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[组图]抛物线上给定条件的点的坐标求法

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知识要点：
　　1. 二次函数的学习一方面要会借助其图象的形状和位置去探究其性质，另一方面借助图象对几何对象
　 　　的位置和数量关系进行推理和计算。这就是本章重要内容之一。
　　2. 坐标系中的点P(x，y)到x轴距离是|y|，而到y轴的距离是|x|。
　　3. 要注意数形结合。在计算和推理几何图形的结果时，要会根据图形判断所计算的结果是否符合实
　 　　际，决定满足条件的图形或点是否存在。

例题分析：
　　1. 已知：抛物线y=x2+bx+c的对称轴为x=1交x轴于点A、B(A在B的左侧)且AB=4，交y轴于点C。
　　(1)求此抛物线的函数解析式及其顶点M的坐标.
　　分析与解答：确定抛物线的解析式一般要用待定系数法，而求抛物线的顶点，常用的配方法或公式
　　∵对称轴x=1，且AB=4
　　∴抛物线与x轴的交点为：A(-1，0)，B(3，0)
　　
　　∴y=x2-2x-3为所求
　　∵x=1时y=-4 ∴M(1，-4)
　　(2)画出此抛物线的草图并求S△ABC.
　　分析与解答：画函数的图象常采用描点法：
　　其一般步骤：列表--描点--连线，而二次函数图象的画法，常描出五个点且这五点均匀分布在对称轴的两侧。当然画图时应尽量注意与坐标轴交点的位置，及对称轴顶点坐标。
　　列表
x … -1 0 1 2 3 …
y … 0 -3 -4 -3 0 …
　　描点，连线，如图
　　
　　由画图可知A(-1，0)，B(3，0)，C(0，-3)
　　∴AB=4，OC=3
　　
　　(3)在此抛物线上求一点P，使得S△PAB=6.
　　分析与解答：由题设△PAB中，边AB=4，面积是6
　　易求得AB边上的高，即点P到AB所在直线x轴的距离，从而知道了点P的纵坐标，需要注意的是这里点P到AB的距离唯一而P点纵坐标不一定唯一，而点P在抛物线上，其坐标满足抛物线方程。
　　设P点坐标为(x0，y0)
　　∵AB=4，S△PAB=6
　　
　　∴y0=±3
　　又
　　∴当y0=3时，有
　　
　　当y0=-3时，有
　　∴x0=0或x0=2
　　∴P点坐标为，(0，-3)，(2，-3)
　　说明：在此，同学们可以思考此问中，若S△PAB=8
　　其他条件不变，那么这样的点P有___个。
　　若S△PAB=10呢？为什么？
　　(4)在此抛物线上求一点P，使PC=PB。
　　分析与解答：由于点B(3，0)，C(0，-3)是两个定点，所以当PC=PB时，则点P在线段BC的中垂线上，另一方面P点又在抛物线上，所以所求P点是BC的垂直平分线与抛物线的公共点。
　　∵B(3，0)，C(0，-3)
　　∴OB=OC=3，且∠BOC=90°
　　∴△BOC是等腰直角三角形
　　∵PC=PB
　　∴P点在BC的垂直平分线，即直线y=-x上
　　
　　∴所求P点为
　　(5)在此抛物线上求一点P，使得△PBC是以BC为一直角边的直角三角形。
　　分析与解答：△PBC是以BC为一直角边的直角三角形
　　从而∠B=90°，还是∠C=90°，都有可能，此时要分两种情况来求解：
　　由(4)知，△BOC是等腰直角三角形且OB=OC=3
　　∵△PBC是直角三角形且BC为直角边
　　若∠PBC=90°，设PB交y轴于D，则
　　∠OBD=45°又∠BOD=90°
　　∴OD=OB=3，∴D(0，3)
　　设直线PB：y=kx+3
　　∵B(3，0)，∴3k+3=0，∴k=-1
　　∴PB：y=-x+3 (1)
　　又∵y=x2-2x-3 (2)
　　联立(1)、(2)解得：
　　∴点P1(-2，5)为所求；
　　若∠PCB=90°，同理可得：P2(1，-4)
　　∴所求P点坐标为(-2，5)或(1，-4)
　　(6)在坐标轴上求一点P，使得△PBC是等腰三角形
　　分析与解答：点P在坐标轴上，可能是在x轴上，也可能是在y轴上
　　△PBC是等腰三角形，那么PB=PC，PB=BC，PC=BC都有可能
　　若PB=PC，则点P在线段BC的垂直平分线上，
　　若PB=BC，则点P在以B为圆心，BC为半径的圆上，
　　若PC=BC，则点P在以C为圆心，BC为半径的圆上。
　　∵OB=OC=3，且∠BOC=90°
　　
　　∵△PBC是等腰三角形，且P点坐标轴上
　　∴若PB=PC，则P与原点重合，∴P1(0，0)
　　若PB=BC，则P是以B为圆心BC为半径的圆与坐标轴的公共点，
　　
　　若PC=BC，则P是以C为圆心，BC为半径的圆与坐标轴的公共点，
　　∴P5(-3，0)，

　　2. 已知：抛物线交x轴于点A、B，交y轴于点C。
　　(1)若△ABC是等腰三角形，求m。
　　分析与解答：抛物线与x轴有2个交点，可以确定m的取值范围。
　　而△ABC是等腰三角形，那么AB=AC，AB=BC，AC=BC都有可能
　　∵抛物线交x轴于点A、B
　　
　　∴m≠0且
　　
　　∴x=0时y=4
　　y=0时，x1=3，
　　∴C(0，4)，A(3，0)，
　　
　　∵△ABC是等腰三角形
　　∴若AB=AC，则
　　
　　若AB=BC，则
　　
　　若AC=BC，则
　　
　　综上，为所求。
　　(2)若△ABC是直角三角形，求m。
　　分析与解答：△ABC是直角三角形
　　则点A、B必定分布在(0，0)两侧，且∠ACB=90°
　　
　　∵∠ACB=90°，OC⊥AB
　　∴△AOC∽△COB
　　∴OC2=OA·OB
　　
　　

　　3．如图1，已知直线与抛物线交于两点．
　　（1）求两点的坐标；
　　（2）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使
　 　　　笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是
　 　　　否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存
　 　　　在，请简要说明理由．
　　　　　　　　
　　（1）解：依题意得解之得
　　　　　　
　　（2）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的
　　　　 直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图3）．
　　　　
　　　　
　　　　 抛物线与直线只有一个交点，
　　　　 ，
　　　　
　　　　 在直线中，
　　　　
　　　　
　　　　 设到的距离为，
　　　　
　　　　 到的距离等于到的距离．
　　　　 ．

来源：中国哲士网

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