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[组图]圆周角、切线的判定

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一、学习目标
　　1．学习了解圆周角的概念，掌握同圆或等圆中，圆周角和圆心角、弧、弦（包括弦心距）之间的对应
　 　　关系．
　　2．了解直线和圆的位置关系，掌握圆的切线的判定方法和性质定理，并能解决有关的证明和计算．

二、教学重点和难点
　　1．重点是圆周角和圆心角的关系；圆的切线的判定和性质．
　　2．难点是用分类思想讨论圆周角和圆心角的关系．

三、教学内容解析
（一）知识梳理
　　在前面学习的基础上，进一步理解同弧所对圆周角和圆心角的对应关系，在分析图形的结构时，充分利用“弧”找角，体会曲线型图形的优势．
　　要注意培养类比的思维方法．体会除了从图形上定义直线和圆的位置关系之外，从数量关系上也可以反映直线和圆的三种位置关系的特征．应该认识到它们反映的本质相同．
1．圆周角的概念：
　　顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．

2．圆周角定理：
　　一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

3．圆周角定理的推论：
　　（1）同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．
　　（2）半圆（或直径）所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．
　　（3）如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．

4．定理分析
　　圆周角定理提示了在同一个圆中，同一条弧所对的圆周角与圆心角之间的数量关系．根据定理的推论（1），同弧或等弧所对的圆周角相等，说明了分析问题时可以借助于“圆弧”证明两个角相等（如图1，∠A和∠A′两个圆周角都对着同一条弧，它们相等）．另一方面，可以将已知的圆周角（如图1中的∠A）沿圆周转移到圆中所需要的位置（如图1中的∠A′的位置）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　图1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 图2
　　利用圆周角定理推论（2），在解决有关圆的问题中，只要已知中给出直径条件，可自圆上任意一点分别连结直径的两个端点，从而构造直角（如图2所示），反过来，利用已知一个圆周角为直角，可以构造圆的直径．
　　推论（3）给出了直角三角形的一个判定方法．从圆的高度重新认识一些三角形的知识，这既是认识的深化，又是方法的更新．

5．圆的切线
　　（1）当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点．这里“有唯一公共点”是有一个且只有一个公共点．
　　（2）按此定义判定直线和圆相切并不容易，可以据此分析得到“如果设⊙O的半径为r，圆心O到直线的距离为d，那么直线与⊙O相切”．
　　（3）切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．
　　如图，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　定理的题设是：一条直线满足：（1）过半径OA的外端点A；（2）垂直于半径OA；
　　结论是：这条直线是圆的切线（直线切圆O于点A）．

6．切线的判定方法
　　（1）和圆只有一公共点的直线是圆的切线；
　　（2）圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
　　（3）经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线；
　　判定切线有三种方法，证题中常用后两种方法，且往往需要添加辅助线．

7．添加辅助线的方法
　　（1）如果已知直线经过圆上一点，那么连结这点和圆心得到半径再证所作半径与这条直线垂直．即“连半径，证垂直”．
　　（2）如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于半径，即“作垂直，证半径”．

（二）例题分析
　　1．如图所示，AB为⊙O的直径，动点P在⊙O的下半圆，定点Q在⊙O的上半圆，设∠POA=x°，∠PQB=y°，当P点在下半圆移动时，试求y与x之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（方法一）∵AB为⊙O的直径，∠AOP=x°
　　　　　　　　　∴∠POB=．
　　　　　　　　　又，
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　（）．
　　　　（方法二）如图所示，连结AQ，
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　又∵AB是⊙O的直径，
　　　　　　　　　∴∠AQB=90°，
　　　　　　　　　，
　　　　　　　　　（）．
　　小结：在分析有关圆周角的问题时，往往通过同弧或等弧找到圆周角、圆心角之间的关系．当出现直径这个条件时，注意直径所对的圆周角是直角；如果没有直径所对的圆周角，这时往往需要添加辅助线，构造直径所对的圆周角．
　　想一想：若动点P与定点Q在⊙O上位于直径AB的同侧时，仍设∠POA=x°，∠PQB=y°，这时y与x之间又会有怎样的函数关系呢？

　　2．已知，如图，△ABC内接于⊙O，∠ACB=60°，AB=m，试求⊙O的直径．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（方法一）如图，作⊙O的直径AC′，连结C′B，
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　则∠AC′B=∠C=60°．
　　　　　　　　　∵AC′是⊙O的直径，
　　　　　　　　　∴∠ABC′=90°
　　　　　　　　　．
　　　　　　　　　即⊙O的直径为．
　　　　（方法二）如图所示，连接OA，作于D．
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　可以根据垂径定理，解出，从而得出直径为．
　　小结：构造直角三角形是常用的求线段长的方法．在圆中，可以构造垂径定理的基本图形，即由半径、半弦和弦心距构成的直角三角形；也可以构造直径所对的圆周角这一基本图形．

　　3．如图，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：CD是⊙O的切线．
　　　　　　　　　　　　　
　　证明：
　　（方法一）作直径CE，连结BE，则∠CBE=90°，
　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　∴∠E+∠OCB=90°．
　　　　　　　∵∠A=∠E，∠DCB=∠A，
　　　　　　　∴∠DCB+∠OCB=90°，
　　　　　　　∴CD⊥半径OC于C，
　　　　　　　∴CD是⊙O的切线．
　　（方法二）此题也可采用圆周角定理证明
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　如图，连接OC、OB，
　　　　　　　设∠A=∠DCB=x，则∠BOC=2x．
　　　　　　　∵OB=OC，
　　　　　　　
　　　　　　　∴∠OCB+∠DCB=90°
　　　　　　　∴CD⊥半径OC于C，
　　　　　　　∴CD是⊙O的切线．

　　4．如图，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E．
　　求证：DE是⊙O的切线．
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：要证DE是⊙O切线，且已知公共点D，所以连结OD，只需证OD⊥DE即可，又已知DE⊥AE，所以需证：OD∥AC．
　　证明：（方法一）连结OD，
　　　　　　　　　　∵OB=OD，
　　　　　　　　　　∴∠B=∠ODB．
　　　　　　　　　　∵AB=AC，
　　　　　　　　　　∴∠B=∠C，
　　　　　　　　　　∴∠ODB=∠C，
　　　　　　　　　　∴OD∥AC．
　　　　　　　　　　又∵DE⊥AC，
　　　　　　　　　　∴DE⊥半径OD于D，
　　　　　　　　　　∴DE是⊙O的切线．
　　　　　（方法二）连结OD、AD，
　　　　　　　　　　∵AB是⊙O直径，
　　　　　　　　　　∴AD⊥BC．
　　　　　　　　　　∵AB=AC，
　　　　　　　　　　∴BD=CD．
　　　　　　　　　　又∵OB=OA，
　　　　　　　　　　∴OD∥AC ．
　　　　　　　　　　又∵DE⊥AC，
　　　　　　　　　　∴DE⊥半径OD于D，
　　　　　　　　　　∴DE是⊙O的切线．

　　5．如图，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点．
　　求证：DE是⊙O切线．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：已知圆和直线的公共点D，因此要证明DE是⊙O切线，只需连接OD，并且证明∠ODE=∠OCB=90°．
　　证明：（方法一）连结OD、OE．
　　　　　　　　　　∵OA=OC，E为BC中点，
　　　　　　　　　　∴OE∥AB，
　　　　　　　　　　∴∠DOE=∠ADO，∠COE=∠A．
　　　　　　　　　　∵OA=OD，
　　　　　　　　　　∴∠A=∠ADO，
　　　　　　　　　　∴∠DOE=∠COE．
　　　　　　　　　　∵OD=OC，OE=OE，
　　　　　　　　　　∴△DOE≌△COE，
　　　　　　　　　　∴∠ODE=∠OCE．
　　　　　　　　　　∵∠ACB=90°，
　　　　　　　　　　∴∠ODE=90°，
　　　　　　　　　　∴DE⊥半径OD于D，
　　　　　　　　　　∴DE是⊙O的切线．
　　　　　（方法二）连结OD、CD．
　　　　　　　　　　∵AC是⊙O直径，
　　　　　　　　　　∴CD⊥AB ．
　　　　　　　　　　∵E为BC中点，
　　　　　　　　　　∴ED=EC，
　　　　　　　　　　∴∠EDC=∠ECD．
　　　　　　　　　　又∵OD=OC，
　　　　　　　　　　∴∠ODC=∠OCD，
　　　　　　　　　　∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD，
　　　　　　　　　　∴∠ODE=∠OCE=90°，
　　　　　　　　　　∴DE⊥半径OD于D，
　　　　　　　　　　∴DE是⊙O的切线．

　　6．如图，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P为圆心，PE为半径作⊙P ．
　　求证：⊙P与OB相切．
　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：因为不知道圆和直线是否有公共点，所以要证OB是⊙P的切线，需要作PF⊥OB于F，再证PF=PE即可．
　　证明：作PF⊥OB于F，
　　　　　∵OP平分∠AOB，且PE⊥OA，
　　　　　∴PF=PE，即PF为⊙P的半径，
　　　　　∴OB是⊙P的切线．

来源：中国哲士网

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