1．在理解的基础上，会利用两圆圆心距和两圆半径之间的关系讨论两圆的位置关系；
2．进一步探究图形的性质，体会连心线、公共弦、公切线在沟通两圆中的元素及之间关系的重要作
用，会利用两圆相切、相交时的性质进行简单的推理、计算和作图.
知识梳理：
1．利用圆心距与两圆半径之间的数量关系来确定两圆的位置关系：
设两圆圆心距为d，两圆半径分别为R，r(
).两圆外离
；两圆外切
；两圆相交
；两圆内切
；两圆内含
0<
.两圆只有一个公共点时，称两圆相切，相切包括内切与外切两种情况.
两圆无公共点时，称两圆相离，相离包括外离和内含两种情况.
2．两圆的各种位置关系所构成的图形都是轴对称图形，其对称轴是连心线(经过两圆圆心的直线).
(1)当两圆相切时，切点在连心线上.
(2)两圆相交时连心线是公共弦的垂直平分线.
例题分析：
1．已知：
的半径为5cm，点P是外一点，OP=8cm，以P为圆心
作一个圆与相切，求这个圆的半径是多少？解：情况一，当
与
相外切于点A时，有
(cm)情况二，当
与相内切于点B时，则
(cm)∴这个圆的半径为3cm或13cm.
注意：相切包括内切和外切两种情况，要分类讨论.
2．已知
与
相交与A、B两点，公共弦AB的长为16，两圆的半径分别为10和17，求两圆圆心距
的长度.
解：当圆心
，
在公共弦两侧时，连结
、
.∵
与相交于A、B两点∴
，且
∴
∴
当圆心
、
在公共弦同侧时，连结
.同理可得
，
∴
∴圆心距为21或9.
注意：两圆相交时,两圆圆心可能在公共弦同侧，可能在公共弦异侧，也可能其中一个圆心在公共弦上.
3．已知相交两圆的半径分别为
，圆心距为d，试求d的整数值.分析：对于半径分别为r1，r2的两圆相交，若圆心距为d，则|r1-r2|<d<r1+r2.可利用这关系不等式.
解：由已知：
即
，而d为正整数∴3≤d≤5
∴d的整数值为3，4，5.
4．已知两圆的半径分别为r1，r2，圆心距为d，且满足
，试确定这两圆的位置关系.分析：欲找到r1，r2，d之间的线性关系，需将已知的r1，r2，d之间的二次方程，利用分解因式法降次.
解：
(r1-d+r2)(r1-d-r2)=0
r1+r2-d=0或r1-r2-d=0
即r1+r2=d或r1-r2=d(r1>r2)
∴这两个圆外切或内切.
想一想，若两圆内切，圆心距为3cm，其中一个圆的半径为5cm，则另一个圆的半径为_____.
提示：解这类题注意不要丢解，若设另一个圆的半径为rcm，布列含绝对值的方程|r-5|=3为好，解得r=8或r=2.
5．如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，AB⊥BC，
，AD、BC的长是方程x2-20x+75=0的两根，以D为圆心，AD长为半径的圆，和以C为圆心，BC长为半径的圆之间有怎样的位置关系？
分析：问题转化为比较AD+BC与DC之间的大小关系.
解：x2-20x+75=0
(x-15)(x-5)=0
x=15或x=5
∵AD<BC
∴由已知，AD=5，BC=15
如图，作DE⊥BC于点E，由已知，则四边形ABED是矩形，
EC=BC-BE=BC-AD=15-5=10
∴AD+BC=DC=20
∴这两个圆外切.
6．已知：如图，两圆相交于A、B点，割线BEF与割线ACD互相平行，试比较线段EF与CD的大小，并证明.
解：EF=CD，理由如下：
如图，分别连结AB，FC，ED
∵FE∥CD，∴欲证EF=CD，只要证四边形EDCF是平行四边形，即证FC∥ED
对于左边大圆，∵∠F与∠BAC所对的弧是
，∴∠F=∠BAC
对于右边小圆，∵∠DEB与∠BAD所对的弧是
∴∠BED=∠BAD
∴∠F=∠BED
∴FC∥ED
又∵FB∥AD，即FE∥CD
∴四边形EDCF是平行四边形
∴EF=CD.
7．已知：A、B是两圆的交点，AC是小圆O的直径，D、E分别是CA和CB的延长线与大圆的交点，AC=12，BE=30，BC=AD.求：(1)DE=？∠C=？
(2)AC、BC与小圆劣弧所围成的图形的面积S.
解：连结AB，DE
在△ACB和△ECD中
∴△ACB∽△ECD
又∵AC是小⊙O的直径，
∴∠D=∠ABC=90°
设CB=AD=x
，即CB·CE=CA·CD∴x(x+30)=12(12+x)
整理得x2+18x-144=0
(x+24)(x-6)=0
∵x>0
∴只有x=6，即CB=AD=6
在Rt△ABC中，
∵AC=12，BC=6，∠ABC=90°
∴∠C=60°
在Rt△CDE中
∵∠D=90°，CD=CA+AD=12+6=18，∠C=60°
(2) 连结OB
S=S△OCB+S扇形AOB
巩固练习：
1．如图，在平面直角坐标系中，点
的坐标为
，以点为圆心，8为半径的圆与
轴交于
两点，过
作直线与轴负方向相交成60°的角，且交
轴于
点，以点
为圆心的圆与轴相切于点
.(1)求直线
的解析式；(2)将
以每秒1个单位的速度沿轴向左平移，当第一次与
外切时，求平移的时间.
2. 如图，在长为25cm，宽为18cm的矩形ABCD中截下一个最大的⊙O2后，若想在剩余的材料中再截去一个最大的⊙O1，试求⊙O1的半径.
3. 如图，要想在半径为R的圆铁片内剪下四个相等的圆片，那么其半径r的最大值是多少？
4. 已知：如图所示，半圆O的直径为2R，分别以AO、OB为直径在半圆O内分别作半圆C和半圆F，若⊙D与⊙O内切，且分别与⊙C、⊙F外切，试求⊙D的半径r.
5．已知：半径为R的⊙
经过半径为r的⊙O圆心，⊙与⊙O交于M、N两点.(1)如图1，连接O
交⊙O于点C，过点C作⊙O的切线交⊙于点A、B，求
的值；(2)若点C为⊙O上一动点.
①当点C运动到⊙
内时，如图2，过点C作⊙O的切线交⊙于A、B两点.请你探索的值与(1)中的结论相比较有无变化？并说明你的理由；
②当点运动到⊙
外时，过点C作⊙O的切线，若能交⊙于A、B两点.请你在图3中画出符合题意的图形，并探索
的值(只写出的值，不必证明).
参考答案：
1．(1)
，直线的解析式： 
(2)
，平移的时间为5秒2．解：如图，连结O1O2，作O1E⊥AB于点E，O2F⊥AB于点F，O1G⊥O2F于点G，则四边形O1EFG 是矩形.
∵⊙O2与矩形ABCD的三边相切，BC=18cm
∴r2=O2F=FB=9cm
又∵⊙O1与AD、AB边相切；
∴r1=O1E=AE
设r1=xcm，则
O1G=EF=AB-(AE+FB)=(16-x)cm
∵⊙O1与⊙O2外切，
∴O1O2=r1+r2=(x+9)cm
在Rt△O1GO2中，
∴(x+9)2-(x-9)2=(16-x)2
整理得x2-68x+256=0
(x-64)(x-4)=0
又∵r<9,∴只有x=4
答：⊙O1的半径为4cm.
3．分析：欲使四个相等的圆片最大，只要使这相邻小圆片分别两两外切，且都内切于已知圆，
则AC=2(R-r),AB=2r
∵△ABC是等腰直角三角形
，
，
，
答：r的最大值为
.4．解：如图，过D点作半径OE，则E为⊙D与⊙O的切点，分别连结CD、FD，则
∵DC=DF，CO=OF，∴OD⊥CF
∴CO2+OD2=CD2
即
整理得R2=3Rr，
.5．解：(1)如图1，延长OO′交⊙O于点D，连接AD.
∵ OD是⊙O′的直径， ∴ ∠DAO=90°.
∵ AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB.
∴ ∠BCO=∠DAO=90°.
又 ∠B=∠D， ∴ △BOC∽△DOA.
∴
. ∴ OA·OB=OC·OD=2Rr.即OA·OB=2Rr.
(2)①答：OA·OB=2Rr不变.
理由：如图2，作⊙O′的直径OD，连接AD、OC，
∴ ∠DAO=90°.
∵ AB与⊙O相切于点C， ∴ ∠BCO=90°.
∴ ∠BCO=∠DAO. 又 ∠B=∠D，
∴ △BCO∽△DAO. ∴
.∴ OA·OB=OC·OD =2Rr.
②答：OA·OB=2Rr不变.
画图如图.
