一、本章结构
二、基本概念
(一)相反意义的量
用正数和负数表示具有相反意义的量时，哪种意义为正，是可以任意选择的，但习惯把“前进、上升、收入、零上温度”等规定为正，而把“后退、下降、支出、零下温度”等规定为负。
我们把所学过的大于零的数，都称为正数；而且还可以在正数的前面添加一个“+”号，比如在5的前面添加一个“+”号就成了“+5”，把“+5”称为一个正数，读作“正五”．在正数的前面添加一个“-”号，比如在5的前面添加一个“-”号，就成了“-5”，所有按这种形式构成的数统称为负数．“-5”读作“负五”，“-5000”读作“负五千”．
例1．博然的父母6月共收入4800元，可以将这笔收入记作+4800元；由于天气炎热，博然家用其中的1600元钱买了一台空调，又该怎样记录这笔支出呢?
解答：“收入”与“支出”是一对“具有相反意义的量”，可以用正数或负数来表示．一般来说，把“收入4800元”记作+4800元，而把与之具有相反意义的量“支出1600元”记作-1600元．
注：若游泳池的水位比正常水位高5cm，则可以将这时游泳池的水位记作+5cm；若游泳池的水位比正常的水位低3cm，则可以将这时游泳池的水位记作-3cm；若游泳池的水位正好处于正常水位的位置，则将其水位记作0cm．
例2．在中国地形图上，可以看到有一座世界最高峰，珠穆朗玛峰，图上标着8848，在西北部有一吐鲁番盆地，地图上标着-155米．这两个数表示的高度都是相对于海平面说的，你能说说8848米，-155米各表示什么吗?
解答：8848米表示高出海平面8848米，-155米表示低于海平面155米。
(二)有理数的分类
1．按定义分类：
2．按性质分类：
例1．你能解决下列问题吗?谈谈你的看法?
(1)0是整数吗?是正数吗?是有理数吗?
(2)-5是整数吗?是负数吗?是有理数吗?
(3)自然数是整数吗?是正数吗?是有理数吗?
(4)下列有理数中，哪些是整数?哪些是分数?哪些是正数?哪些是负数?
-7、10.1、89、0、-0.67、
、
解答：
(1)0是整数、不是正数但是有理数
(2)-5是整数、负数、有理数
(3)自然数是整数，不是所有的自然数是正数(比如0)，所有的自然数都是有理数
(4)整数：-7、89、0； 分数：10.1、-0.67、
、； 正数：10.1、89、；负数：-7、-0.67、
小结：我们已经能够对有理数进行合理的分类，共有两种分类方法，下面我们就利用这两种分类方法解决下列问题。
例2．把下列各数填在表示相应集合的大括号中：
+6，-8，25，-0.4，0，
，9.15，
整数集合{ …}；分数集合{ …}；非负数集合{ …}；
正数集合{ …}；负数集合{ …}。
解：整数集合{+6，-8，25，0 }
分数集合{-0.4，9.15，
，}非负数集合{+6，25，0，9.15，
}正数集合{+6，25，9.15，
}负数集合{-8，-0.4，
}小结：(1)把一些数看作一个整体，那么这个整体就叫这些数的集合．其中的每一个数叫做这个集合的一个元素．(2)特别要注意“零”是整数集合、非负数集合、非正数集合，有理数集合中的一个元素；“零”不仅表示“没有”而且具有非常确定的内容，如零时、零度；“零”是正负数的界限；“零”是偶数；“零”能被任何非零数整除；“零”也是一个不可缺少的数码；在数的表示中起着十分重要的作用．(3)非负有理数包括正有理数和零，在数学里，“正”和“整”不能通用，是有区别的；正相对于负来说；整数是相对于分数而言的．
例3．化简下列各符号
说出下列各式的意义，然后化简：
(1)-[-(-3)] (2)+{-[-(+5)]}；
(3)-{-{-…-(-6)}}（共n个负号）．
分析：对于问题(1)(2)可以根据小学里的运算级别进行去括号，而对于问题(3)就要分析其特征，在去这样的括号时是否有一定的规律?可以先找一些简单的，比如括号前有2个负号、3个负号时、4个负号时的结果，从而推广到括号前有n个负号的情形，这样培养了深入思考问题的习惯，同时也培养了分类讨论的数学方法以及从特殊到一般的思考问题的方法．在思考的基础上进行归纳猜想：在化简最终结果的符号问题上，有什么样的规律?(结果的符号与前面“-”的个数有关，若有奇数个“”，则最后结果为“-”，若有偶数个“-”，则最后结果为“+”，它与“+”的个数无关)．
解答：(1)-3 (2)5 (3)当n为偶数时，为6；当n为奇数时，为-6．
(三)数轴
1、规定了________、________和________的直线叫数轴；
在数轴上表示的两个数，_______的数总比_______的数大；_______都大于零，_______都小于零，
________大于负数。
解答：原点、正方向和单位长度；正数，负数；正数，负数，正数和0
2、数轴的画法：、
第一步：画直线定原点，原点表示0(相当于温度计上的0℃)．
第二步：规定从原点向右的为正方向，那么相反的方向(从原点向左)则为负方向．(相当于温度计
上0℃以上为正，0℃以下为负)．
第三步：选择适当的长度为单位长度(相当于温度计上每1℃占一小格的长度)．
注：把类比作为一种重要方法贯穿于概念形成过程的始终．
例1. 判断下列图形哪些是数轴?
解析：根据数轴的定义进行分析，只有符合数轴三要素的直线才是数轴，于是只有(5)是正确的．
注：了解数轴不是目的，我们应该掌握两个方面的能力：将已知数在数轴上表示出来；说出数轴上已知点表示的数；用数轴上的点表示有理数(正数在数轴的右边，负数在左边，0用原点表示)；所有的有理数都可以用数轴上的点来表示，但是数轴上的点并不全是有理数．
例2．根据对数轴的理解，解决下列问题
（1）画出一个单位长度是1厘米的数轴，并用刻度尺画出表示下列各数的点：
1.5、 0、 2、 -2、 2.5
分析：先考虑在原点的哪一侧，然后看离原点的距离是单位长度的倍数．
解答：如图
（2）如图，
写出数轴上的A、B、C、D、E、F表示的有理数．
活动设计：根据数轴的特征和各点所在的位置，直接从图中读出各点表示的数，若在读的过程中出现疑问，则应尽早请教老师或同学，进行纠正，直到得出正确的结果。
解答：A：-3，B：5.5，C：3，D：-1.5，E：-3.5，F：0．
(四)相反数
只有________的两个数称为互为相反数；________的相反数是它本身；如果两个数互为相反数，那么这两个数的和为零。
解答：符号不同；0；
注：相反数的理解：
相反数的代数意义：只有符号不同的两个数(a+b=0)
相反数的几何意义：在数轴上的原点两侧，且到原点的距离相等的两个数互为相反数
(五)倒数
乘积为_______的两个数互为倒数；乘积为________的两个数互为负倒数；_______的倒数是它本身。
解答：1；-1；1或-1
(六)绝对值
一个数在数轴上所表示的点到原点的________叫这个数的绝对值；
________的绝对值是它本身，________的绝对值是它的相反数。
解答：距离；非负数，非正数
三、精典例题：
1、
问题1：已知有理数m、-3、n在数轴上的位置如图所示，请将m、-3、n的相反数在数轴上表示出来，并将这六个数用“＜”连接起来．
问题2：如图，是一个正方体纸盒的展开图，请把-1、1、2、-2、3、-3分别填入六个正方形，使得按虚线折成的正方体后，对面上的两个数互为相反数．
注：在利用相反数的知识解决问题的过程中，体会数形结合的数学思想，同时感受形对数的作用．
解析：问题1：如图，-3＜-n ＜ m ＜ -m ＜ n ＜ 3．
问题2：
2、周一证券交易市场开盘时，某支股票的开盘价为18.18元，收盘时下跌了2.11元；周二到周五开盘时的价格与前一天收盘价相比的涨跌情况及当天的收盘价与开盘价的涨跌情况如下表： 单位：元
| 日期 | 周二 | 周三 | 周四 | 周五 |
| 开盘 | +0.16 | +0.25 | +0.78 | +2.12 |
| 收盘 | -0.23 | -1.32 | -0.67 | -0.65 |
| 当日收盘价 |
思路分析：以周二为例，表中数据“+0.16”所表示的实际意义是“周二该股票的开盘价比周一的收盘价高出了0.16元”；而表中数据“-0.23”则表示“周二该股票收盘时的收盘价比当天的开盘价降低了0.23元”．
因此，这五天该股票的开盘价与收盘价分别应该按如下的方式进行计算：
解析： 周一该股票的收盘价是18.18-2.11=16.07元；周二该股票的收盘价为16.07+0.16-0.23=16.00元；周三该股票的收盘价为16.00+0.25-1.32=14.93元；周四的该股票的收盘价为14.93+0.78-0.67=15.04．元；周五该股票的收盘价为15.04+2.12-0.65=16.51元．
3、甲、乙、丙三支球队以主客场的形式进行双循环比赛，每两队之间都比赛两场，下表是这三支球队的比赛成绩，其中左栏表示主队，上栏表示客队，比分中前后两数分别是主客队的进球数，例如3：2表示主队进3球客队进2球．| 甲 | 乙 | 丙 | |
| 甲 | —— | 3:2 | 2:2 |
| 乙 | 2:3 | —— | 3:1 |
| 丙 | 3:1 | 0:1 | —— |
解析：由表中数据可知：甲队主场以3:2赢乙队，甲队有1个净胜球；甲队客场又以3:2赢乙队，又增加了1个净胜球．甲队与乙队的两场比赛中甲队净胜球的总数为2．
甲队与丙队的两场球，甲主场以2:2与丙队握手言和，甲队净胜球数为0；甲客场以1:3负给了丙队，这场球甲队的净胜球数为-2．甲队与丙队的两场比赛中甲队净胜球数为-2．
总上可得，甲队与乙队两场比赛的净胜球数为2，与丙队的两场比赛净胜球数为-2；这样甲队总净胜球数为零．
同理可得：乙队总净胜球数为1，丙队总净胜球数为-1”．
提醒：股票的涨跌、球赛的胜负都是当今日常生活中经常遇到的实际问题，作为当代中学生应该主动去接触或了解一些与之相关的实际问题，以丰富我们的生活阅历．同时也充分说明数学本身就是生活的一部分，要尽可能地调动我们学习数学的积极性，把我们所学的数学用到实际生活中去．
4、春季某河流的河水因春雨先上涨了15cm，随后又下降了15cm．请你用合适的方法来表示这条河流河水的变化情况．思路分析：从上面的叙述可见河水的水位是先上涨了，随后又下降了，水位最终又回到了原来的位置．也就是说“最终水位的改变量是零”，或者说“水位的总变化量是零”．
解析：与最初的水位相比先上涨的15cm，可以记作“+15cm”，而随后又下降了15cm，可以记作“-15cm”，这样水位变化量为“(+15cm)+(-15cm)=0cm”．所以水位的总变化量是零，即水位又回到了原来最初的位置，
提醒：在表示具有相反意义的量时，如果某个量经两次或多次变化后又回到了最初状态，就可以用“0”来表示总变化量；或者说这个量的最终变化量是“零”．对于我们来说，零的内涵极其丰富，因此需要特别关注，在以后讨论有理数的相反数、绝对值、有理数的运算时，需要重视零的一些性质，并关注零在这些概念或运算中所“扮演的角色”．
5、观察：
，
，
将以上三个等式两边分别相加得：
．①猜想并写出：
________．②直接写出下列各式的计算结果：
________．
________．③探究计算：
．答案：①
；②
；③
．解析：认真观察，可得：
．
．而③中原式
．小结：归纳、猜想型试题是近年中考出现的新题型，其特点是：给出一组具有递进关系的数、式子、图形，或某个由简单到复杂的操作过程，或某一具体的问题情境，通过探求其变化过程中的规律，归纳或猜想出一般性的结论；有的题目还要求对结论的正确性加以验证。解答这类试题的思路是：从简单的、局部的、特殊的情形出发，通过分析、比较、提炼，发现其中的规律，进而归纳或猜想出一般性的结论。
