一、目标认知
学习目标：
　　1．了解直角三角形在测量问题中的应用，能用锐角三角函数解决斜坡问题；
　　2．培养用数学知识解决实际问题的能力，即把实际问题转化为数学问题，并用锐角三角函数的知识去
　 　　解决；
　　3．体会解直角三角形在解决实际问题中的作用，养成积极探索实际问题的态度，培养学数学、用数学
　 　　的观念.

学习重点：
　　把实际问题通过建模转化为解直角三角形的问题，利用锐角三角函数解决实际问题.

学习难点：
　　实际问题中的一些术语，如何添加辅助线构造出直角三角形，把实际问题转化数学问题.

二、学习内容解析
1.解决实际问题的步骤：
　　(1)先根据题目抽象画出平面几何图形.
　　(2)转化为解直角三角形的问题，分析已知条件和所求.
　　(3)解直角三角形，得到数学答案.
　　(4)检验得到实际问题的答案.

2.实际问题的几种题型：
　　仰角、俯角、方向角、坡度、坡角、跨度、燕尾槽、大坝.

3.应用举例
(1)仰角与俯角问题：
　　名词解释：
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　测量时，在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫做仰角，视线在水平线下方的叫做俯角.

　　1.热气球的探测器显示，从热气球看一栋高楼顶部的仰角为，看这栋高楼底部的俯角为，热气球与高楼的水平距离为120m，这栋高楼有多高(结果精确到0.1m)？
　　分析：水平线AD与楼是垂直的，且热气球与高楼的水平距离为AD的长.
　　已知：如图，在中，AD⊥BC于D，AD=120，，.求：BC.
　　解：∵AD⊥BC于D ∴
　　　　在中，∵，且
　　　　∴
　　　　在中，∵，且
　　　　∴
　　　　∴
　　　　答：这栋楼高约为277.1米.
　　注：计算结果最后再精确到0.1m.

　　2.某人站在B处看A，测量仰角为，站在D处看A，测量仰角为，且BD的距离为5.求：AC、DC.
　　分析：设AC为h，DC为x，列关于x的方程.
　　解：设AC=h，DC=x.
　　　　在中，∵，且BD=5.
　　　　∴
　　　　在中，
　　　　∵， ∴
　　　　∴， 解得
　　　　∴.

(2)方向角问题：
　　3.如图：一艘轮船位于灯塔P的北偏东方向，距离灯塔80里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东方向上的B处.这时，轮船所在B处距离灯塔P有多远？(精确到0.01里)
　　　　　　　　　　　　
　　已知：如图，，A点在P点的北偏东，B点在P点的南偏东.求：PB的长.
　　解：∵A点在P点的北偏东，B点在P点的南偏东
　　　　∴，
　　　　在中，∵
　　　　∴
　　　　答：略.

(3)坡度、坡角与大坝问题：
　　名词解释：
　　坡度——通常把坡面(AB)的铅直高度h(BC)和水平宽度(AC)的比叫做坡度(或坡比)，用字母i表示，即；
　　坡角——坡面与水平面的夹角叫做坡角，
　　注：坡度越大，坡面就越陡。

三、例题分析
　　1.如图：要修筑一段长1000米的防洪堤，堤的横断面为梯形，堤顶宽3米，迎水坡的坡度，背水坡的坡度，堤高4.2米，共需多少土方？
　　分析：解决本题实质是求堤的横断面(梯形)的面积，关键是求出堤底AB的长
　　已知：在梯形ABCD中，，坡面AD的坡度，坡面BC的坡度，梯形高为4.2.
　　求：及V.
　　解：过D作DE⊥AB于E，CF⊥AB于F
　　　　DE⊥AB于E， CF⊥AB于F
　　　　∴∠DEF=∠CFB=90°
　　　　∴DE∥CF
　　　　又∵ DC∥EF且DC=3
　　　　四边形DEFC为平行四边形， EF=DC=3
　　　　在Rt△AED中，，且DE=4.2
　　　　∴AE==2.8
　　　　在Rt△CFB中，，且CF=4.2
　　　　∴FB=
　　　　∴
　　　　∴
　　　　∴
　　　　答：共需要土方立方米.

　　2.(福建宁德)图1是小明在健身器材上进行仰卧起坐锻炼时情景.图2是小明锻炼时上半身由位置运动到与地面垂直的位置时的示意图.已知米，米，米.
　　(1)求的倾斜角的度数(精确到)；
　　(2)若测得米，试计算小明头顶由点运动到点的路径的长度(精确到0.01米)
　　　　　　　　　　　　
　　解：(1)过作，分别交延长线于.
　　　　　 ，，.
　　　　　 四边形为矩形..
　　　　　 在中，，
　　　　　 .
　　　　　 即的倾斜角度数约为.
　　　　(2)，.
　　　　　 .
　　　　　 的长(米).
　　　　　 答：小明头顶运动的路径的长约为1.60米.

　　3.(湖北咸宁)在一次数学活动课上，老师带领学生去测一条东西流向的河宽(如图所示)，小明同学在河南岸点处观测到河对岸岸边有一点，测得在点东偏北的方向上，沿河岸向正东前行30米到达处，测得在点东偏北的方向上，请你根据以上数据，帮助小明同学计算出这条河的宽度.
　　(参考数据：，)
　　解：如图，过点作，垂足为，设.
　　　　在中，，，
　　　　.
　　　　在中，，，
　　　　，即，
　　　　而，，.
　　　　解得，.经检验是方程的解.
　　　　答：这条河的宽度为45米.

　　4.(湖南长沙)如图所示，某超市在一楼至二楼之间安装有电梯，天花板与地面平行，请你根据图中数据计算回答：小敏身高1.78米，她乘电梯会有碰头危险吗？姚明身高2.29米，他乘电梯会有碰头危险吗？
　　(可能用到的参考数值：，，)
　　解：作交于，则， 1分
　　　　在中，
　　　　(米)
　　　　所以小敏不会有碰头危险，姚明则会有碰头危险.

　　5.(江苏泰州)2007年5月17日我市荣获“国家卫生城市称号”.在“创卫”过程中，要在东西方向两地之间修建一条道路.已知：如图点周围180m范围内为文物保护区，在上点处测得在的北偏东方向上，从向东走500m到达处，测得在的北偏西方向上.
　　(1)是否穿过文物保护区？为什么？(参考数据：)
　　(2)若修路工程顺利进行，要使修路工程比原计划提前5天完成，需将原定的工作效率提高25%，则原计划完成这项工程需要多少天？
　　解：(1)过作于点，设，
　　　　　 则，.
　　　　　 ，.
　　　　　 ，不会穿过保护区. 5分
　　　　(2)设原计划完成这项工程需要天，则，
　　　　　 解之得：.
　　　　　 经检验知：是原方程的根. 答：(略)

　　6.(四川资阳)一座建于若干年前的水库大坝的横断面如图所示，其中背水面的整个坡面是长为90米、宽为5米的矩形.现需将其整修并进行美化，方案如下：① 将背水坡AB的坡度由1∶0.75改为1∶；② 用一组与背水坡面长边垂直的平行线将背水坡面分成9块相同的矩形区域，依次相间地种草与栽花 .
　　⑴ 求整修后背水坡面的面积；
　　⑵ 如果栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，那么种植花草至少需要多少元？
　　解：⑴ 作AE⊥BC于E.
　　　　　 ∵ 原来的坡度是1∶0.75，∴.
　　　　　 设AE=4k，BE=3k，∴ AB=5k，又 ∵ AB=5米，
　　　　　 ∴k=1，则AE=4米 .
　　　　　 设整修后的斜坡为AB′，由整修后坡度为，有，
　　　　　 ∴∠AB′E=30°， ∴ AB′=2AE=8米.
　　　　　 ∴ 整修后背水坡面面积为90×8=720米² .
　　　　⑵ 将整修后的背水坡面分为9块相同的矩形，则每一区域的面积为80米² .
　　　　　 解法一：∵ 要依次相间地种植花草，有两种方案：
　　　　　 　　　　第一种是种草5块，种花4块，需要20×5×80+25×4×80=16000元；
　　　　　 　　　　第二种是种花5块，种草4块，需要20×4×80+25×5×80=16400元.
　　　　　 　　　　∴ 应选择种草5块、种花4块的方案，需要花费16000元 .
　　　　　 解法二：∵ 要依次相间地种植花草，则必然有一种是5块，有一种是4块，
　　　　　 　　　　而栽花的成本是每平方米25元，种草的成本是每平方米20元，
　　　　　 　　　　∴ 两种方案中，选择种草5块、种花4块的方案花费较少 .
　　　　　 　　　　即：需要花费20×5×80+25×4×80=16000元 .

　　7.(吉林)如图，要测量小山上电视塔的高度，在山脚下点测得：塔顶的仰角为，塔底的仰角为，米.求电视塔的高(精确到1米)(参考数据：，，，，，.)
　　解：在中，，，.
　　　　.
　　　　.
　　　　在中,,，.　
　　　　.
　　　　(米).

　　8.(湖北咸宁)如图，是半圆的直径，为半圆上一点，是的中点，交于点，于，为垂足，连接.
　　(1)判断的形状，并证明你的结论；
　　(2)若，，求线段和的长.
　　解：(1)是等腰三角形.
　　证明：是的中点，则..
　　　　　是半圆的直径，于，.
　　　　　而为公共边，..即是等腰三角形.
　　　 (2)在中，，.
　　　　　，，.
　　　　　由勾股定理，有，.
　　　　　又，， ..
　　　　　又，， .解得.

　　9.(湖南永州)在梯形中，，，，，.
　　(1)求的长；
　　(2)为梯形内一点，为梯形外一点，若，，试判断的形状，
　 　　并说明理由.
　　(3)在(2)的条件下，若，，求的长.
　　解：(1)过点作，垂足为
　　　　　
　　　　　 四边形为矩形
　　　　　
　　　　(2)
　　　　　
　　　　　
　　　　　 是等腰直角三角形
　　　　(3)过点作
　　　　　 四边形是正方形，
　　　　　
　　　　　
　　　　　 .