1．理解并初步掌握弧、弦、圆心角的相互对应的关系，会证明两条弦等、两条弧等，两个圆心角等；
2．掌握圆周角定理及推论，能在圆中熟练地进行角的相互转化，从而通过解直角三角形或利用相似的
知识求相关的线段长或证明比例线段.
内容分析：
1、圆心角、弧、弦的关系
在同圆或等圆中，若两个圆心角相等，则它们所对的两条弧、两条弦也分别对应相等；
在同圆或等圆中，若两条弧相等，则它们所对的两个圆心角、两条弦也分别对应相等；
在同圆或等圆中，若两条弦相等，则它们所对的两个圆心角、所对的两条优弧、两条劣弧也分别对应相等.
2、圆周角
(1)定义：顶点在圆上，角的两边都与圆相交的角.
(2)定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.
推论1：同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等.
推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径.
推论3：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于它的内对角.
3、学好本单元内容的两个关键：
(1)同弧或等弧是沟通圆周角之间、圆心角与圆周角之间联系的桥梁，利用同弧或等弧进行圆周角之间
的相互转化是解决问题的关键；
(2)通过作弦心距或直径将一般的圆周角转化到特殊的直角三角形中，是解决问题的关键.
例题分析：
1、判断下列各命题是否正确.(1)相等的圆心角所对的弧等；
(2)相等的弧所对的圆心角相等；
(3)圆周角等于圆心角的一半；
(4)直径所对的角是直角；直角所对的弦是直径.
【分析】
(1)错. 没有强调在同圆或等圆中.
(2)对．等弧已隐含了在同圆或等圆的条件.(当等弧作条件时，可以不强调“在同圆或等圆中”，而当
等弧作为结论时，则必须要在条件中强调同圆或等圆中)
(3)错. 只有当圆周角和圆心角对着同一条弧或相等的弧时才有这种关系.
(4)错. 直径、圆周角、直角三个条件缺一不可.
2、已知，如图，⊙O是
的外接圆，∠A=60°，BC=12，求⊙O的半径的长.
解法一：过O作OD⊥BC于D，连接OB.
则BD=
BC=6，∠BOD=∠BOC.
∵∠A=
∠BOC， ∴∠BOD=∠A=60°在Rt△BOD中，∠BOD=60°，
∴BO=
∴⊙O的半径的长为
.
解法二：作直径BE，连接CE.则∠BCE=90°.
又∠A=∠E=60°
∴在Rt△BCE中，BE=
∴⊙O的半径的长为
.【小结】在圆中，常常作弦心距或直径，将圆周角转化到直角三角形中，通过解直角三角形从而解决问题.
3、已知：AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，M是弧AC上一点，延长DC、AM交于F，求证：∠FMC=∠AMD.
证明：
方法一：如图，连结AD.
∵四边形ADCM是圆内接四边形
∴∠FMC=∠ADC
∵AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB
∴
∴∠AMD=∠ADC
∴∠FMC=∠AMD.方法二：如图，连结MB
∵AB是⊙O的直径，
∴∠FMB=∠AMB=90°
∵弦CD⊥AB
∴
∴∠CMB=∠DMB
∴∠FMC=∠AMD.
4、已知：A、B、C、D是⊙O上的四个点，AB=BC，BD交AC于点E，连接CD、AD.(1)求证：DB平分∠ADC；(2)若BE=3，ED=6，求AB的长.
解：(1)∵AB=BC
∴
∴∠ADB=∠CDB，即DB平分∠ADC.
(2)∵
∴∠BAE=∠ADB
又∠ABE=∠DBA
∴△ABE∽△DBA
∴
∵BE=3，ED=6， ∴DB=9
∴
∴AB=
.【小结】在圆中常常利用圆周角定理及它的推论来证明角相等，近而通过证明三角形相似来解决问题，沟通角之间关系的桥梁往往是同弧或等弧.
5、已知：BC为⊙O的直径，AD⊥BC于D，
，BF和AD相交于E，求证：AE=BE.
证明：
方法一：如图，连结OA、AB
∵
∴OA⊥BF
∵AD⊥BC
∴∠DAO+∠AEF=∠EBD+∠BED=90°
∵∠AEF=∠BED
∴∠DAO=∠EBD
∵OA=OB
∴∠BAO=ABO
∴∠ABE=∠BAE
∴AE=BE.
方法二：如图，延长AD交⊙O于H，连结AB
∵BC为⊙O的直径，AD⊥BC
∴
∵
∴
∴∠ABE=∠BAE
∴AE=BE. 方法三：如图，
连结AC，AB
∵BC为⊙O的直径
∴∠BAC=90°
∵AD⊥BC
∴∠BAE+∠DAC=∠DAC+∠ACD=90°
∴∠BAE=∠ACD
∵
∴∠ACD=∠ABE
∴∠ABE=∠BAE
∴AE=BE.
【提示】此题还可证明AB2=BE·BF；BE·BF=BD·BC等，请同学们自己尝试一下.
