一、和差倍分问题
　　线段或角的和差倍分问题，一般是通过平移、轴对称或旋转等变换构造全等代换线段，最终转化为证明相等的问题。
　　1．如图①，在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF=45 °,则有结论EF=BE+FD成立；
　　（1）如图②，在四边形ABCD中，AB=AD，∠B=∠D=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且∠EAF是∠BAD的
　　　　 一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
　　（2）若将（1）中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，∠B+∠D=180°，延长BC到点E，延长CD到点
　　　　 F，使得∠EAF仍然是∠BAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，
　　　　 请写出它们之间的数量关系，并证明.
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）结论EF= BE+FD成立.
　　　　　　 延长EB到G，使BG=DF，连接AG.
　　　　　　 ∵∠ABG=∠D=90°, AB=AD，
　　　　　　 ∴△ABG≌△ADF.
　　　　　　 ∴AG=AF且∠1=∠2．
　　　　　　 ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD．
　　　　　　 ∴∠GAE=∠EAF．
　　　　　　 又AE=AE，
　　　　　　 ∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF．
　　　　　　 即EF=BE+BG=BE+FD．
　　　　（2）结论EF=BE+FD不成立，
　　　　　　 应当是EF=BE-FD．
　　　　　　 在BE上截取BG，使BG=DF，连接AG．
　　　　　　 ∵∠B+∠ADC=180°,∠ADF+∠ADC=180°，
　　　　　　 ∴∠B=∠ADF．
　　　　　　 ∵AB=AD，
　　　　　　 ∴△ABG≌△ADF.∴AG=AF．
　　　　　　 ∵∠1=∠2，
　　　　　　 ∴∠1+∠3=∠2+∠3=∠BAD．
　　　　　　 ∴∠GAE=∠EAF．
　　　　　　 ∵AE=AE，
　　　　　　 ∴△AEG≌△AEF.∴EG=EF
　　　　　　 即EF=BE-BG=BE-FD．
　　　　　　 此题可有如下变式：

　　2．设E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上滑动保持且，APEF于点P.
　　(1)求证：AP=AB；
　　(2)若AB=5，求的周长。
　　解：（1）将绕点A按逆时针方向旋转，得
　　　　　　 ，
　　　　　　 ，即F、D、G在一条直线上.
　　　　　　 AE=AG，AF=AF，，
　　　　　　 .
　　　　　　 ,
　　　　　　
　　　　　　 即AP=AB.
　　　　（2），EF=FG.
　　　　　　 的周长=CE+EF+CF=CE+FG+CF, DG=BE,
　　　　　　 的周长=CE+EF+CF =BC+DC=52 =10.

　　3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC，点E是AB上一个动点，若∠B=60°，AB=BC，且∠DEC=60°,确定AD+AE与BC的关系
　　解: 有BC=AD+AE.
　　　　连结AC,过E作EF∥BC交AC于F点.
　　　　则可证 △AEF为等边三角形.
　　　　即 AE=EF及∠AEF=∠AFE=60°.
　　　　所以 ∠CFE=120°.
　　　　又 AD∥BC,∠B=60°,
　　　　故 ∠BAD=120°.
　　　　又 ∠DEC=60°,
　　　　所以 ∠AED=∠FEC.
　　　　在△ADE与△FCE中,
　　　　∠EAD=∠CFE,AE=EF,∠AED=∠FEC,
　　　　所以 △ADE≌△FCE. 所以 AD=FC.
　　　　则 BC=AD+AE.

　　4．如图，四边形ABCD中，AC、BD是对角线，AB=AC，∠ABD=60°，过D作ED⊥AD，交AC于点E，恰有DE平分∠BDC．试判断线段CD、BD 与AC之间有怎样的数量关系？并证明你的结论．
　　结论：AC=BD+CD．
　　证法一：延长BD至，使得D=DC．
　　　　　　∵DE平分∠BDC，∴∠1=∠2．
　　　　　　∵ED⊥AD，
　　　　　　∴∠ADC=90°+∠1，∠3=90°-∠2．
　　　　　　∵∠AD=180°-∠3=90°+∠2．
　　　　　　∴∠ADC=∠AD．
　　　　　　在△ADC和△AD中，
　　　　　　
　　　　　　∴△ADC≌△AD（SAS）．
　　　　　　∴ AC=A．
　　　　　　∵ AB=AC，∴ AB= A．
　　　　　　∵∠ABD=60°，∴△AB是等边三角形．
　　　　　　∴ A =B，∴ AC =BD+CD．
　　证法二：延长CD至，使D=DB．
　　　　　　∵ED⊥AD，
　　　　　　∴∠2+∠3=90°，∠1+∠4=90°．
　　　　　　∵DE平分∠BDC，
　　　　　　∴∠1=∠2．
　　　　　　∴∠3=∠4．
　　　　　　在△ADB和△AD中，
　　　　　　
　　　　　　∴ △ADB≌△AD（SAS）．
　　　　　　∴ AB=A，∠ABD=∠=60°．
　　　　　　∴ AC = A． ∴ △AC是等边三角形．
　　　　　　∴ AC = C． ∴ AC =BD+CD．

　　5．我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．
　　（1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称：___________．
　　（2）如图（1），在梯形ABCD中，AD∥BC，AC⊥BD，垂足为O．
　　　　 求证：，即四边形ABCD是等平方和四边形．
　　（3）如果将图(1)中的△AOD绕点O按逆时针方向旋转度（0°＜＜90°）后得到图(2)，那么四边形
　　　　 ABCD能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由．
　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　图（1）　　　　　　　　　　　　　　　　 图（2）
　　解：（1）菱形或正方形；
　　　　（2）证：∵AC⊥BD于点O,∴∠AOD=∠BOC=∠AOB=∠DOC=90°．
　　　　 　　　　∴
　　　　 　　　　
　　　　 　　　　∴．
　　　　 　　　　即四边形ABCD是等平方和四边形．
　　　　（3）解：四边形 ABCD是等平方和四边形.
　　　　 　　证：原梯形记为，依题意旋转后得四边形ABCD，
　　　　 　　　　连接AC、BD交于点，∵ ∥BC，
　　　　 　　　　∴∽．
　　　　 　　　　∴．
　　　　 　　　　∵，，
　　　　 　　　　∴．
　　　　 　　　　∵，
　　　　 　　　　∴∠AOC=∠DOB=180°-．
　　　　 　　　　又∵，
　　　　 　　　　∴△AOC∽△DOB.
　　　　 　　　　∴∠1=∠2．
　　　　 　　　　又∵∠3=∠4，
　　　　 　　　　∴．
　　　　 　　　　由（2）的结论得：．
　　　　 　　　　即四边形ABCD是等平方和四边形．

二、位置关系的证明
　　位置关系的证明以线段的平行、垂直为主，对于这类问题的解决方法，大家也要注意总结归纳。比如证明垂直的方法除了利用角度推导外，还可以考虑勾股定理的逆定理、等腰三角形三线合一、三角形中一边中线等于这边一半等方法；平行证明除了利用同位角、内错角、同旁内角的关系外，还可利用中位线定理、对应线段成比例得出平行等方法。
　　6．已知：如图，矩形ABCD中，延长BC至E点，使BE=BD，连结DE，若F是DE的中点．试确定线段AF与CF的位置关系．
　　解：AF⊥CF
　　　　[一]连BF，易证△ADF≌BCF（SAS）
　　　　∴∠DFA=∠CFB
　　　　∴∠BFA+∠CFB=∠BFA+∠DFA=90°
　　　　[二]连AC交BD于O，连OF
　　　　∴OF为△DBE的中位线
　　　　∴OF=BE=BD=AC.

　　7．在△ABC中，BM、CN分别是、的平分线，而于E，于F．
　　　　　　求证：EF//BC．
　　证明：延长AF交BC于D，延长AE交BC于G
　　　　　易证：△CAF≌△CFD
　　　　　∴AF=FD
　　　　　同理可证AE=EG
　　　　　∴EF为△ADG的中位线
　　　　　∴ EF//BC.

　　8．请阅读下列材料：
　　问题：如图1，在菱形和菱形中，点在同一条直线上，是线段的中点，连结．若，探究与的位置关系及的值．
　　小聪同学的思路是：延长交于点，构造全等三角形，经过推理使问题得到解决．
　　　　　　　　　　　　　　　
　　请你参考小聪同学的思路，探究并解决下列问题：
　　（1）写出上面问题中线段与的位置关系及的值；
　　（2）将图1中的菱形绕点顺时针旋转，使菱形的对角线恰好与菱形的边
　　　　 在同一条直线上，原问题中的其他条件不变（如图2）．你在（1）中得到的两个结论是否发生
　　　　 变化？写出你的猜想并加以证明．
　　解：（1）线段与的位置关系是；．
　　　　（2）猜想：（1）中的结论没有发生变化．
　　证明：如图，延长交于点，连结．
　　　　　是线段的中点，
　　　　　．
　　　　　由题意可知．
　　　　　．
　　　　　，
　　　　　．
　　　　　，．
　　　　　四边形是菱形，
　　　　　，．
　　　　　由，
　　　　　且菱形的对角线恰好与菱形的边在同一条直线上，
　　　　　可得．
　　　　　．
　　　　　四边形是菱形，
　　　　　．
　　　　　．
　　　　　．
　　　　　，．
　　　　　．
　　　　　即．
　　　　　，，
　　　　　，．
　　　　　．