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[组图]圆的相关概念及垂径定理

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学习目标：
　　通过研究圆的基本性质，重点掌握垂径定理及其推论，圆心角与弧、弦的关系的定理及其推论.

学法建议：
　　圆是平面几何知识中接触到的唯一的曲线形，因此它在研究问题的方法上与直线形有很大的不同，所以在学习这部分知识时要注意这个问题.另外，这一章的概念和定理较多，学习时要注意阶段性的小结，巩固每一阶段的知识.由于本章要经常用到前面学过的许多知识，综合性较强，所以要不怕困难，才能学好本章.

学习内容精析：
一、圆的定义
　　在一个平面内，线段OA绕它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫圆．固定的端点O叫圆心，线段OA叫半径．以O为圆心的圆记作：⊙O，读作：圆O．
　　圆心为O，半径为r的圆，可以看作是所有到定点O距离等于定长r的点组成的图形．
　　要确定一个圆，需要定圆心、定半径．圆心相同的圆叫同心圆．半径相等的几个圆叫等圆．
　　问题：为什么车轮做成圆形?
　　把车轮做成圆形，车轮上各点到圆心的距离都等于圆的半径，当车轮在地面上滚动的时候，车轮中心与平面的距离保持不变，因此，当车在平坦的路上行驶时，坐车的人会感到非常平稳．

二、圆的有关概念
　　连接圆上任意两点的线段叫做弦．
　　过圆心的弦叫做直径，直径是半径的两倍，直径是圆中最长的弦．
　　圆上任意两点之间的部分叫做圆弧，简称弧．
　　以A、B为端点的弧记作，读作弧AB．
　　圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧，每一条弧都叫做半圆，任意一条非直径的弦的两个端点把圆分成两条弧，大于半圆的叫做优弧，小于半圆的叫做劣弧．
　　为了区分，一般优弧用三个大写字母表示，记作.
　　一条弦对两条弧．
　　能够完全重合的两条弧叫做等弧．等弧包含着两层意思，既要弧度等，又要长度等，所以等弧只在同圆或等圆中出现．

　　例1：如图，A、B、C为⊙O上的三点，AB为直径，OD⊥BC于D，OD=3，求弦AC的长度.
　　分析：图中有什么基本图形?
　　　　　有什么基本图形中的元素?
　　　　　猜想已知线段与所求线段有什么关系?
　　　　　需要什么?
　　解：连接OC
　　　　∵ OC=OB，OD⊥BC于D
　　　　∴ BD=DC
　　　　∵ BO=OA
　　　　∴ AC=2OD=6
　　小结：
　　1．同圆或等圆的半径相等，是圆中一个隐藏的数量关系，在同圆中，见到两条半径就要想到等腰三角
　 　　形．
　　2．圆中计算和证明的难点，在于直线形中的定理和圆中的定理的综合运用，见到一条线段或一个角要
　 　　分析是圆中的什么元素，是直线形中的什么元素，并在两种基本图形之间进行转化．圆中的特殊的
　 　　数量关系提供条件，在直线形中进行计算，是这一章计算问题的常规思路．

三、圆的轴对称性：
　　圆是轴对称图形，任何一条直径所在直线都是圆的对称轴．
　　我们在一个圆中任画一条直径并沿之折叠，直径左右两个半圆能够完全重合．
　　如图，CD是⊙O的直径，点C、D的对称点是它本身，一个半圆上任取一点A，另一个半圆上一定有一个点B与之对称．

四、垂径定理：
　　观察图形：AB是⊙O的一条弦，作直径CD⊥AB于E，这个图形是轴对称图形吗?对称轴是谁?图中有哪些相等的线段和弧?你能证明你的结论吗?

　　已知：在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E．
　　求证：AE=EB，，．
　　证明：连结OA、OB，则OA=OB
　　 　　 ∵ CD⊥AB
　　 　　 ∴ 直线CD是等腰△OAB的对称轴，又是⊙O的对称轴
　　 　　 ∴ 沿着直径CD折叠时，CD两侧的两个半圆重合，
　　 　　 　 A点和B点重合，AE和BE重合，、分别和、重合
　　 　　 ∴ AE=BE，，．
　　从而得到圆的一条重要性质：
　　垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，并且平分弦所对的两条弧．
　　几何符号语言表述：⊙O中，∵ CD是直径，AB是弦，CD⊥AB于E
　　∴ AE=EB，，．
　　分析定理：这个定理的条件、结论分别是什么?
　　为了便于理解可以叙述为：
　　如果一条直线满足过圆心、垂直弦，一定可以平分弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．
　　主语是一条直线，两个条件推三个结论．可以利用垂径定理来证明线段等和弧等．
　　垂径定理的推论：
　　如果把定理的条件和结论换一换：如果一条直线过圆心、平分弦(不是直径)，会得到什么结论?
　　平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧．
　　几何符号语言表述：⊙O中，∵ CD是直径，AB是非直径的弦，AE=EB
　　∴ CD⊥AB于E，，．
　　为了便于理解可以叙述为：
　　如果一条直线满足过圆心、平分弦(非直径)，一定可以垂直弦、平分弦所对的优弧、平分弦所对的劣弧．
　　需要特别注意：
　　“平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧”这句话对吗?为什么?
　　垂径定理及推论是圆的轴对称性的具体体现，用来证明线段等、弧等、垂直关系．

　　例2：(1)如何把一条弧二等分?
　　分析：利用圆的轴对称性，点A、点B为对称点，对称轴是对应点连线的垂直平分线，所以作弦AB的垂直平分线就可以把弧二等分．
　　思考：如何把一条弧四等分?
　　(2)利用上面的结论，如何确定一条弧的圆心?
　　分析：圆的对称轴即直径所在直线，两条直径的交点即圆心．

　　例3：解决赵州桥的半径问题.
　　分析：首先，把实际问题转化为数学问题
　　桥拱是圆弧形，以O为圆心，R为半径画出一段圆弧表示桥拱，弦AB表示桥的跨度，即AB=37.4米，的中点C到线段AB的距离为7.2米．如何确定点C呢?对于，如果经过圆心O作弦AB的垂线OD，D为垂足，并延长交于点C，那么根据垂径定理可知，OD平分弦AB，0C平分，即C点为的中点，CD就是拱高，这样做出的图形符合题意．
　　解：如图，用表示主拱桥，设AB所在圆的圆心为O，半径为R
　　　　过圆心O作弦AB的垂线OC，D为垂足．OC与相交于点C，
　　　　则D是AB的中点，C是的中点，CD就是拱高．
　　　　AB=37.4，CD=7.2
　　　　AD=AB=18.7
　　　　OD=OC-CD=R-7.2
　　　　在Rt△OAD中，
　　　　即
　　　　解得R≈27.9(m)
　　　　因此，赵州桥主拱半径约为27.9米．
　　小结：
　　1．此题的解题思路是，经过圆心作弦的垂线，说明它平分弦且平分弦所对的弧．这是圆中解决弦的有
　 　　关计算问题的常用辅助线——垂直于弦的直径(半径)．
　　2．解决这类问题时，只要抓住弦长、圆心到弦的距离(弦心距)、弓形高及半径之间的关系，已知其中
　 　　的两个量，可以求出其它两个未知量．
　　四条线段的长：弦长、圆半径、弦心距d、弓形高h
　　关系：；
　　思路：辅助线构造垂径定理的基本图形，垂径定理和勾股定理相结合．

五、圆的旋转不变性：
　　一个圆绕圆心旋转任意一个角度，都能够与原来的图形重合．

六、圆心角的概念：
　　顶点在圆心的角叫做圆心角．
　　是∠AOB所对的弧，连结AB，弦AB既是圆心角∠AOB也是所对的弦．
　　注意：一个圆心角对一条弧、一条弦．一条弧对一个圆周角、一条弦．但是一条弦对两条弧，两个圆周角．

七、研究圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系
　　在同圆或等圆中，能够完全重合的弧叫等弧．下面我们就来尝试利用旋转变换的思想证明．
　　把∠AOB绕O旋转，使与重合，
　　因为，
　　所以射线与射线重合．
　　因为，，
　　所以点A与点重合，点B与点重合．
　　因为圆具有旋转不变性，所以与重合
　　于是有结论：，．
　　这就是圆心角以及它们所对的弧、弦之间的关系：
　　在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等．
　　几何符号语言：⊙O中，∵
　　∴ ，
　　或∵ ⊙与⊙是等圆，
　　∴ ，
　　同样的，在同圆或等圆中，如果两条弧等，还能知道什么相等?
　　在同圆或等圆中，如果两条弦等，还能知道什么相等? ’
　　(弦所对的优弧相等、劣弧相等，优弧所对的弦心角相等、劣弧所对的弦心角相等)
　　把这三个真命题概括起来，得到定理的推论．
　　推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．
　　分析定理：同圆或等圆中圆心角等、弧等、弦等，知一推二．用来找角、线段、弧的相等关系．

　　1．判断题，下列说法正确吗?为什么?
　　(1)因为，所以．
　　　 错，反例如图．没有同圆或等圆的前提．
　　(2)在⊙和⊙中，如果弦，那么．
　　　 错一在于没有同圆或等圆中，不能用定理．
　　　 错二在于同圆或等圆中，也有优弧、劣弧之分．
　　(3)如图，∠1=∠2，则AD=BC
　　　 错，BC不是弦．

　　2．如图，在⊙O中，，∠1=45°，求∠2的度数．
　　解：∵ ⊙O中，
　　　　∴
　　　　即
　　　　∴ ∠2=∠1=45°

　　3．如图，在⊙O中，，∠ACB=60°
　　求证：∠AOB=∠BOC=∠AOC．
　　证明：∵ ⊙O中，
　　　　　∴ AB=AC
　　　　　∵ ∠ACB=60°
　　　　　∴ △ABC是等边三角形，AB=BC=CA
　　　　　∴ ∠AOB=∠BOC=∠AOC
　　小结：
　　1．在同圆或等圆中，圆心角、圆心角所对的弧、所对的弦之间的关系定理及推论，这些内容是我们今
　 　　后证明弧相等、弦相等、角相等的重要依据．
　　2．在运用定理及推论解题时，必须注意要有“在同圆或等圆”这一前提条件．

来源：中国哲士网

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