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方程(组)与不等式(组)
方程(组)与不等式

 

[组图]切线长定理及其应用

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知识讲解
一、切线长定理
1、切线长的概念
　　如图，P是⊙O外一点，PA，PB是⊙O的两条切线，我们把线段PA、PB叫做点P到⊙O的切线长.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　注意：切线和切线长是两个不同的概念，切线是直线，不能度量；切线长是线段的长，这条线段的两个端点分别是圆外一点和切点，可以度量.

2、切线长定理
　　切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

3、切线长定理的基本图形进一步研究
　　如图，PA，PB是⊙O的两条切线，A，B为切点．OP交⊙O于点D，
　　连结AB，交OP于点C.
　　问：还能得到哪些结论？
　　除了有PA=PB，PO平分∠APB外，OP平分∠AOB，还可以证出PO⊥AB，AC=BC，进而由垂径定理可证出：PO平分.
　　说明：对基本图形的深刻研究和认识是学习几何中关键，它是灵活应用知识的基础.
　　练习：已知：如图，P为⊙O外一点，PA，PB为⊙O的切线，A和B是切点,
　　(1)若PA=3，则PB=___________.
　　(2)若PA=，PB=，则=___________
　　(3)若⊙O的半径为3，∠APB=60°，则PA=___________
　　答案：(1)3；(2)6；(3).

　　典型例题：如图，在ΔABC中，AB=5，BC=7，AC=8，⊙O和BC、AC、AB分别相切于D、E、F，求AF、BD和CE的长.
　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：根据切线长定理可得：AE=AF，BD=BF，CD=CE
　　　　　再通过已知量和未知量的关系AF+BF=AB，BD+CD=BC，AE+CE=AC用方程思想解得.
　　(方法一)设AF=，BD=和CE=，根据AF+BF=AB，BD+CD=BC，AE+CE=AC可列方程组，
　　　　　　然后解得：
　　　　　　即AF=3，BD=2和CE=5.
　　(方法二)设AE=AF=，则BD=BF=，
　　　　　　CD=CE=，再通过AE+CE=AC列方程：，解得
　　　　　　从而求得：AF=3，BD=2和CE=5.
　　一般地：设△ABC的BC=a，CA=b，AB=c，内切圆I和BC、AC、AB分别相切于点D、E、F
　　求证：.

二、求三角形的外接圆的半径
1、直角三角形
　　如果三角形是直角三角形，那么它的外接圆的直径就是直角三角形的斜边.
　　1．已知：在△ABC中，AB=13，BC=12，AC=5
　　　　　　求△ABC的外接圆的半径.
　　解：∵AB=13，BC=12，AC=5，
　　　　∴AB2=BC2＋AC2，
　　　　∴∠C=90°，
　　　　∴AB为△ABC的外接圆的直径，
　　　　∴△ABC的外接圆的半径为6.5.

2、一般三角形
　　①已知一角和它的对边
　　2．如图，在△ABC 中，AB=10，∠C=100°，
　　　　　　求△ABC外接圆⊙O的半径.(用三角函数表示)
　　分析：利用直径构造含已知边AB的直角三角形.
　　解：作直径BD，连结AD.
　　　　则∠D=180°-∠C=80°，∠BAD=90°
　　　　∴BD==
　　　　∴△ABC外接圆⊙O的半径为.
　　注：已知两边和其中一边的对角，以及已知两角和一边，都可以利用本题的方法求出三角形的外接圆的半径.

　　3．如图，已知，在△ABC 中，AB=10，∠A=70°，∠B=50°
　　　　　　求△ABC外接圆⊙O的半径.
　　分析：可转化为①的情形解题.
　　解：作直径AD，连结BD.
　　　　则∠D=∠C=180°-∠CAB-∠ABC=60°，∠DBA=90°
　　　　∴AD===
　　　　∴△ABC外接圆⊙O的半径为.

　　②已知两边夹一角
　　4．如图，已知，在△ABC 中，AC=2，BC=3，∠C=60°
　　　　　　求△ABC外接圆⊙O的半径.
　　分析：考虑求出AB，然后转化为①的情形解题.
　　解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
　　　　则∠DBA=90°，∠D=∠C=60°，CE=AC=1，AE=，
　　　　BE=BC-CE=2，AB==
　　　　∴AD===
　　　　∴△ABC外接圆⊙O的半径为.

　　③已知三边
　　5．如图，已知，在△ABC 中，AC=13，BC=14，AB=15
　　　　　　求△ABC外接圆⊙O的半径.
　　分析：作出直径AD，构造Rt△ABD.只要求出△ABC中BC边上的高AE，利用相似三角形就可以求出直径AD.
　　解：作直径AD，连结BD.作AE⊥BC，垂足为E.
　　　　则∠DBA=∠CEA=90°，∠D=∠C
　　　　∴△ADB∽△ACE ∴
　　　　设CE=x， ∵AC2-CE2=AE2=AB2-BE2 ∴132-x2=152-(14-x)2 x=5，即CE=5
　　　　∴AE=12 ∴ AD= ∴△ABC外接圆⊙O的半径为.

三、求三角形的内切圆的半径
1、直角三角形
　　6．已知：在△ABC 中，∠C=90°，AC=b，BC=a，AB=c
　　　　　　求△ABC外接圆⊙O的半径.
　　解：可证四边形ODCE为正方形.设⊙O的半径为r，
　　　　则CD=CE=r，BD=a-r，AE=b-r， ∴(a-r)+(b-r)=c，
　　　　∴r=，即△ABC外接圆⊙O的半径为.

2、一般三角形
　　①已知三边
　　7．已知：如图，在△ABC 中，AC=13，BC=14，AB=15
　　　　　　求△ABC内切圆⊙O的半径r.
　　分析：考虑先求出△ABC的面积，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
　　解：利用例5的方法，
　　　　或利用海伦公式S△=(其中s=)
　　　　可求出S△ABC=84，从而AB•r+BC•r+AC•r=84， ∴r=4

　　②已知两边夹一角
　　8．已知：如图，在△ABC 中，，AB=5，BC=6
　　　　　　求△ABC内切圆⊙O的半径r.
　　分析：考虑先通过解三角形，求出△ABC的面积及AC的长，再利用“面积桥”，从而求出内切圆的半径.
　　解：作△ABC的高AD.解直角三角形可得AD=3，CD=2，AC=，
　　　　因为AB•r+BC•r+AC•r=BC•AD， 可求得r=

　　③已知两角夹一边
　　9．已知：如图，在△ABC 中，∠B=60°，∠C=45°，BC=6
　　　　　　求△ABC内切圆⊙O的半径r.(精确到0.1)
　　分析：思路方法同上，读者可自己完成.
　　总之，只要通过边、角能确定三角形，就可以借鉴上面的方法求出这个三角形的外接圆和内切圆的半径.

来源：中国哲士网

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