公开课优质课切线的判定方法-数九年上复习比赛获奖作品

一、知识要点：
1、切线的判定：
　　我们知道，当直线和圆有唯一公共点时，叫做直线和圆相切，这时的直线叫做圆的切线，唯一的公共点叫做切点.这里“有唯一公共点”是有一个且只有一个公共点，即说明“存在性”又说明“唯一性”.
　　按此定义，如果设⊙O的半径为r，圆心O到直线

的距离为d，那么直线

与⊙O相切

那么如何判定一条直线是圆的切线呢？
　　切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
　　定理的题设是：一条直线

满足：(1)过半径OA的外端点A；(2)垂直于半径OA；
　　结论是：这条直线

是圆的切线，如图-1.

2、切线的判定方法：
　　(1)和圆只有一公共点的直线是圆的切线；
　　(2)圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线；
　　(3)经过半径的外端且与半径垂直的直线是圆的切线；
　　　所以判定切线有三种方法，证题中常用后两种方法，且往往需要添加辅助线.

3、添加辅助线的方法：
　　(1)如果已知直线经过圆上一点，那么连结这点和圆心得到半径，再证所作半径与这条直线垂直.即“连
　　　半径，证垂直”；
　　(2)如果已知条件中不知直线与圆是否有公共点，那么过圆心作直线的垂线段，再证明垂线段的长等于
　　　半径，即“作垂直，证半径”.

二、例题分析：
　　

1. 如图-2，△ABC内接于⊙O，D为AB延长线上一点，且∠DCB=∠A，求证：CD是⊙O的切线.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　分析与解答：要证CD是⊙O切线，且已知公共点C，所以连结OC，用判定定理，只需OC⊥CD，
　　　　　　　　即证：∠OCB+∠DCB=90°，要证直角可利用直径所对圆周角是直角，所以
　　　　　　　　作直径CE，连结BE，则∠CBE=90°
　　　　　　　　∴∠E+∠OCB=90°
　　　　　　　　∵∠A=∠E，∠DCB=∠A
　　　　　　　　∴∠DCB+∠OCB=90°
　　　　　　　　∴OC⊥CD
　　　　　　　　∴CD是⊙O切线.
　　说明：此题也可采用圆周角定理：如图-3
　　　　　

设∠A=∠DCB=x，则
　　　　　∠BOC=2x
　　　　　∵OB=OC
　　　　　

　　　　　∴∠OCB+∠DCB=90°
　　　　　∴OC⊥CD，即CD是⊙O切线.

　　

2. 如图-4，△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交BC于D，DE⊥AC于E，求证：DE是⊙O的切线.
　　分析与解答：要证DE是⊙O切线，且已知公共点D，所以连结OD，只需证OD⊥DE即可，又已知

DE⊥AE，
　　　　　　　　所以需证：OD∥AC，所以：连结OD
　　　　　　　　∵OB=OD
　　　　　　　　∴∠B=∠ODB
　　　　　　　　∵AB=AC
　　　　　　　　∴∠B=∠C
　　　　　　　　∴∠ODB=∠C
　　　　　　　　∴OD∥AC
　　　　　　　　又∵DE⊥AC
　　　　　　　　∴OD⊥DE
　　　　　　　　∴DE是⊙O的切线.
　　说明：此题中证明OD∥AC，还有另外方法：
　　　　　如连结AD，∵AB是⊙O直径，∴AD⊥BC
　　　　　∵AB=AC
　　　　　∴BD=CD
　　　　　又∵OB=OA
　　　　　∴OD∥AC
　　　　　又∵DE⊥AC
　　　　　∴OD⊥DE
　　　　　∴DE是⊙O切线.

　　

3．如图-5，△ABC中，∠ACB=90°，以AC为直径的⊙O，交AB于D，E为BC中点.求证：DE是⊙O切线.
　　分析与解答：要证DE是⊙O切线，且已知公共点D，所以连结OD，只需证∠ODE=∠OCB=90°即可

　　　　　　　　从而证明：△ODE≌△OCE，连结OD，OE
　　　　　　　　∵OA=OC，E为BC中点
　　　　　　　　∴OE∥AB
　　　　　　　　∴∠DOE=∠ADO
　　　　　　　　∠COE=∠A
　　　　　　　　∵OA=OD
　　　　　　　　∴∠A=∠ADO
　　　　　　　　∴∠DOE=∠COE
　　　　　　　　∵OD=OC
　　　　　　　　OE=OE
　　　　　　　　∴△DOE≌△COE
　　　　　　　　∴∠ODE=∠OCE
　　　　　　　　∵∠ACB=90°
　　　　　　　　∴∠ODE=90°
　　　　　　　　∴DE是⊙O的切线.

　　此题证明∠ODE=∠OCE还有另外证法
　　连结OD，CD
　　∵AC是⊙O直径
　　∴CD⊥AB
　　∵E为BC中点
　　∴ED=EC
　　∴∠EDC=∠ECD
　　又∵OD=OC
　　∴∠ODC=∠OCD
　　∴∠EDC+∠ODC=∠ECD+∠OCD
　　∴∠ODE=∠OCE=90°
　　∴DE是⊙O的切线.

　　

4．如图-7，P点是∠AOB的平分线OC上一点，PE⊥OA于E，以P

为圆心，PE为半径作⊙P.
　　求证：⊙P与OB相切.
　　分析与解答：要证OB是⊙P的切线，且不知道是否有公共点
　　　　　　　　所以作PF⊥OB于F，只需证PF=PE即可
　　　　　　　　作PF⊥OB于F
　　　　　　　　∵OP平分∠AOB，且PE⊥OA
　　　　　　　　∴PF=PE，∴OB是⊙P的切线.

　　

5. 如图-8，梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=∠D=90°，且AD+BC=AB.
　　　　　　求证：以AB为直径的⊙O与CD相切.
　　

分析与解答：要证CD与⊙O相切，且不知CD与⊙O是否有公共点，所以需作OM⊥CD，
　　　　　　　　只需证

即可.
　　　　　　　　作OM⊥CD于M
　　　　　　　　∵∠C=∠D=90°
　　　　　　　　∴AD∥OM∥BC
　　　　　　　　又∵OA=OB
　　　　　　　　∴DM=CM
　　　　　　　　

　　　　　　　　又∵AD+BC=AB
　　　　　　　　

　　　　　　　　∴CD是⊙O的切线.

　　

6. 已知：⊙O及⊙O外一点P，求作：直线m，使得直线m过P点且与⊙O相切.

　　分析与解答：假定过点P的直线m与⊙O相切于点A，则OA⊥m
　　　　　　　　即在⊙O上取一点A，使∠PAO=90°
　　　　　　　　直线PA为所求m，从而利用直径所对圆周角为直角构造
　　　　　　　　作法：
　　　　　　　　连结OP，使OP为直径作圆交⊙O于点A
　　　　　　　　则直线PA为所求

　　

7．已知:如图， AB是半圆O的直径，D是AB延长线上的一点，AE⊥DC，交DC的延长线于点E，交半圆O于点F，且C为

的中点.
　　(1)求证：DE是半圆O的切线；
　　(2)若∠BCD=

，求证：∠EAC=∠D．
　　证明：(1)连接OC，
　　　　　　 ∵C为

的中点，∴

．∴∠1=∠2.
　　　　　　

∵OA=OC， ∴∠3=∠2. ∴∠1=∠3.
　　　　　　 ∴OC∥AE.
　　　　　　 ∵AE⊥DE， ∴∠E=90°.
　　　　　　 ∴ ∠DCO=∠E=90°，即DE⊥OC，
　　　　　　又OC为半圆O的半径，
　　　　　　 ∴ DE是半圆O的切线.
　　　　　(2)∵ AB是⊙O的直径， ∴ ∠ACB=90°.
　　　　　　 ∵ ∠BCD=30°，且∠ECA+∠ACB+∠BCD=180°， ∴ ∠ECA=60°.
　　　　　　 ∵ ∠E=90°，∴ ∠1=30°．
　　　　　　 ∴ ∠EAD=2∠1=60°． ∴∠D=30°．
　　　　　　 ∴ ∠1=∠D．即∠EAC=∠D．

　　

8．如图，