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[组图]平行线的判定与性质（之二）

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平行线的判定与性质（之二）
一、直接证明：
　　1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2
　　　　　　求证：∠4=∠C
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：欲证∠4=∠C，需证DE∥BC，则需证∠2=∠3，又由角平分线条件可知∠1=∠3，及已知∠1=∠2，得证。
　　证明：∵ BE平分∠ABC（已知）
　　　　　∴ ∠1=∠3（角平分线定义）
　　　　　又∵ ∠1=∠2（已知）
　　　　　∴ ∠2=∠3
　　　　　∴ DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
　　　　　∴ ∠4=∠C（两直线平行，同位角相等）

　　2．已知：如图，∠1=∠2，∠A=90°，EF⊥AB
　　　　　　求证：∠3=∠C。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：欲证∠3=∠4，需证EF∥BC，由垂直条件可知AD∥EF，则需证AD∥BC，由条件∠1=∠2可得证。
　　证明：∵ ∠1=∠2（已知）
　　　　　∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
　　　　　∵ ∠A=90°（已知）
　　　　　∴ DA⊥AB（垂直定义）
　　　　　又∵ EF⊥AB（已知）
　　　　　∴ AD∥EF（垂直于同一直线的两直线平行）
　　　　　∴ EF∥BC（平行公理推论）
　　　　　∴ ∠3=∠C（两直线平行，同位角相等）
　　注：此类图中有三线平行的题往往都会用到“平行公理推论”。

　　3．已知：如图，AC⊥AB，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2
　　　　　　求证：DG⊥AC
　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：欲证DG⊥AC，由于BA⊥AC，所以需证DG∥AB，这又需证∠1=∠3，而已知∠1=∠2，
　　　　　故需证∠2=∠3，即需证EF∥AD，由EF⊥BC且AD⊥BC可得证。
　　证明：∵ EF⊥BC，AD⊥BC
　　　　　∴ EF∥AD（垂直于同一直线的两直线平行）
　　　　　∴ ∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）
　　　　　又∵ ∠1=∠2（已知）
　　　　　∴ ∠3=∠1
　　　　　∴ DG∥AB（内错角相等，两直线平行）
　　　　　∴ ∠4=∠BAC（两直线平行，同位角相等）
　　　　　∵ BA⊥AC（已知）
　　　　　∴ ∠BAC=90°
　　　　　∴ ∠4=90°
　　　　　即 DG⊥AC

二、借助中间量转移角
　　1．已知：如图，∠1=∠2互补，∠A=∠C，AD平分∠BDF。
　　　　　　求证：BC平分∠EBD
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：欲证BC平分∠EBD，需证，
　　　　　而已知，想办法证明∠4=∠3且∠EBD=∠BDF即可，
　　　　　所以需证AB∥CD，而由∠1与∠2互补易得证。
　　证明：∵ ∠1+∠2=180°（已知）
　　　　　∠2+∠5=180°（如图）
　　　　　∴ ∠1=∠5（等角的补角相等）
　　　　　∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
　　　　　∴ ∠3=∠A，∠4=∠C，∠EBD=∠BDF（两直线平行，内错角相等）
　　　　　∵ ∠A=∠C（已知）
　　　　　∴ ∠3=∠4
　　　　　∵ AD平分∠BDF（已知）
　　　　　∴ ∠3∠BDF（角平分线定义）
　　　　　∴ ∠4=∠EBD
　　　　　即 BC平分∠EBD。
　　注：学生在处理这道题目时，常常会推出AD∥BC再去转移角，事实上，AD∥BC只是本题的“副产品”，对于解决问题没有太大帮助，完全可以绕开。

　　2．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠D。
　　　　　　求证：DB∥EC。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：∠3与∠D在图上位置较远，没有关联，考虑将∠4作为中间量进行转移。
　　证明：∵ ∠1=∠2（已知）
　　　　　∴ AD∥BE（内错角相等，两直线平行）
　　　　　∴ ∠D=∠4（两直线平行，内错角相等）
　　　　　又∵ ∠3=∠D（已知）
　　　　　∴ ∠3=∠4
　　　　　∴ DB∥EC（内错角相等，两直线平行）

三、借助辅助线（过拐点作平行线）
　　典型应用是证明“三角形内角和为180°”，此处从略。
　　1．已知：如图，∠ABC=30°，∠DEF=45°，BC⊥CD，AB∥EF。
　　　　　　求证：∠D
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：作CM∥AB，作DN∥AB
　　　　又∵ AB∥EF
　　　　∴ AB∥CM∥DN∥EF（平行公理推论）
　　　　∵ AB∥CM（已作）
　　　　∴ ∠1=∠ABC=30°（两直线平行内错角相等）
　　　　同理：∠4=∠DEF=45°，∠2=∠3
　　　　∵ BC⊥CD
　　　　∴ ∠2=∠BCD-∠1=90°-30°=60°
　　　　∴ ∠3=60°
　　　　∴ ∠CDE=∠3+∠4=60°+45°=105°

　　2．已知：如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，
　　　　　　求：∠GHM。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：作IG∥AB，MJ∥AB，HK∥AB
　　　　又∵ AB∥CD
　　　　∴ AB∥IG∥JM∥HK∥CD（平行公理推论）
　　　　∵ AB∥IG（已作）
　　　　∴ ∠1=∠AFE=30°（两直线平行，同位角相等）
　　　　又∵ ∠FGH=90°（已知）
　　　　∴ ∠2=∠FHG-∠1=60°
　　　　∵ IG∥HK（已证）
　　　　∴ ∠GHK=∠2=60°（两直线平行，内错角相等）
　　　　∵ JM∥CD（已证）
　　　　∴ ∠JMP=∠CNP=50°（两直线平行，同位角相等）
　　　　又∵ ∠HMN=30°（已知）
　　　　∴ ∠3=∠JMP-∠HMN=20°
　　　　∵ JM∥HK（已证）
　　　　∴ ∠4=∠3=20°（两直线平行，内错角相等）
　　　　∴ ∠GHM=∠GHK-∠4=60°-20°=40°
　　注：i）此类两平行线间夹折线的题目，往往过拐点作平行线后，从两边往中间推导的关系，就像吃三
　 　　　　文治，揭开上下的面包皮找中间的肉。
　　 　 ii）学到第七章三角形后，可以利用三角形内角、外角性质来解决此类问题，过程会更加简洁，有
　 　　　　 兴趣的同学可以试着做一做。

来源：中国哲士网

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