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一元一次方程的概念、解…

 

[组图]整式的乘法及乘法公式

查询数七年下单元1的详细结果
整式的乘法及乘法公式
教学目标：
　　(1)掌握同底数幂的乘法；
　　(2)幂的乘方；
　　(3)积的乘方；
　　(4)整式的乘法法则及运算规律；
　　(5)乘法公式.

教学内容解析：
知识点1 同底数幂的乘法法则
　　计算：
　　(1)23×24； (2)105×102；
　　解：(1)23×24=(2×2×2)×(2×2×2×2)=2×2×2×2×2×2×2=27.
　　　　(2)105×102=(10×10×10×10×10)×(10×10)
　　　　　　　　　 =10×10×10×10×10×10×10
　　　　　　　　　 =107.
　　由23×24=27，105×102=107可以发现:23×24=23+4，105×102=105+2.
　　猜测一下：am·an=am+n (m，n为正整数),推导如下：
　　am·an==am+n
　　am·an=am+n(m，n都是正整数).
　　同底数幂相乘，底数不变，指数相加.

知识点2 幂的乘方
　　(am)n=amn(m，n都是正整数).
　　幂的乘方，底数不变，指数相乘.
　　幂的乘方法则是由同底数幂的乘法法则和乘方的意义推导的

知识点3 积的乘方
　　填空，看看运算过程用到哪些运算律？运算结果有什么规律？
　　(1)(ab)2=(ab)·(ab)=( a·a)(b·b)= a( )b( )
　　(2)(ab)3=___________=___________=a( )b( )
　　(ab)n=anbn(n为正整数).
　　积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘.

知识点4 单项式的乘法法则
　　单项式乘法是指单项式乘以单项式.
　　单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.
　　为了防止出现系数与指数的混淆，同底数幂的乘法性质与幂的乘方性质的混淆等错误，同学们在初学本节解题时，应该按法则把计算步骤写全，逐步进行计算.如
　　x2y·4xy2=(×4)·x2+1y1+2=2x3y3.
　　在许多单项式乘法的题目中，都包含有幂的乘方、积的乘方等，解题时要注意综合运用所学的知识.
　　【注意】 (1)运算顺序是先乘方，后乘法，最后加减.
　　　　　　 (2)做每一步运算时都要自觉地注意有理有据，也就是避免知识上的混淆及符号等错误.

知识点5 单项式与多项式相乘的乘法法则
　　单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.
　　例如：a(m+n+p)=am+an+ap.
　　【说明】 (1)单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.
　　　　　　 (2)在应用乘法分配律时，要注意单项式分别与多项式的每一项相乘.
　　下列三个计算中，哪个正确？哪个不正确？错在什么地方？
　　(1)3a(b-c+a)=3ab-c+a
　　(2)-2x(x2-3x+2)=-2x3-6x2+4x
　　(3)2m(m2-mn+1)=2m3-2m2n+2m
　　点拨 (1)(2)不正确，(3)正确.(1)题错在没有将单项式分别与多项式的每一项相乘.(2)题错在没有将-2x中的负号乘进去.

知识点6 多项式相乘的乘法法则
　　多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.
　　【说明】 多项式相乘的问题是通过把它转化为单项式与多项式相乘的问题来解决的，渗透了转化的数学思想.
　　(a+b)(m+n)=(a+b)m+(a+b)n=am+bm+an+bn.
　　计算时是首先把(a+b)看作一个整体，作为单项式，利用单项式与多项式相乘的乘法法则计算.

知识点7 乘法公式
（一）平方差公式
　　1、平方差公式：
　　　 注意：既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式。
　　2、 抓住公式的几个变形形式利于理解公式
　　（1）位置变化：如利用加法交换律可以转化为公式的标准型
　　（2）系数变化：如
　　（3）指数变化：如
　　（4）符号变化：如
　　（5）数字变化：应用平方差公式，可使一些数字问题找到简捷的解题方法。如98×102
　　（6）增项变化：如：
　　（7）增因式变化：如：

（二）完全平方公式
　　1、完全平方公式：
　　2、完全平方公式与平方差公式的综合应用。如计算：
　　3、幂的运算性质与公式的综合应用。如计算：
　　4、的区别

例题解析：
　　1．计算.
　　(1)①103×104；②a·a3；③a·a3·a5；④(m+n)2·(m+n)3.
　　(2)①(103)5；②(b3)4；③(-4)3·(-)3.
　　(3)①(2b)3；②(2a3)2；③(-a)3；④(-3x)4.
　　分析：本题主要考查三个公式：am·an=am+n，(am)n=amn，(ab)n=anbn，其中，m，n均为正整数.
　　解：(1)①103×104=103+4=107.
　 　　　　②a·a3=a1+3=a4.
　 　　　　③a·a3·a5=a1+3+5=a9.
　 　　　　④(m+n)2·(m+n)3=(m+n)2+3=(m+n)5.
　　　　(2)①(103)5=103×5=1015.
　 　　　　②(b3)4=b3×4=b12.
　 　　　　③(-4)3·(-)3=[(-4)·(-)]3=13=1.
　　　　(3)①(2b)3=23b3=8b3.
　 　　　　②(2a3)2=22(a3)2=4a6.
　 　　　　③(-a)3=(-1)3a3=-a3.
　 　　　　④(-3x)4=(-3)4x4=81x4.
　　小结 在应用这三个公式时要准确，尤其是公式(am)n=amn，不要写成(am)n=a，这是不正确的.

　　2．计算.
　　(1)3x2y·(-2xy3)； (2)(-5a2b3)·(-4b2c).
　　分析： 单项式乘法，其实质就是同底数幂乘法与乘法交换律和结合律.
　　解：(1)3x2y·(-2xy3)=［3·(-2)］(x2·x)(y·y3)=-6x3y4.
　　　　(2)(-5a2b3)·(-4b2c)=[(-5)(-4)]a2·(b3·b2)·c=20a2b5c.

　　3．计算.
　　(1)2a2(3a2-5b)； (2)(-2a2)(3ab2-5ab3).
　　分析：单项式与多项式相乘，其实质就是乘法分配律的应用.
　　解：(1)2a2(3a2-5b)
　 　　　　=2a2·3a2-2a2·5b
　 　　　　=6a4-10a2b.
　　解法1：(2)(-2a2)(3ab2-5ab3)=(-2a2)·3ab2-(-2a2)·5ab3
　 　　　　　　　　　　　　　　=-6a3b2+10a3b3.
　　解法2：(2)(-2a2)(3ab2-5ab3)
　　　　　　　=-(2a2·3ab2-2a2·5ab3)
　　　　　　　=-(6a3b2-10a3b3)
　　　　　　　=-6a3b2+10a3b3.
　　小结 单项式与多项式相乘时，要注意两个问题：
　　(1)要用单项式与多项式的每一项相乘，避免漏乘；
　　(2)单项式带有负号时，如(2)小题，乘的时候容易弄错符号，为了避免这一错误出现，可以用(2)小题
　 　　的第二种解法，就能有效地解决.

　　4．计算.
　　(1)(x-3y)(x+7y)； (2)(5x+2y)(3x-2y).
　　分析：先用多项式乘法法则计算，最后要合并同类项.
　　解：(1)(x-3y)(x+7y)=x2+7xy-3xy-21y2=x2+4xy-21y2.
　　　　(2)(5x+2y)(3x-2y)=15x2-1Oxy+6xy-4y2=15x2-4xy-4y2.

　　5．化简.
　　(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)；(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5).
　　分析： 整式加减与整式乘法的混合计算，要依照先乘法，后加减的顺序计算.
　　解：(1)(a+b)(a-2b)-(a+2b)(a-b)
　　　　　 =(a2-ab-2b2)-(a2+ab-2b2)
　　　　　 =a2-ab-2b2-a2-ab+2b2
　　　　　 =-2ab.
　　　　(2)5x(x2+2x+1)-(2x+3)(x-5)
　　　　　 =(5x3+10x2+5x)-(2x2-7x-15)
　　　　　 =5x3+10x2+5x-2x2+7x+15
　　　　　 =5x3+8x2+12x+15.

　　6．解方程(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1).
　　分析：解方程时，有括号的先去括号.
　　解：(3x-2)(2x-3)=(6x+5)(x-1)，
　　　　6x2-13x+6=6x2-x-5，
　　　　6x2-13x-6x2+x=-5-6，
　　　　-12x=-11，
　　　　∴x=.

　　7．解不等式(3x+4)(3x-4)＞9(x-2)(x+3).
　　解：(3x+4)(3x-4)＞9(x-2)(x+3)，
　　　　9x2-16＞9(x2+x-6)，
　　　　9x2-16＞9x2+9x-54，
　　　　9x2-9x2-9x＞16-54，
　　　　-9x＞-38,∴x＜.

　　8．已知m·m=m12，求a的值.
　　分析：由同底数幂乘法法则可把原式变形为m=m12，由此得到(a+b)+(a-b)=12，
　　　　　进而求出a的值.
　　解：∵m·m=m12，∴m=m12.
　　　　∴(a+b)+(a-b)=12，
　　　　∴2a=12.∴a=6.

　　9．计算(-3)2004·()2005.
　　分析：按照本题的运算级别，应先乘方后乘法，但是我们看到，要计算出(-3)2004·()2005的具体值是相当困难的，也是不必要的.因此我们不妨仔细观察本题的特点，虽然两个乘方运算的指数都很大，但是它们两者却只相差1，而且它们的底数互为负倒数，而且互为负倒数的乘积是-1，因此考虑公式(ab)m=ambm的逆应用，即把指数大的乘方运算中的指数进行变化.
　　解：(-3)2004·()2005
　　　　=(-3)2004·()2004+1
　　　　=(-3)2004·()2004·
　　　　=[(-3)·]2004·
　　　　=(-1)2004·
　　　　=1×=.

　　10．已知2x=3，2y=5，2z=15.求证x+y=z.
　　分析：要说明x+y=z，只需说明2x+y=2z即可.
　　证明：∵2x=3，2y=5，
　　　　　∴2x+y=2x·2y=3×5=15.
　　　　　又∵2z=15，∴2x+y=2z.∴x+y=z.

　　11．比较大小.
　　(1)1625与290；(2)2100与375.
　　分析： 比较两个正数幂的大小，一种是指数相同，比较底数大小，另一种是底数相同，比较指数大小.
　　解：(1)∵1625=(24)25=2100，290=290，
　　　　　 又∵2＞1，∴290＜2100，即1625＞290.
　　　　(2)∵2100=(24)25=1625，375=(33)25=2725，且16＜27，
　　　　　 ∴1625＜2725，即2100＜375.

　　12．如果(x+q)(x+)的积中不含x项，那么q=___________.
　　分析：欲求q的值，则需化简(x+q)(x+)=x2+(+q)x+q,
　　　　　因为积中不含x项，即x项的系数是0，所以+q=0，所以q=-.
　　小结 欲求多项式中不含某项，即某项的系数为0.

　　13．若n为自然数，试说明n(2n+1)-2n(n-1)的值一定是3的倍数.
　　解：∵n(2n+1)-2n(n-1)
　　　　=2n2+n-(2n2-2n)
　　　　=2n2+n-2n2+2n
　　　　=3n，
　　　　且n为自然数，
　　　　∴n(2n+1)-2n(n-1)一定是3的倍数.

　　14．设m2+m-1=0，求m3+2m2+2004的值.
　　分析： 欲求代数式的值，从m2+m-1=0中求m的值是比较困难的，也是不必要的，只需利用单项式与多项式的积的逆运算即可.
　　解：∵m2+m-1=0，∴m2+m=1.
　　　　∴m3+2m2+2004
　　　　=m(m2+m)+m2+2004
　　　　=m·1+m2+2004
　　　　=m2+m+2004
　　　　=1+2004
　　　　=2005.
　　　　∴m3+2m2+2004=2005.

　　15．运用平方差公式计算.
　　(1)(3x+2)(3x-2)；(2)(b+2a)(2a-b)；(3)(-x+2y)(-x-2y).
　　分析：(1)中，把3x看作a，2看作b；(2)中，2 a看作a，b看作b；(3)中，-x看作 a，2y看作b.
　　解：(1)(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4.
　　　　(2)(b+2a)(2a-b)=(2a)2-b2=4a2-b2.
　　　　(3)(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2

　　16．运用完全平方公式计算.
　　(1)(4m+n)2； (2)(y-)2.
　　分析： 主要是正确地应用公式.
　　解：(1)(4m+n)2=(4m)2+2·4m·n+n2=16m2+8mn+n2.
　　　　(2)(y-)2=y2-2y·+()2=y2-y+.
　　【说明】 在应用公式(a+b)(a-b)=a2-b2和(a±b)2=a2±2ab+b2时，关键是看清题目中哪一个是公式中的a，哪一个是公式中的b.

来源：中国哲士网

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