本周重点、难点：
对于一元一次不等式的归纳复习，易错点整理。
本周重点、难点解析：
一、一元一次不等式的解法易错点归纳
1.去括号时，错用乘法分配律
【例1】 解不等式
3x+2（2-4x）＜19.
错解：去括号，得
3x+4-4x＜19，解得x＞-15.
诊断: 错解在去括号时，括号前面的数2没有乘以括号内的每一项.
正解: 去括号，得
3x+4-8x＜19，
-5x＜15，所以x＞-3.
2.去括号时，忽视括号前的负号
【例2】 解不等式
5x-3（2x-1）＞-6.
错解：去括号，得
5x-6x-3＞-6，解得x＜3.
诊断：去括号时，当括号前面是“-”时，去掉括号和前面的“-”，括号内的各项都要改变符号.错解在去括号时，没有将括号内的项全改变符号.
正解: 去括号，得
5x-6x+3＞-6，
所以-x＞-9，所以x＜9.
3.移项时，不改变符号
【例3】 解不等式
4x-5＜2x-9.
错解：移项，得
4x+2x<-9-5，
即6x<-14，所以
诊断: 一元一次不等式中的移项和一元一次方程中的移项一样,移项就要改变符号，错解忽略了这一点.
正解: 移项，得
4x-2x<-9+5，
解得2x<-4，所以x<-2.
4.去分母时，忽视分数线的括号作用
【例4】 解不等式
错解：去分母，得
， 解得：
诊断: 去分母时，如果分子是一个整式，去掉分母后要用括号将分子括起来.错解在去掉分母时，忽视了分数线的括号作用.
正解: 去分母，得
6x-（2x-5）＞14，
去括号，得
5.不等式两边同除以负数，不改变方向
【例5】 解不等式
3x－6＜1+7x.
错解：移项，得
3x－7x＜1+6，
即 －4x＜7，所以
诊断： 将不等式－4x＜7的系数化为1时，不等式两边同除以－4后，根据不等式的基本性质：不等式两边同乘以或同除以同一个负数，不等号要改变方向，因此造成了错解.
正解：移项，得
3x－7x＜1+6，
即－4x＜7，所以所以x＞
6.去分母时，漏乘不含分母的项
【例6】 解不等式
错解：去分母，得x-2（x-1）＞3x+1，
去括号，解得
诊断: 去分母时，要用最简公分母去乘不等式两边的每一项.而错解只乘了含有分母的项，漏乘了不含有分母的项.
正解: 去分母，得6x-2（x-1）＞3x+6，
去括号，得6x-2x+2＞3x+6，解得x＞4.
7.忽视对有关概念的理解
【例7】 求不等式
的非负整数解.错解：整理，得3x≤16，
所以
故其非负整数的解是1，2，3，4正解：非负整数的解是0，1，2，3，4,5
8.在数轴上表示解集时出现错误
【例8】 解不等式：3（1－x）≥2（x+9），并把它的解集在数轴上表示出来.
错解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在数轴上表示如图1所示.
诊断：本题求得的解集并没错，问题出在将解集在数轴上表示出来时出现了错误，即有两 处错误：一是方向表示错误，不应该向右，而应该向左；二是不应用空心圆圈表示，而应用实心圆圈表示.
正解：整理，得－5x≥15，所以x≤－3，在数轴上表示如图2所示.
注：上述三例告诉我们解一元一次不等式时一定要认真分析题目的结构特征，灵活运用解一元一次不等式的步骤，正确理解有关概念，才能及时避开陷阱，准确、快速的求解.
9.不等式组解集忽视等号
【例9】 若不等式组
的解集为x＞2，则a的取值范围是（ ）.A. a＜2 B. a≤2 C. a＞2 D. a≥2
错解：原不等式组可化简为
得a＜2，故选A.诊断： 当a=2时，原不等式组变为
解集也为x＞2.正解： 应为a≤2 ，
故选B.
10.忽视了字母的范围
【例10】 解关于x的不等式m（x-2）＞x-2.
错解：化简，得（m-1）x＞2（m-1），所以x＞2.
诊断: 错解在默认为m-1＞0，实际上m-1还可能小于或等于0.
正解: 化简，得（m-1）x＞2（m-1），
① 当m-1＞0时，x＞2；
② 当m-1＜0时，x＜2；
③ 当m-1=0时，无解.
【例11】 解不等式（a－1）x＞3.
错解：系数化为1，得
.诊断：此题的未知数系数含有字母，不能直接在不等式两边同时除以这个系数，应该分类讨论.
正解：① 当a－1＞0时，
；② 当a＝1时，0×x＞3，不等式无解；
③ 当a－1＜0时，
.11.套用解方程组的方法解不等式组
【例12】 不等式组
的解集为___________.错解：两个不等式相加，得 x-1＜0，所以x＜1.
诊断： 这是解法上的错误，它把解不等式组与解一次方程组的方法混为一谈，不等式组的解法是分别求出不等式组中各个不等式的解集，然后在数轴上表示出来，求得的公共部分就是不等式组的解集，而不能用解方程组的方法来求解.
正解：解不等式组，得
在同一条数轴上表示出它们的解集，如图，
以不等式组的解集为：
.【例13】 解不等式组
错解：因为5x-3＞4x+2，且4x+2＞3x-2，
所以 5x-3＞3x-2.
移项，得5x-3x＞-2+3.
解得
.诊断： 上面的解法套用了解方程组的方法，是否正确，我们可以在
的条件下，任取一个x的值，看是否正确.如取x＝1，将它代入5x-3＞4x+2，得2＞6（不成立）.可知不是原方程组的解集，其造成错误的原因是由原不等式组变形为一个新的不等式时，改变了不等式的解集.正解：由5x-3＞4x+2，得x＞5.
由4x+2＞3x-2，得x＞－4.
综合x＞5和x＞－4，得原不等式组的解集为x＞5.
二、 不等式的应用问题
1．市政公司为绿化一段沿江风光带，计划购买甲、乙两种树苗共500株，甲种树苗每株50元，乙种树苗每株80元．有关统计表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为90％和95％．（1）若购买树苗共用了28000元，求甲、乙两种树苗各多少株?
（2）若购买树苗的钱不超过34000元，应如何选购树苗?
（3）若希望这批树苗的成活率不低于92％，且购买树苗的费用最低，应如何选购树苗?
【分析】：由题意可知，第一题存在等量关系，考虑用方程来解决；后两个问题存在不等关系，可用不等式来解决．
【详解】（1）设购甲种树苗x株，则乙种树苗为(500－x)株．依题意得
50
＋80(500—)＝28000 解之得：＝400 ∴500－＝500－400＝100即：购买甲种树苗400株，乙种树苗100株．
（2）由题意得 ： 50
＋80(500－)
34000． 解之得
200即：购买甲种树苗不小于200株．
（3）由题意可得90%x＋95％(500—x)≥92％·500 ∴
300设购买两种树苗的费用之和为y元，则
＝50＋80(500－)＝40000－30所以
＝40000－30，其中
的值随的增大而减小，所以
＝300时有最小值，＝40000－30
300＝31000．【考点】本题考察了方程与不等式知识在实际问题中的应用．
2．下表给出甲、乙、丙三种食物的维生素
的含量及成本：| 甲 | 乙 | 丙 | |
维生素 （单位/千克） |
400 | 600 | 400 |
维生素 （单位/千克） |
800 | 200 | 400 |
| 成本（元/千克） | 6 | 5 | 4 |
及52 800单位的维生素．求三种食物所需量与成本的关系式．【详解】
设需甲、乙两种食物分别为
千克，则丙需
千克，设共需成本
元，应有
【考点】本题考察了列不等式组的能力，解题关键应抓住体现不等关系的关键词语.如“至少”等．
3. 小明和小亮共下了10盘围棋，小明胜一盘计1分，小亮胜一盘计3分．当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明．他们各胜过几盘？（已知比赛中没有出现平局）【分析】此题是一道反映不等关系的应用题，抓住“当他俩下完第9盘后，小明的得分高于小亮；等下完第10盘后，小亮的得分高于小明”这样的关键语句表示不等关系；另外应当明确在比赛中，小明赢的盘数恰好等于小亮输的盘数．
【详解】设下完10盘棋后，小亮胜了
盘，根据题意得，
，解得
，则不等式组的正整数解为
，所以小亮胜3盘，小明胜7盘．
