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不等式（组）与实际问题
一、巩固提高
（一）带字母系数的一元一次不等式（组）
带字母系数的一元一次不等式（组）问题相对比较复杂，在中考与数学竞赛中经常遇到，在解决这类问题时，须注意分类讨论。
 1．不等式 对于 恒成立，求 的取值范围。
分析：“对于恒成立”的含义是第一个不等式所表示的范围要包含的范围，而使得“对于恒成立”。
解：由
∵对于恒成立
示意图：
∴
∴
2．已知a、b、c是三个非负数，并且满足 ， ，设 ，记 为 的最小值， 为的最大值，求 的值。
分析：我们不妨从会的地方入手，由前面给出的两个关于a、b、c的三元一次方程，可以消去两个未知数，即可用a、b、c中的一个字母表示另两个字母，那么m也可用这个字母表示出来。又由题目已知的a、b、c是三个非负数，可知对于一个字母的三个限制进而得到这个字母的较具体的范围，也就得到了m的范围。
解：由
②×2  ③
③-① 
代入② 
∴
∵
∴
由④
由⑤
∴
∴
即
∴ ，
∴
3．解关于的不等式
解：∵ ，∴
∴
（1）当 ，即 时
（2）当 ，即 时
（3）当 ，即 时
原式化为
为任意实数
注意：由于不知道 的正负，因此须要分成三种情况讨论。
4．解关于的不等式组
解：由① 
 ③
（注意：由于不知道a的正负，因而不要随意将系数a除到右边去）
由② 
 ④
（1）当 时，原式可化为
（须注意的是，不可以直接写出结果为 ，因为我们还不知道 与 的大小）
∵ ，又∵
∴
∴
∴
（2）当时，原式化为
∵，又∵
∴
∴
∴
（3）当 时，原式化为
此不等式组无解
综上，当时，原不等式组解集为；
当时，原不等式组解集为；
当时，原不等式组解集无解。
（二）含绝对值的一元一次不等式（组）
解决这类问题的关键，在于根据绝对值的定义或性质，去掉绝对值符号，将其化为常规的不等式（组），在其中经常使用到的方法，是将数轴分段进行讨论，即使用“零点分段法”以去掉绝对值符号。
5．解不等式
分析：这里有两个绝对值，对于多个绝对值的问题，我们一般采用“零点分段法”，即，先确定 与 时的值来作为零点，然后以这两个零点为界把数轴分为若干区间，进而求得不等式的解。
解：令 ，得
令 ，得
即5与-7分别是 与 的零点，可将数轴分为 ， ，和三段。
（1）
由①
∴不等式组无解
（2）
由②，
∴ 
（3）
由③
∴
综上，
原不等式的解集为。
二、列一元一次不等式（组）解应用题
根据等量关系列方程是我们解应用题的常用方法．但有的应用题中的数量是不等关系，我们可以仿照列方程的方法，根据题目中的不等关系列出不等式也可使问题得解．
1．某次知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错或不答都扣5分。小明得分要超过90分，他至少要答对多少道题？
解：设他答对x道题
据题意，列10x-5（20-x）＞90
10x-100+5x＞90
15x＞190
∵ x为整数 ∴ x≥13
答：他至少答对13道题。
注意：为什么使用不等式来解决问题？为什么不设他至少答对x道题？
请注意不等式与方程的异同：
（1）不等式自身带不等关系，易于说明；
（2）方程需搭配分析
对比在此问题上运用方程和运用不等式各自的优缺点，从而初步概括归纳运用一元一次不等式解决实际问题的基本思路。
列一元一次不等式组解应用题的一般步骤如下：
1、审：审清题意，弄懂已知什么，求什么，以及各个数量之间的关系。
2、设：只能设一个未知数，一般是与所求问题有直接关系的量。
3、找：找出题中所有的不等关系，特别是隐含的数量关系。
4、列：列出不等式组。
5、解：分别解出每个不等式的解集，再求其公共部分，得出结果。
6、答：根据所得结果作出回答。
2．某校为了奖励在数学竞赛中获奖的学生，买了若干本课外读物准备送给他们.如果每人送3本，则还余8本；如果前面每人送5本，则最后一人得到的课外读物不足3本.设该校买了m本课外读物，有x名学生获奖.请解答下列问题：
(1) 用含x的代数式表示m;
(2) 求出该校的获奖人数及所买课外读物的本数.
解：
(1) m=3x+8,
(2)依题意，得0≤3x+8-5(x-1)＜3
0≤-2x+13＜3
-13≤-2x＜-10
 ≥x＞5即5＜x≤.
∵x为正整数，∴ x=6.
把x=6代入m=3x+8, 得m=26.
答：该校获奖6名，购买26本课外读物.
注意：当问题要求取所列不等式的正整数解时，答案就可能变得具体、唯一．
3．一群男生去某地旅游住若干间宿舍，每间住4人，剩19人无房住；每间住6人，有一间宿舍住不满。问：可能有多少间宿舍、多少名学生？
分析：在能构建不等式的题目中往往有表示不等关系的词语，如大于、小于、不大于、不小于、超过、不超过等。我们只有先找到这些关键信息，才能列出正确的不等式组。本题数量关系不算复杂，根据题意可直接列出两个不等式构成不等式组。
解：设可能有x间宿舍，则有（4x+19）名学生
据题意，列
∴
∴ 当房间有10间时,人数为59人.
∴ 当房间有11间时,人数为63人.
∴ 当房间有12间时,人数为67人.
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