一、经典结论：
1．两直线平行，同位角角平分线互相平行
已知：AB∥CD，GM平分∠AGE，HN平分∠CHE
求证：HN∥GM
证明：∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠AGE=∠CHE（两直线平行，同位角相等）
∵ GM平分∠AGE，HN平分∠CHE（已知）
∴
，
（角平分线定义）∴
∴ HN∥GM（同位角相等，两直线平行）
2．两直线平行，内错角角平分线互相平行
已知：AB∥CD，GM平分∠AGF，HN平分∠DHE
求证：GM∥HN
证明：∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠AGF=∠DHE（两直线平行，内错角相等）
∵ GM平分∠AGF，HN平分∠DHE（已知）
∴
，
（角平分线定义）∴
∴ GM∥HN（内错角相等，两直线平行）
3．两直线平行，同旁内角角平分线互相垂直
已知：AB∥CD，GM平分∠BGF，HM平分∠DHE
求证：GM⊥HM
证明：作MP∥AB交EF于P
∵ AB∥MP（已作）
AB∥CD（已知）
∴ MP∥CD（平行公理推论）
∵ AB∥MP（已作）
∴ ∠1=∠3（两直线平行，内错角相等）
同理：∠2=∠4
∵ AB∥CD（已知）
∴ ∠BGF+∠DHE=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵ GM平分∠BGF，HM平分∠DHE（已知）
∴
，（角平分线定义）∴
∴ ∠3+∠4=∠1+∠2=90°
即 ∠GMH=90°
∴ GM⊥HM
注：此题使用了“过拐点作平行线”的方法，学到“三角形内角和定理”之后还可用△MGH内角和180°推导出∠GMH=90°。
二、基本图形
常用辅助线：过拐点作平行线
已知：AB∥CD
探究：∠A，∠C，∠M关系
1．如图，过M作MN∥AB
∵ MN∥AB（已作）
AB∥CD（已知）
∴ MN∥CD（平行公理推论）
∵ AB∥MN（已作）
∴ ∠A+∠1=180°（两直线平行，同旁内角互补）
同理，∠2+∠C=180°
∴ ∠A+∠C+∠AMC=（∠A+∠1）+（∠C+∠2）=360°
2．如图，作MN∥AB
∵ MN∥AB（已作）
AB∥CD（已知）
∴ MN∥CD（平行公理推论）
∵ AB∥MN（已作）
∴ ∠A=∠1（两直线平行，内错角相等）
同理：∠2=∠C
∴ ∠AMC=∠1+∠2=∠A+∠C。
3．如图，作MN∥AB
∵ MN∥AB（已作）
AB∥CD（已知）
∴ MN∥CD（平行公理推论）
∵ MN∥AB（已作）
∴ ∠1=∠A（两直线平行，内错角相等）
同理：∠C=∠NMC
∴ ∠AMC=∠NMC-∠1=∠C-∠A
4．如图，作MN∥AB
类似上述3的过程可得∠AMC=∠A-∠C。
注：上述1～4将来都可以用三角形内角和定理及外角性质推得。
5．已知：AB∥EF
探究：∠B，∠C，∠D，∠E关系
解：作CM∥AB，DN∥AB
∵ CM∥AB，DN∥AB（已作）
AB∥EF（已知）
∴ CM∥DN∥AB∥EF（平行公理推论）
∵ AB∥CM（已作）
∴ ∠B=∠1（两直线平行，内错角相等）
同理：∠2=∠3，∠4=∠E
∵ ∠2=∠BCD-∠1=∠BCD-∠B
∠3=∠CDE-∠4=∠CDE-∠E 且 ∠2=∠3
∴ ∠BCD-∠B=∠CDE-∠E
6．如图，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5
=180°×4
=720°
