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一元一次方程的概念、解…

 

[组图]二元一次方程组的解法

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一．基本概念
1．二元一次方程
　　含有两个未知数（x和y），并且未知数的项的次数都是1，像这样的方程叫做二元一次方程.
　　一般形式：，其中a≠0，且b≠0.
　　1. 在下列方程中，哪些是二元一次方程，哪些不是？
　　①，　 ②， 　③，
　　④， 　　⑤， 　　　⑥
　　分析：②③应在化简之后再进行判断；④中尽管每个未知数的次数都是1，但是含未知数的项是4pq，它的次数是2；⑤中未知数x在分母上，不是整式方程.
　　解析：①，⑥是二元一次方程.

2．二元一次方程组
　　我们把两个方程合在一起，写成，像这样，把两个二元一次方程合在一起，就组成了一个二元一次方程组.
　　二元一次方程组的一般形式：（其中a1、a2，b1、b2不同时为零）.

　　2．
　　（1）方程（a＋2）x +(b-1)y = 3是二元一次方程，试求a、b的取值范围.
　　（2）若方程x2 m –1 + 5y3n – 2 = 7是二元一次方程，求m、n的值
　　解析：
　　（1）据题意，列，解得
　　（2）据题意，列，解得

3．二元一次方程的解
　　一般地，使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.二元一次方程组的两个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
　　特点：
　　(1)二元一次方程的解是一对数值，即；
　　(2)一个二元一次方程有无数多解，但非任意一对数值都适合.

　　3．已知下列三对值：，，
　　（1）哪几对数值使方程x－y＝6的左、右两边的值相等？
　　（2）哪几对数值是方程组的解？
　　解析：
　　（1）将代入方程x－y＝6，左式＝＝右式
　　　　 即使方程x－y＝6的左、右两边的值相等
　　　　 同理可得：
　　　　 不能使方程x－y＝6的左、右两边的值相等
　　　　 使方程x－y＝6的左、右两边的值相等
　　　　 所以和使方程x－y＝6的左、右两边的值相等
　　（2）将及分别代入中可知，
　　　　 不能使方程的左、右两边的值相等
　　　　 使方程的左、右两边的值相等
　　　　 所以是方程组的解。

　　4. 求二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解.
　　提示：采用“穷举法”，按照一定大小顺序，找到所有整数解。
　　解析：
　　当x＝1时，y＝8；
　　当x＝3时，y＝5；
　　当x＝5时，y＝2；
　　所以二元一次方程3x＋2y＝19的正整数解为或或

　　5. 某球迷协会组织72名球迷拟租乘汽车赴比赛场地，为首次打进世界杯决赛圈的国家足球队加油助威. 可租用的汽车有两种：一种每辆可乘8人，另一种每辆可乘4人，要求租用的车子不留空座，也不超载.
　　①请你给出不同的租车方案（至少三种）；
　　②若8个座位的车子的租金是300元/天，4个座位的车子的租金是200元/天，请你设计出费用最少的租车
　　　方案，并说明理由.
　　解析：
　　①设租用乘8人的车为x辆，租用乘4人的车为y辆.
　　　则8x+4y=72，∴ y=18-2x
　　　方案一：乘8人的车1辆，乘4人的车16辆；
　　　方案二：乘8人的车2辆，乘4人的车14辆；
　　　方案三：乘8人的车3辆，乘4人的车12辆. ……
　　②租车费用为：300x+200y=300x+200(18-2x)=300x+3600-400x=3600-100x
　　　当x=9时，租车费用最少=3600-900=2700（元）

二．二元一次方程组的解法
　　怎样求解二元一次方程组呢？上面的二元一次方程组和一元一次方程有什么关系？可以发现，二元一次方程组中第1个方程x＋y＝20说明y＝20－x，将第2个方程2x＋y＝38的y换为20－x，这个方程就化为一元一次方程.
　　二元一次方程组中有两个未知数，若消去其中一个未知数，将二元一次方程组转化为我们熟悉的一元一次方程，我们就可以先解出一个未知数，然后再设法求另一未知数.这种将未知数的个数由多化少、逐一解决的想法，叫做消元思想.
1．代入消元法
　　上面的解法，是由二元一次方程组中一个方程，将一个未知数用含另一未知数的式子表示出来，再代入另一方程，实现消元，进而求得这个二元一次方程组的解.这种方法叫做代入消元法，简称代入法.
　　6．把下列方程写成用含x的式子表示y的形式：
　　（1）2x－y＝3　　　　（2）3x＋y－1＝0
　　解析：
　　（1）
　　（2）

　　7．用代入法解方程组
　　解析：将②代入①，得
　　　　　
　　　　　
　　　　　
　　　　　将代入②，得
　　　　　方程组的解是
　　注意：选择相对较简易的式子代入计算，如计算y的值时代入②比代入①好
　　小结：
　　用代入消元法解二元一次方程组的步骤：
　　（1）从方程组中选取一个系数比较简单的方程，把其中的某一个未知数用含另一个未知数的式子表示
　 　　　出来.
　　（2）把（1）中所得的方程代入另一个方程，消去一个未知数.
　　（3）解所得到的一元一次方程，求得一个未知数的值.
　　（4）把所求得的一个未知数的值代入（1）中求得的方程，求出另一个未知数的值，从而确定方程组的
　 　　　解.

2．加减消元法
　　对于方程组，可以发现，把两个二元一次方程的两边分别进行相加减，就可以消去一个未知数，得到一个一元一次方程.
　　两个二元一次方程中同一未知数的系数相反或相等时，将两个方程的两边分别相加或相减，就能消去这个未知数，得到一个一元一次方程，这种方法叫做加减消元法，简称加减法.
　　8．用加减法解下面方程组时,你认为先消去哪个未知数较简单,填写消元的方法.
　　(1) ,消元方法________.(2) ,消元方法________.
　　解析：
　　（1）将①×2－②，消去y；
　　（2）将①×2＋②×3，消去n.

　　9．用加减法解方程组
　　
　　分析：这两个方程中没有同一个未知数的系数相反或相同，直接加减两个方程不能消元，能否对方程变形，使得两个方程中某个未知数的系数相反或相同呢？
　　解析：①×3，得③
　　　　　②×2，得④
　　　　　③＋④，得
　　　　　
　　　　　将代入①，得
　　　　　
　　　　　
　　　　　方程组的解是

3．思维拓展与综合运用
　　10．已知关于、的二元一次方程组的解满足二元一次方程，求的值.
　　解析：由题意得三元一次方程组
　　　　　化简得
　　　　　①＋②－③得：
　　　　　
　　　　　 ④
　　　　　②×2－①×3得：
　　　　　
　　　　　⑤
　　　　　由④⑤得：
　　　　　
　　　　　
　　　　　∴

　　练习.若二元一次方程3x-y=7，2x+3y=1，y=kx-9有公共解，则k的取值为（ ）
　　A. 3 　　　B. －3　　　 C. －4 　　　D. 4
　　答案：D.

　　11．解方程组时，一学生把看错而得，而正确的解是，那么、b、c的值各是多少？
　　分析：将正确的解代入方程组
　　　　　解得c的值，并得到一个关于、b的方程，
　　　　　再将代入方程组中的第一个方程（把看错但是没有看错、b），
　　　　　又得到一个关于、b的方程，进而解出、b、的值.
　　答案：＝4，＝5，＝－2。

来源：中国哲士网

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