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[组图]数学试题选讲——图形变换

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知识要点：
　　各区期末试题依据新课标的要求，力求在试卷中体现新的命题思想、命题形式，几何的实质——图形变换的考查成为以能力立意为出发点的考试热点.初中阶段的三种图形变换：
　　平移、旋转、翻折是构造全等的重要方法，关注变换前后的位置、数量关系区别与联系.

例题分析：
　　1．如图1，往6×6的方格纸中，给出如下三种变换：P变换，Q变换，R变换．
　　将图形F沿x轴向右平移1格得图形，称为作1次P变换；
　　将图形F沿y轴翻折得图形，称为作1次Q变换；
　　将图形F绕坐标原点顺时针旋转90°得图形，称为作1次R变换．
　　规定：PQ变换表示先作1次Q变换，再作1次P变换；QP变换表示先作1次P变换，再作1次Q变换；变换表示作n次R变换．
　　解答下列问题：
　　(1)作变换相当于至少作________次Q变换；
　　(2)请在图2中画出图形F作变换后得到的图形；
　　(3)PQ变换与QP变换是否是相同的变换？请在图3中画出PQ变换后得到的图形，在图4中画出QP变换后
　 　　得到的图形．
　
　　解：(1)2；
　　　　(2)正确画出图形；
　　　　(3)变换PQ与变换QP不是相同的变换.正确画出图形，
　　　　　　　　

　　2．如图，P为正方形ABCD内一点，若PA=a，PB=2a，PC=3a(a>0).
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(1)求∠APB的度数；
　　(2)求正方形ABCD的面积.
　　解：(1)将△ABP绕点B顺时针方向旋转90°得△CBQ.
　 　　　　则△ABP≌△CBQ且PB⊥QB.
　 　　　　于是PB=QB=2a，.
　 　　　　在△PQC中，∵ ，.
　 　　　　∴ .
　 　　　　∴ .
　 　　　　∵ △PBQ是等腰直角三角形，
　 　　　　∴ ∠BPQ=∠BQP=45°.
　 　　　　故∠APB=∠CQB=90°+45°=135°.
　　　　(2)∵ ∠APQ=∠APB+∠BPQ=135°+45°=180°，
　 　　　　∴ 三点A、P、Q在同一直线上.
　 　　　　在Rt△AQC中，.
　 　　　　∴ 正方形ABCD的面积

　　3．如图，正方形ABCO的边长为4，D为AB上一点，且BD=3，以点C为中心，把△CBD顺时针旋转90°，得到 .
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(1)直接写出点的坐标；
　　(2)求点D旋转到点所经过的路线长.
　　解：(1).
　　　　(2)∵ 正方形ABCO的边长为4，D为AB上一点，且BD=3，根据勾股定理可求得CD=5.
　 　　　　∴ 点D旋转到点所经过的路线长为.

　　4．如图，等腰直角△ABC中，∠ABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.
　　(1)求∠DCE的度数；
　　(2)当AB=4，AD：DC=1：3时，求DE的长.
　　解：(1)∵ △CBE是由△ABD旋转得到的，
　 　　　　∴ △ABD≌△CBE，
　 　　　　∴ ∠A=∠BCE=45°，
　 　　　　∴ ∠DCE=∠DCB+∠BCE=90°
　　　　(2)在等腰直角三角形ABC中，∵ AB=4，∴
　 　　　　又∵ AD：DC=1：3，
　 　　　　∴ ，
　 　　　　由(1)知AD=CE且∠DCE=90°，
　 　　　　∴ ，
　 　　　　∴ .

　　5．已知：如图，△ABC是等边三角形，D是AB边上的点，将DB绕点D顺时针旋转60°得到线段DE，延长ED交AC于点F，连结DC、AE.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　(1)求证：△ADE≌△DFC；
　　(2)过点E作EH∥DC交DB于点G，交BC于点H，连结AH.求∠AHE的度数；
　　(3)若，，求BC的长.
　　(1)证明：如图，∵ 线段DB顺时针旋转60°得线段DE，
　 　　　　　∴ ∠EDB=60°，DE=DB.
　 　　　　　∵ △ABC是等边三角形，
　 　　　　　∴ ∠B=∠ACB=60°.
　 　　　　　∴ ∠EDB=∠B.
　 　　　　　∴ EF∥BC.
　 　　　　　∴ DB=FC，∠ADF=∠AFD=60°.
　 　　　　　∴ DE=DB=FC，∠ADE=∠DFC=120°，△ADF是等边三角形.
　 　　　　　∴ AD=DF.
　 　　　　　∴ △ADE≌△DFC.
　　(2)由△ADE≌△DFC，
　 　　得AE=DC，∠1=∠2．
　 　　∵ ED∥BC，EH∥DC，
　 　　∴ 四边形EHCD是平行四边形．
　 　　∴ EH=DC，∠3=∠4．
　 　　∴ AE=EH.
　 　　∴ ∠AEH=∠1+∠3=∠2+∠4=∠ACB=60°．
　 　　∴ △AEH是等边三角形．
　 　　∴ ∠AHE=60°．
　　(3)设BH=x，则AC=BC=BH+HC=x+2，
　 　　由(2)四边形EHCD是平行四边形，
　 　　∴ ED=HC．
　 　　∴ DE=DB=HC=FC=2．
　 　　∵ EH∥DC，
　 　　∴ △BGH∽△BDC．
　 　　∴ .即.解得.
　 　　∴ BC=3.

　　6．在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C的坐标分别为(-8，0)，和(0，6).将矩形OABC绕点O顺时针旋转度，得到四边形，使得边与y轴交于点D，此时边、分别与BC边所在的直线相交于点P、Q.
　　(1)如图1，当点D与点重合时，求点D的坐标；
　　(2)在(1)条件下，求的值；
　　(3)如图2，若点D与点不重合，则的值是否发生变化？若不变，试证明你的结论；若有变化，
　 　　请说明理由.
　　　　　　　
　　(1)解：∵ 将矩形OABC绕点O顺时针旋转度，
　 　　　　得到四边形，且A、C的坐标分别为(-8，0)和(0，6)，
　 　　　　∴ ，.
　 　　　　∴ .
　 　　　　∴ 点D的坐标为(0，10).
　　(2)解：∵ ，，
　 　　　　∴ .
　 　　　　∵ ，且，
　 　　　　∴ .同理.
　 　　　　∴ .
　 　　　　∴ .
　 　　　　(或：∵ .
　 　　　　∴ .)
　　(3)解：如图2所示，作交于点E，
　 　　　　∵ ，且PE∥CQ，
　 　　　　∴ 四边形是平行四边形.
　 　　　　∴ .
　 　　　　∵ ，，
　 　　　　∴ ，.
　 　　　　∴ .
　 　　　　又∵ ，
　 　　　　∴ .
　 　　　　∴ .
　 　　　　∴ 的值不会发生改变.

来源：中国哲士网

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