1．了解相似多边形的概念，知道相似多边形的性质；
2．了解两个三角形相似的概念，会利用相似三角形的性质与判定进行简单的推理和计算；
3．会利用相似三角形的知识解决一些实际问题；认识现实生活中物体的相似；会运用相似多边形的性
质解决简单的问题；利用图形的相似解决一些简单实际问题.
二、知识梳理及例题分析
1．相似三角形的概念：
在
和
中，如果
，
，
，
，我们就说和
相似，记作∽，
就是它们的相似比(注意：要把表示对应顶点的字母写在对应的位置上).思考：在
中,点
是边
的中点,
，
交
于点
，
与有什么关系？猜想：
与相似. 证明：在与中，
∴
，
.过点
作
，
交
于点
在
中，
，
，∴
.又
，∴
∴
，
∴
∽(对应角相等，对应边的比相等的两三角形相似)，相似比为
.改变点
在上的位置，可以进一步猜想以上两个三角形依然相似.2．相似三角形的判定
定理：平行于三角形一边的直线和其他两边相交，所构成的三角形与原三角形相似.
小结：判定三角形相似的方法：(1)相似三角形的定义；(2)由平行线得相似.
思考：对比三角形全等判定的简单方法(
)，看是否也有简便的方法？已知：在
和中，
.求证：
∽.
分析：要证明
∽，可以先作一个与全等的三角形，证明它与相似，这里所作的三角形是证明的中介，它把与联系起来证明：在线段
(或它的延长线)上截取
，过点作
，交
于点，根据前面的结论可得
∽.∴
又
，
∴
∴
同理：
∴
≌∴
∽相似三角形的判定定理：如果两个三角形的三组对应边的比相等，那么这两个三角形相似.可简单说成：三边对应成比例，两三角形相似.
思考：若
，
，与是否相似呢？相似三角形的判定定理：如果两个三角形的两组对应边的比相等，并且相应的夹角相等，那么这两个三角形相似 可简单说成：两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似.
进一步引申：若
，
，与是否相似呢？ 不一定问：全等中的边边角不能用，那么边边角也不能证相似，反例同全等.
例1.根据下列条件，判断
与是否相似，并说明理由：(1)
，
，
；
，
，
.(2)
，
，
；
，，
.解：(1)
，
∴
又
∴∽问：这两个相似三角形的相似比是多少？(答：是
)(2)
，
，
∴
与的三组对应边的比不等，它们不相似.问：要使两三角形相似，不改变
的长，的长应当改为多少？(答：
)例2.要做两个形状相同的三角形框架，其中一个三角形框架的三边的长分别为4、5、6，另一个三角形的一边长为2，怎样选料可使这两个三角形相似？
注：此题没说2与哪条边是对应边，所以要进行分类讨论.可以是：
，3；或
，
；或
，
.注：当两三角形相似而边不确定时，要注意分类讨论.
相似三角形的判定定理：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等的，那么这两个三角形相似.简单说成：两角对应相等，两三角形相似.
3．三角形相似的判定的应用
例3.如图，弦
和弦
相交于
内一点
，求证：
.
分析:题目中求证的是等积式，我们可以转化为比例式，从而找到应证哪两个三角形相似.同时圆当中同弧或等弧所对的圆周角相等要会灵活应用.证明：连接
，
.在
∴
∽
∴
.例4.已知：如图，在
中，
于点.(1)求证：
∽
∽
；(2)求证：
；
；
(此结论称之为射影定理)(3)若
，求 
.
(4)若 
，求 
.分析：(1)利用两角相等证相似；
(2)把相似三角形的相似比的比例式改为乘积式即可；
(3)利用射影定理和勾股定理直接求；
(4)利用上面的定理和方程求.
进一步引申：在
中，于点，这个条件可以放在圆当中，是直径，
是圆上任意一点，于点，则可得到双垂直图形.例.已知：
∽
，
分别是两个三角形的角平分线.求证：
.分析：先利用相似三角形的性质得到
，
，再利用角平分线的定义，得到
，从而可证得
∽
，则比例式可证得得到：相似三角形对应角的平分线的比等于相似比.那么对应中线的比，对应高线的比呢？4．相似三角形的性质
(1)相似三角形的对应角相等，对应边的比相等，都等于相似比.
(2)相似三角形对应高的比，对应角的平分线的比，对应中线的比都等于相似比.
(3)相似三角形周长的比等于相似比；相似多边形周长的比等于相似比.
证明：如果
∽，相似比为，那么
.因此
，
，
.从而，
.同理可得相似多边形对应周长的比也等于相似比.
如图，已知：∽，相似比为.分别作出与的高
和
和
都是直角三角形，并且
，
∽
相似多边形面积的比等于相似比的平方.对于两个相似多边形，可以把他们分成若干个相似三角形证明.
例5.如图，在
和中，
，
，，
的周长是24，面积是48，求的周长和面积.解：在
和中，
，
又
∽，相似比为.的周长为
，的面积是 
.例6.已知点P在线段AB上，点O在线段AB的延长线上.以点O为圆心，OP为半径作圆，点C是圆O上的一点.
(1)如图，如果AP=2PB，PB=BO.求证：△CAO∽△BCO；
(2)如果AP=m(m是常数，且
)，BP=1，OP是OA、OB的比例中项.当点C在圆O上运动时，求
的值(结果用含m的式子表示)；
(3)在(2)的条件下，讨论以BC为半径的圆B和以CA为半径的圆C的位置关系，并写出相应m的取值范围.
分析：此题第1问：利用两边的比相等，夹角相等证相似.
即
，
第2问：设
∵
是
的比例中项，∴
是的比例中项即
∴
解得又∵
第3问：∵
，，即
当
时，两圆内切；当 
时，两圆内含；当 时，两圆相交.例7.如图，已知
中，
，
，
，
，点在上，(与点
不重合)，
点在上.(1)当
的面积与四边形
的面积相等时，求
的长.(2)当
的周长与四边形的周长相等时，求的长.(3)在
上是否存在点
，使得
为等腰直角三角形？要不存在，请说明理由；若存在，请求出
的长.
解：(1)
，
∽
(2)∵
的周长与四边形的周长相等 
∽
(3)在线段
上存在点，使得为等腰直角三角形.
过作于，则
，设交于
若
，则
.∵
∽ 
若
，同理可求
.若
，
∽ 
∴ 在线段
上存在点，使得为等腰直角三角形，此时，
或
.三、总结归纳：
1、相似三角形的判定：
(1)相似三角形的定义；
(2)平行得相似；
(3)三边的比相等；
(4)两边的比相等，夹角相等；
(5)两角对应相等.
三角形相似判定的方法较多，要根据已知条件适当选择.
2、全等与相似的类比：
| 三角形全等 | 三角形相似 |
| 两角夹一边对应相等(ASA) 两角一对边对应相等(AAS) 两边及夹角对应相等(SAS) 三边对应相等(SSS) 直角三角形中一直角边与斜边对应相等(HL) |
两角对应相等 两边对应成比例，且夹角相等 三边对应成比例 直角三角形中斜边与一直角边对应成比例 |
3、相似三角形的常见图形及其变换：
4、证明四条线段成比例的常用方法：
(1)线段成比例的定义
(2)三角形相似的预备定理
(3)利用相似三角形的性质
(4)利用中间比等量代换
(5)利用面积关系
证明题常用方法归纳：
(1)通过“横找”“竖看”寻找三角形，即横向看或纵向寻找的时候一共各有三个不同的字母，并且这
几个字母不在同一条直线上，能够组成三角形，并且有可能是相似的，则可证明这两个三角形相
似，然后由相似三角形对应边成比例即可证的所需的结论.
(2)若没有三角形(即横向看或纵向寻找的时候一共有四个字母或者三个字母，但这几个字母在同一条直
线上)，则需要进行“转移”(或“替换”)，常用的“替换”方法有这样的三种：等线段代换、等比
代换、等积代换.
(3)若上述方法还不能奏效的话，可以考虑添加辅助线(通常是添加平行线)构成比例.以上步骤可以不断
的重复使用，直到被证结论证出为止.
