一、直接证明：
1．已知：如图，BE平分∠ABC，∠1=∠2求证：∠4=∠C
分析：欲证∠4=∠C，需证DE∥BC，则需证∠2=∠3，又由角平分线条件可知∠1=∠3，及已知∠1=∠2，得证。
证明：∵ BE平分∠ABC（已知）
∴ ∠1=∠3（角平分线定义）
又∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠2=∠3
∴ DE∥BC（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠4=∠C（两直线平行，同位角相等）
2．已知：如图，∠1=∠2，∠A=90°，EF⊥AB求证：∠3=∠C。
分析：欲证∠3=∠4，需证EF∥BC，由垂直条件可知AD∥EF，则需证AD∥BC，由条件∠1=∠2可得证。
证明：∵ ∠1=∠2（已知）
∴ AD∥BC（内错角相等，两直线平行）
∵ ∠A=90°（已知）
∴ DA⊥AB（垂直定义）
又∵ EF⊥AB（已知）
∴ AD∥EF（垂直于同一直线的两直线平行）
∴ EF∥BC（平行公理推论）
∴ ∠3=∠C（两直线平行，同位角相等）
注：此类图中有三线平行的题往往都会用到“平行公理推论”。
3．已知：如图，AC⊥AB，AD⊥BC，EF⊥BC，∠1=∠2求证：DG⊥AC
分析：欲证DG⊥AC，由于BA⊥AC，所以需证DG∥AB，这又需证∠1=∠3，而已知∠1=∠2，
故需证∠2=∠3，即需证EF∥AD，由EF⊥BC且AD⊥BC可得证。
证明：∵ EF⊥BC，AD⊥BC
∴ EF∥AD（垂直于同一直线的两直线平行）
∴ ∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠1=∠2（已知）
∴ ∠3=∠1
∴ DG∥AB（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠4=∠BAC（两直线平行，同位角相等）
∵ BA⊥AC（已知）
∴ ∠BAC=90°
∴ ∠4=90°
即 DG⊥AC
二、借助中间量转移角
1．已知：如图，∠1=∠2互补，∠A=∠C，AD平分∠BDF。求证：BC平分∠EBD
分析：欲证BC平分∠EBD，需证
，而已知
，想办法证明∠4=∠3且∠EBD=∠BDF即可，所以需证AB∥CD，而由∠1与∠2互补易得证。
证明：∵ ∠1+∠2=180°（已知）
∠2+∠5=180°（如图）
∴ ∠1=∠5（等角的补角相等）
∴ AB∥CD（同位角相等，两直线平行）
∴ ∠3=∠A，∠4=∠C，∠EBD=∠BDF（两直线平行，内错角相等）
∵ ∠A=∠C（已知）
∴ ∠3=∠4
∵ AD平分∠BDF（已知）
∴ ∠3
∠BDF（角平分线定义）∴ ∠4=
∠EBD即 BC平分∠EBD。
注：学生在处理这道题目时，常常会推出AD∥BC再去转移角，事实上，AD∥BC只是本题的“副产品”，对于解决问题没有太大帮助，完全可以绕开。
2．已知：如图，∠1=∠2，∠3=∠D。求证：DB∥EC。
分析：∠3与∠D在图上位置较远，没有关联，考虑将∠4作为中间量进行转移。
证明：∵ ∠1=∠2（已知）
∴ AD∥BE（内错角相等，两直线平行）
∴ ∠D=∠4（两直线平行，内错角相等）
又∵ ∠3=∠D（已知）
∴ ∠3=∠4
∴ DB∥EC（内错角相等，两直线平行）
三、借助辅助线（过拐点作平行线）
典型应用是证明“三角形内角和为180°”，此处从略。
1．已知：如图，∠ABC=30°，∠DEF=45°，BC⊥CD，AB∥EF。求证：∠D
解：作CM∥AB，作DN∥AB
又∵ AB∥EF
∴ AB∥CM∥DN∥EF（平行公理推论）
∵ AB∥CM（已作）
∴ ∠1=∠ABC=30°（两直线平行内错角相等）
同理：∠4=∠DEF=45°，∠2=∠3
∵ BC⊥CD
∴ ∠2=∠BCD-∠1=90°-30°=60°
∴ ∠3=60°
∴ ∠CDE=∠3+∠4=60°+45°=105°
2．已知：如图，直线AB∥CD，∠EFA=30°，∠FGH=90°，∠HMN=30°，∠CNP=50°，求：∠GHM。
解：作IG∥AB，MJ∥AB，HK∥AB
又∵ AB∥CD
∴ AB∥IG∥JM∥HK∥CD（平行公理推论）
∵ AB∥IG（已作）
∴ ∠1=∠AFE=30°（两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠FGH=90°（已知）
∴ ∠2=∠FHG-∠1=60°
∵ IG∥HK（已证）
∴ ∠GHK=∠2=60°（两直线平行，内错角相等）
∵ JM∥CD（已证）
∴ ∠JMP=∠CNP=50°（两直线平行，同位角相等）
又∵ ∠HMN=30°（已知）
∴ ∠3=∠JMP-∠HMN=20°
∵ JM∥HK（已证）
∴ ∠4=∠3=20°（两直线平行，内错角相等）
∴ ∠GHM=∠GHK-∠4=60°-20°=40°
注：i）此类两平行线间夹折线的题目，往往过拐点作平行线后，从两边往中间推导的关系，就像吃三
文治，揭开上下的面包皮找中间的肉。
ii）学到第七章三角形后，可以利用三角形内角、外角性质来解决此类问题，过程会更加简洁，有
兴趣的同学可以试着做一做。
