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[组图]实际问题与一元二次方程

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一、教学目标
  1.会根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程并求解,能根据问题的实际意义检验所得的结果是
    否合理.
  2.联系实际,让学生进一步经历“问题情境——建立模型——求解——解释与应用”的过程,获得更
    多的运用数学知识分析和解决实际问题的方法和经验,更好地体会数学的应用价值.

二、教学重点和难点
  1.重点是能列一元二次方程解决某些实际问题,并且归纳各类实际问题的数学模型和其使用的解法.
  2.难点是列出解决实际问题的一元二次方程,并且根据实际意义对方程的根进行检验和取舍.

三、教学内容解析
  对于本部分知识,人教版教材安排了“传播问题”、“增长率问题”、“几何图形面积问题”和“匀变速运动”.学习的时候,不仅要关注各种实际问题的类型,更要注意归纳解决各类实际问题所建立的方程模型,这也便于以后遇到类似问题时更高效地分析数量关系并解决问题.另外要注意总结,怎样解各种方程模型是最合理的,并将方程的解放到实际问题中进行解释、检验和应用,从而体会数学的应用价值.
  列方程解应用题是一个难点,实际就是把文字语言转化成数学语言,正确找出所需的相等关系:
1.各种常见类型的应用题的统一
  (1)增长率问题是同学们较难理解的题型,不少同学只是机械模仿,建议借助“倍数”的概念和“由一般到特殊”的方法帮助大家理解.
  例如,某种一年期存款的年利率是2%,一年后本息和是本金的1.02倍,作自动转存,第二年的本息和是前面所说的一年后本息和的1.02倍,所以第二年的本息和是原来本金的倍,即倍;
  某种一年期存款的年利率是,一年后本息和是本金的倍,作自动转存,第二年的本息和是前面所说的一年后本息和的倍,所以第二年的本息和是原来本金的倍,即倍.
  (2)“握手问题”是一种常见的计数问题,建议归纳这种方程的模型,提高认识.
  对于以下几种数学问题,它们实质上都属于握手问题的模型为正整数).
  ①计算握手的次数:个同学为表示友好,他们彼此握手,则握手总次数为;若他们彼此通
   信,则信件的总件数为
  ②计算比赛场次:支球队进行足球联赛,赛制为双循环形式(每两队之间都赛两场),总共比赛的场
   次为;若赛制改为单循环形式(每两队之间都赛一场),总共比赛的场次为
  ③计算多边形的对角线:凸边形的对角线条数为

2.归纳各种方程模型的解法和对结果的检验
  增长率问题的方程模型为,一般采取直接开方法求根.对于结果要注意区分,增长率可以大于1,即;而减低率不可以大于1,即
  某些经济问题和面积问题的方程模型为,一般采取因式分解法或公式法求解(结果要近似计算),结果要同时符合两个要求;
  物体加速度问题要注意分步求解,由于其物理过程分析较为复杂,因此建议不作为每个同学学习的重点.

3.例题分析
  1.增长率问题:对比传染问题和树杈问题
  (一)有一人患了流感,经过两轮传染后共有121人患了流感,每轮传染中平均一个人传染了几个人?
  分析:设每轮传染中平均一个人传染了个人.
  开始有一人患了流感,第一轮的传染源就是这个人,他传染了个人,用代数式表示,第一轮后共有人患了流感;第二轮传染中,这些人中的每个人又传染了个人,用代数式表示,第二轮后共有人患了流感.
  解:设每轮传染中平均一个人传染了个人,依题意列方程,得
    
    即
    用直接开平法解方程,得
    检验:不合题意,∴舍去,∴
    答:平均一个人传染了10个人.
  思考:(1)如果按照这样的传染速度,三轮传染后有人患流感?
      (2)轮以后呢?——
  小结:此类问题的数学模型为,用直接开方法解此种方程,并舍去负根.

  (二)某种植物的主干长出若干数目的支干,每个支干又长出同样数目的小分支,主干、支干和小分支的总数是91,每个支干长出多少小分支?
  分析:设每个支干长出x个小分支,
  主干长出了个支干,每个支干又长出了个小分支,用代数式表示,主干、支干、小分支共有
  解:设每个支干长出x个小分支,依题意列方程,得
    
    解得
    检验:不合题意,∴舍去,∴
    答:每个支干长出9个小分支.
  小结:此问题与传染问题的最大区别是,每个主干不长小分支,而第一个传染源还会继续传染别人,因此列代数式时,总量分别为,这一点在列方程时要特别注意.

  2.春秋旅行社为吸引市民去天水湾风景区旅游,推出如下收费标准:
  (1)如果人数不超过25人,人均旅游费用为1000元;
  (2)如果人数超过25人,每增加1人,人均旅游费用降低20元,但人均旅游费用不得低于700元.
  (3)某单位组织员工去天水湾风景区旅游,共支付给春秋旅行社旅游费用27 000元.
  请问该单位这次共有多少员工去天水湾风景区旅游?
  分析:此问题为分段计费问题,关键人数为25人;若超过25人的人数为x人,则人均降低的费用为20x元,用代数式表示所需支付给旅行社的总费用为
  解:设超过25人的人数为x人,依题意,
    
    解得
    当时,人均费用为,所以舍去,
    25+5=30(人)
    答:该单位这次共有30人去旅游.

  3.将一条长为20cm的铁丝剪成两段,并以每一段铁丝的长度为周长做成一个正方形.
  (1)要使这两个正方形的面积之和等于,那么这段铁丝剪成两段后的长度分别是多少?
  (2)两个正方形的面积之和可能等于吗?若能,求出两段铁丝的长度;若不能,请说明理由.
  分析:(1)铁丝分成两段,可以设其中一段长xcm,则另一段长cm,要做成两个正方形,则它们的边长分别为,其面积之和为
  解:设一段铁丝的长为cm,则另一段铁丝的长为cm,
    (1)依题意列方程,得
      
       解得.(两解均符合题意)
       答:这段铁丝剪成两段后,一部分长4cm,一部分长16cm.
    (2)依题意列方程,得
       ,即
       ∵,∴方程无实根,∴不能按题目要求构造出图形.
  思考:可以组成的两个正方形的面积之和最大值是多少?
  提示:将配方,可求出最大值.
  小结:对于具有一元二次方程模型的实际问题,求解之后要对根进行检验.一般地,要考虑以下一些情况:(1)根为正数;(2)根为整数;(3)根要符合特殊关系(取值范围).而对于存在性问题,无实根说明符合题意的情况不存在;而有实根但不符合特定要求,也说明符合题意的情况不存在.

来源:中国哲士网

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