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[组图]一元一次方程的应用——行程与工程问题

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一元一次方程的应用——行程与工程问题
　　方程是分析和解决问题的一种很有效的数学工具。用方程解决实际问题的关键是找出等量关系，并能根据此相等的关系列出相应的方程。本周主要讲解实际问题中很重要的两类问题——行程问题和工程问题，
【本周重点】
1、列方程解应用题的步骤：
　　1)审题：分析题中已知量和未知量，明确各数量间的关系；
　　2)设未知数：根据题目一般问什么设什么，但有时为了解题清晰方便也会间接设未知数；
　　3)根据题目条件列关系式，找等量关系；
　　4)列方程：根据等量关系列出方程；
　　5)解方程：根据等式性质进行求解；
　　6)答题：检验所求解是否符合题意，写出答案。

2、知识要点：
　　行程问题：路程=速度×时间；
　　工程问题：工作总量=工作效率×工作时间。

3、方法技能：
　　1)注意单位统一；
　　2)等号两边表示同样的量；
　　3)对准行程问题中的不变量；
　　4)借助列表、示意图等形式帮助理解；
　　5)工作量不具体时，把它看成整体“1”；
　　6)合作时，总效率等于分效率的和。

4、易错点：
　　1)列的是恒等式，无法解出未知数；
　　2)单位不统一造成结果不对。

【典型例题】
一、行程问题
　　1．一架飞机在A、B两地间航行。从A地到B地需5．5小时，从B地到A地需6小时，风速为24千米/时，A、B两地的距离是多少?
　　分析：飞机在空中行驶时，飞机的速度需要分两种情况讨论：顺风行驶：飞机的实际速度=飞机在无风时的速度+风速；逆风行驶：飞机的实际速度=飞机在无风时的速度-风速。若设A、B两地间的距离为x千米，则顺风速度为千米／时，逆风速度为千米/时，根据飞机在无风时的速度不变可列方程。
　　解：设A、B两地的距离为x千米，根据题意，得：
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　解得：
　　答：A、B两地的距离为3168千米

　　2．甲、乙两人骑自行车，同时从相距45km的两地相向而行，2小时相遇，每小时甲比乙多走2.5km，求甲、乙每小时各行驶多少千米?
　　分析：这是行程中的相遇问题。甲、乙相向而行，因此他们行驶的路程和等于两地之间的距离，即甲车的行程+乙车的行程=两地的距离。
　　解：设乙每小时行驶x千米，则甲每小时行驶(x+2.5)千米，根据题意，得：
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　解得：
　　　　
　　答：甲每小时行驶12.5千米，乙每小时行驶10千米。

　　3．小李骑自行车从A地到B地，小明骑自行车从B地到A地，两人都匀速前进。已知两人在上午8时同时出发，到上午10时，两人还相距36千米，到中午12点，两人又相距36千米。求A、B两地间的路程。
　　分析：根据“匀速前进”可知A、B的速度不变，进而A、B的速度和不变。利用速度和=小李和小明前进的路程和／时间可得方程。
　　解：设A、B两地间的路程为x千米，由题意得：
　　　　
　　　　
　　　　解得：108．
　　答：A、B两地间的路程为108千米。

　　4．A、B两地相距31千米，甲从A地骑自行车去B地，1小时后乙骑摩托车也从A地去B地。已知甲每小时行12千米，乙每小时行28千米。
　　（1）问乙出发后多少小时追上甲?
　　（2）若乙到达B后立即返回，则在返回路上与甲相遇时距乙出发多长时间?
　　分析：相等关系：（1）甲车行驶的路程=乙车行驶的路程；
　　（2）甲车行驶的路程+乙车行驶的路程=A、B的距离×2
　　解：（1）设乙出发后x小时追上甲，则甲行驶时间为(x+1)小时，由题意得：
　　　　　　 解得
　　　　　　答：乙出发后小时追上甲。
　　　　（2）设在返回路上与甲相遇时距乙出发时间为y小时，则甲行驶时间为(y+1)小时，由题意得：
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　
　　　　　　 解得：
　　　　　　 答：在返回路上与甲相遇时距乙出发小时。

　　5．某行军纵队以8千米/时的速度行进，队尾的通讯员以12千米/时的速度赶到队伍前送一个文件。送到后立即返回队尾，共用14.4分钟。求队伍长。
　　分析：设队伍长为x千米。14.4分钟可分为两部分：通讯员由队尾赶到队伍前头，这属于行程问题中的追及问题，即队头的人以8千米／时的速度行进，队尾的人以12千米/时的速度前进，队尾的人比对头的人的速度快，所以经过一段时间后队尾的人会追上对头的人；通讯员从队头返回队尾，相当于行程问题中的相遇问题：通讯员与队尾的人从相距队长的距离相向而行，经过一段时间后相遇。由这两部分时间和为14.4／60小时（这里要注意统一单位），得到方程。
　　解：设队伍长为x千米，由题意得：
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　解得：x=0.8
　　　　答：队伍长为0.8千米。

二、工程问题
　　6．某工程队每天安排120个劳力修建水库，平均每天每个劳力能挖土5 m3或运土3m3，为了使挖出的土及时被运走，问：应如何安排挖土和运土的劳力?
　　分析：等量关系：挖土量=运土量
　　解：设安排x人挖土，则人运土，由题意得
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　解得：
　　答：安排45人挖土，75人运土。

　　7、一件工程，甲独做需15天完成，乙独做需12天完成，现先由甲、乙合作3天后，甲有其他任务，剩下工程由乙单独完成，问乙还要几天才能完成全部工程?
　　分析：甲的工作量+乙的工作量=1
　　解：设乙还要x天才能完成全部工程。由题意得
　　　　
　　　　
　　　　
　　　　解得：
　　答：乙还要天才能完成全部工程。

　　8．修建二处住宅区的自来水管道，甲单独完成需14天，乙单独完成需18天，丙单独完成需12天，前7天由甲、乙两人合作，但乙中途离开了一段时间，后两天由乙、丙合作完成。问乙中途离开了几天?
　　分析：甲的工作量+乙的工作量+丙的工作量=1。注意乙中途离开一段时间指的是前7天中离开一段时间。
　　解：设乙中途离开x天，由题意得
　　　　
　　　　解得：
　　答：乙中途离开了3天。

　　9．收割一块水稻田，若每小时收割4亩，预计若干小时完成，收割后，改用新式农机，工作效率提高到原来的倍，因此比预计时间提早1小时完成，求这块水稻田的面积．
　　分析：相等关系：预计所用时间=实际所有时间+1．实际所用时间又分为两部分：以每小时收割4亩的旧式农机工作了水稻田的用的时间；用新式农机工作了水稻田的用的时间。
　　解：设这块水稻田的面积为x亩．
　　　　
　　　　由题意得，
　　　　解得，．
　　答：这块水稻田的面积为36亩．

　　10．一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管，单独开甲管6小时可注满水池；单独开乙管8小时可注满水池，单独开丙管9小时可将满池水排空，若先将甲、乙管同时开放2小时，然后打开丙管，问打开丙管后几小时可注满水池?
　　分析：相等关系：甲、乙开2h的工作量+甲、乙、排水管的工作量=1．
　　解：设再过x小时可把水注满．
　　　　由题意得，
　　　　解得．
　　答：打开丙管后小时可把水放满．

来源：中国哲士网

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