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[组图]一元一次方程的概念、解法

查询数七年下单元1的详细结果
一元一次方程的概念、解法
重点：
　　方程的有关概念（方程的解、解方程等），等式性质

难点：
　　灵活运用等式性质解方程

学习建议：
一、理解方程是生产实践中解决实际问题的重要工具
比如，面对下列问题：
　　1、我是9月出生的，我的年龄的2倍加上6，正好是我出生那个月的总天数的2倍．请你们猜猜我的年龄
　 　　是多少岁？
　　2、魔术师说：你随便圈出日历中一个竖列上相邻的三个日期，把它们的和告诉他，他就能马上知道这
　 　　三天分别是几号．你相信么？你是否自己也会？
　　3、老师新买了一部手机想入网，已知两种移动电话计费方式如下表：
　 全球通 神州行
月租费 每月50元 0
本地通话费 每分钟0.40元 每分钟0.60元
　 　　你能否计算出，一个月内通话多长时间，两种计费方式的付费相同？能否给老师一个合理化建议？
　　4、足球的表面是由若干黑色五边形和白色六边形皮块围成的，黑、白皮块的数目比为3:5，一个足球
　 　　的表面一共有32个皮块，你能说出黑色皮块和白色皮块各有多少吗？

以上四道问题的解析：
　　1：设老师的年龄为岁，那么年龄的2倍加上6就是，而这个式子等于9月的总天数的2倍即
　 　　．根据这个等量关系，我们就可以得到方程．
　 　　解这个方程求出，就知道老师的年龄了．
　　2：设中间那个日期为，则第一个日期为()，第三个日期为()，
　 　　可以得到方程（其中为这三个日期的和）．
　 　　解这个方程，你也就能当魔术师了。
　　3：设累计通话t分钟，则用全球通要收费（50+0.4t）元，用神州行则要收费0.60t元.
　 　　如果两种计费方式的收费一样，则 0.60t=50+0.4 解出这个方程，
　 　　就可知两种交费相同的通话时长了，进而不难给出购买选择的合理化建议了．
　　4：设黑色皮块有块，则方程为 ，
　 　　解出该方程就可以知道足球的黑白皮块各是多少了．

二、两种解题方法：算术方法与方程方法
　　用算术方法解决问题时，列出的算式表示用算术方法解题的计算过程，其中只能用已知数；而方程是根据问题中的等量关系列出的等式，其中既含有已知数，又含有用字母表示的未知数．可以通过今后的学习逐步认识到，有了方程后，人们解决许多问题就更方便、简捷了．从算式到方程是数学的进步．
　　解决实际问题的方程方法是算术方法的升级，学习过程中要注意体会两种方法之间的关联，切忌因算术方法熟练而拒绝使用方程方法。尤其还要考虑到这种方法面对有很多未知量的复杂问题时，其意义价值

三、文化学习
　　在我国，“方程”一词最早出现于《九章算术》．《九章算术》全书共分九章，第八章就叫“方程”．12世纪前后，我国数学家用“天元术”来解题，即先要“立天元为某某”，相当于“设为某某”．14世纪初，我国元朝数学家朱世杰创立了“四元术”，四元指天、地、人、物，相当于四个未知数．但很遗憾我们的古人在数学中引入符号将之简化也没有将之进行普及推广，到17世纪的欧洲，数学基本上符号化，所以现在我们所学的方程知识是从17世纪其逐步在欧洲形成了的现代“方程”的概念．若有时间和精力，建议同学们可以去读读相关的数学史。

四、方程的有关概念
　　1、含有未知数的等式叫做方程.
　　2、使方程中等号左右两边相等的未知数的值叫做方程的解（根）. 即方程的解就是代入方程可以使等
　 　　式成立未知数的值，当解完一个方程不确定是否解对时可以以此理解来进行检验；
　　3、求方程的解的过程叫做解方程。
　　4、方程的两个特征：（1）方程是等式；（2）方程中必须含有字母（未知数）。
　　5、一元一次方程的概念：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元
　 　　一次方程。 一元一次方程的标准形式是：ax+b=0(其中x是未知数，a,b是已知数，且a≠0)，

五、等式的性质：
　　性质1：等式两边同时加（或减）同一个数或式，等式仍然成立（所得新方程与原方程解相同）
　　性质2：等式两边同时乘以同一个数或式，或同时除以同一个不等于0的数或式，等式仍然成立（所得新方程与原方程解相同）

六、方程的解法
　　1、所谓解方程就是找到使等式成立的未知数的值，通常我们是将一个方程通过一步步的变形，直到将
　 　　方程变为x=m 的形式；我们今后每新学一种方程，方程所需变形的发展方向都以此为目标；
　　2、解方程步骤中的所有理论依据都是等式性质（也可以叫方程的同解原理），当我们简写变形步骤
　 　　时，从方程变形的形式上看，似乎是：
　　（1）移项：可以把方程中的某一项改变符号从方程的一边移到另一边，方程解不变，其实质是在方
　 　　　程两边加上所移项的相反数；
　　（2）去分母：在方程两边同时乘以各项分母的最小公倍数；
　　（3）系数化一：在方程两边同时乘以未知数系数的倒数；
　 　　　…等解法步骤
　　3、解方程，方法学会很容易，但将每个方程都解对了却很不容易，此处的学习非常类似于前面学习有
　 　　理数的混合运算，解方程时一定要精力高度集中关注每步变形的细节，争取不犯漏乘、看错、忘变
　 　　号等低级错误。还要认真体会结合具体方程的结构特点，确定运算顺序，细心准确地运算。

七、例题分析
　　1．解方程：
　　解析：此方程从形式上看较为复杂，我们可以按小学学过的括号运算规则先从内层小括号算起，
　　　　　但考虑到与互为倒数，且是整数，
　　　　　故解此方程时我们可先不急于去分母，而先去中括号．
　　　　　去中括号，得：
　　　　　
　　　　　移项并整理，得
　　　　　．
　　　　　把系数化为，得．
　　【评述】：在较为复杂的方程面前一定要冷静观察方程结构，具体对待设计优化的运算顺序这样才能提高效率。

　　2．解方程．
　　解析：方程等号两边同时乘以．
　　　　　
　　　　　
　　　　　．

　　3．解方程：．
　　解析：本题若先利用分数的基本性质，将分母中的小数化为整数，再去分母则计算较繁，
　　　　　所以最好的方法是用方程的同解原理将分母中的小数化为整数．
　　　　　方程两边的分母同乘以，得
　　　　　．
　　　　　去分母，得
　　　　　．
　　　　　移项并整理，得．
　　　　　把系数化为，得．
　　【评述】对于该方程，我们也可以运用分数的基本性质（分数的分子分母扩大或缩小相同的倍数，分数的值不变）进行变形；如

　　4．解方程：
　　解析：方程两边同时乘以10，得
　　　　　x-30=10
　　　　　x=40
　　　　　对么？看似正确，其实是大错特错了！
　　以上解法是这类题目中最经典的一个错误，对于含繁分式的方程，尤其是象例4这样的题表面很简单的方程，同学在解题是最容易犯的错误就是用等式性质进行分数的分母化简，而忽略对分数乘以10的话应该是乘在分子上而不是乘在分母上，例4中的方程若两边同时乘以10的话应该得到的方程是。
　　本题的正确解法是：
　　运用分数的基本性质，方程可化简为
　　10x-3=1
　　进而解得 x=0.4

　　5．下列方程的解法对不对？如果不对，错在哪里？应怎样改正？
　　（1） 　　　　　　　（2）
　　解： ①　　　　　　　　 ①
　　　　②　　　　　　　　　　 ②
　　　　③ ③
　　　　 ④
　　解析：第（1）小题第①步变形就错了，在去第二个括号时漏乘、漏变号了，正确变形应该是：
　　第（2）小题也是在第①步变形就错了，有两个错误，一是在去分母时两边同时乘以4，不能将右边的3给漏乘，二是在面对 此处分子中的x－3应该有一个隐形的括号，当去了分母4时，要注意括号前面是负号，去掉括号，括号里面的各项要改变符号，正确变形应该是：

来源：中国哲士网

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