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[组图]综合题——相似三角形

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例题:
一、相似三角形的判定
  1.如图,△ABC中,点D在AC上,CD=2AD,∠BAC=45°,∠BDC=60°,CE⊥BD于E,连结AE. 已给的图形中存在哪几对相似三角形?请选择一对进行证明.
                 
  解:图中相似三角形有△ADE∽△AEC或△BCD∽△ACB两对
  证明:(1)△ADE∽△AEC
       CE⊥BD于E
      
       ∠BDC=60°,
      
      
       CD=2AD,
      
      
       ∠BDC=60°,
      
      
      
       △ADE∽△AEC
  证明:(2)
  提示:在证明△BCD∽△ACB时
     证出①
       ②
       ③
       ④△BCD∽△ACB
  【点评】判定相似三角形的时候,计算角度是一个常用方法.两个三角形中两个角对应相等,则这两个三角形相似.本题每个角度都能计算自然相似的判定并不麻烦.

  2.如图,⊙O是△ABC的外接圆,AB=AC,∠ABC=2∠BAC,弦BE交AC于点D,连接AE,若,点C坐标是(a,0),点F坐标是(0,b).
  (1)请你写出圆心O的坐标(____,____);
    (用含a,b的代数式表示)
  (2)求线段BD的长.
  解:(1)()
    (2)
     
     
     
     
     
     
     
     
     
     
      坐标是(,0),
      设的长为
     
     
     
     
      即
     
      解之得:
      的长为.
  【点评】本题看到比例式和圆中同弧所对的圆周角相等,可以判定相似三角形.

二、相似三角形中的分类讨论
  3.如图,在△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=1,将另外一个含 30°角的△EDF的30°角的顶点D 放在AB边上,E、F分别在AC、BC上,当点D在AB 边上移动时,DE始终与AB垂直.
              
  (1)设AD=x ,CF=y,求y与x之间的函数解析式,并写出函数自变量的取值范围;
  (2)如果△CEF与△DEF相似,求AD的长.
  解:(1)∵∠EDF=30°,ED⊥AB于D,
      ∴∠FDB=∠B=60°.∴△BDF是等边三角形.
      ∵BC=1, ∴AB=2.
      ∴2-x=1-y.
      ∴y=x-1.
      自变量的取值范围是:.
    (2)①如图,∠FED=90°,△CEF∽△DEF,
      ∴, 即
      解得,.
      ∴.
      .
      ②如图,∠EFD=90°,△CEF∽△FED,
      ∴, 即.
      解得,.
      ∴.
      ∴.

  4.如图所示,抛物线的顶点为A,其中
  (1)已知直线,将直线沿轴向 (填“左”或“右”)平移 个单位(用含的代数式)后
    过点A;
  (2)设直线平移后与轴的交点为B,若动点Q在抛物线对称轴上,问在对称轴左侧的抛物线上是否存
    在点P,使以P、Q、A为顶点的三角形与△相似,且相似比为2?若存在,求出的值,并写出
    所有符合上述条件的P点坐标;若不存在,说明理由.
                 
  解:(1)右;
    (2)由题意点A(,0),将其代入,得
      ∴此时直线的解析式:, 点B(0,-)
      以P、Q、A为顶点的三角形与△OAB相似,且相似比为2,共有以下四种情况,
      ①, 当
      可得
      ∴,代入抛物线解析式得:
      解得
      ②,当
      可得
      ∴,代入抛物线解析式得:
      解得
      ③,当
      可得
      过,则
      ∴,代入抛物线解析式得:
      解得
      ④,当
      可得
      过,则
      ∴,代入抛物线解析式得:
      解得
      综上,符合条件的点共有四个:
     
  【点评】在没有指明对应顶点的前提下,分类讨论也是相似三角形所需要注意的问题.

来源:中国哲士网

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