FEG， ∴AB:AE=EG:FG=2:1
　　　 设FG=x，则EG=2x 易证FG=CG=x
　　　 ∴2x+x=3， ∴x=1
　　　 ∴△CEF的面积为.

　　7、延长BA、CD交于点E. 则△EAD∽△EBC　　　　　　　　　　
　　　 ∴
　　　 易证△EHC≌△BHC ∴BH=HE=3AH ∴EA:EB=1:3
　　　 ∴
　　　 ∴
　　　 设
　　　 ∴，∴
　　　 ∴△HBC的面积为.