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[组图]第九章 不等式与不等式组(一)

查询数七年下单元1的详细结果
第九章 不等式与不等式组(一)
  什么是不等式?
  同学们第一次看到“不等式”这个概念的时候,可能会觉得非常眼熟,它和我们以前大量学习过的“等式”这个内容,从名称上看,只差一个字。我们可以从类比的角度来学习不等式的相关知识。
一、基本概念与相关概念
1.回顾等式:
  用等号连接代数式
  方程:含有未知数的等式
  那么不等的概念呢?用“不等号”表示大小关系的式子。
  注意:现阶段,我们使用的不等号是“>、≥、≠、≤、<”,其中,“≥”的含义是“大于或等于”二者具备其一即可。
  我们了解了不等式的概念及常见的不等号后,可以用含不等号的代数式即不等来表述我们遇到的文字表述。
  1:用不等式表示:
  (1)a与5的和是负数;
  (2)b与5的差不是负数;
  (3)a的一半与3的差大于2;
  (4)b的一半与3的差是负数;
  (5)2a与1的和小于零;
  (6)a的2倍与4的差不少于5;
  (7)a与5的差是正数或0;
  (8)b与-3的和既不是正数也不是负数;
  (9)b的5倍既大于又小于
  (10)a的一半与3的差是大于-2的负数;
  (11)2a与b的和是大于-2的正数;
  (12)b的一半与3a的和既不大于9又大于13。
  分析:前7个小题是基本问题,后5个小题由于需同时满足的条件2个,所以难度相应较大。
  解:
  (1)
  (2)b-5≥0;
     注意:非负数即正数或0
  (3)
  (4)
  (5)
  (6)
     注意:不少于5指大于或等5
  (7)
  (8)
     由“不是正数”确认“≤0”,“不是负数”确认“≥0”,
     而既大于等于又小于等于0可知
  (9)还可以写为
  (10) 还可以写为
  (11)
     有的同学可以感觉到既大于-2又大于0,那么只要保证大于0就够了。即
  (12)
  有些同学会觉得有些“不对劲”了,怎么会比小数还小而且比大数还大呢?我们暂时先列式于此,至于不等式是不是一定解得出,就是我们后面要研究的问题了。

2.回顾方程的解:
  使方程成立的未知数的值。
  那么不等式的解呢?使不等式成立的未知数的值。例如:x=5是不等式的解。
  但是大家会发现,除了以外,还有很多数也可以使不等式成立。如何能够把不等式的所有解表示清楚呢?我们可以发现:当时,不等式总成立。即任何一个大于0的数都是不等式的解,因此,表示了能使不等式成立的x的取值范围,叫做不等式的解的集合,简称解集。
  这个解集可以用数轴来表示。
          
  注意:空心圆圈表示不包括这一点,实心圆圈表示包括这一点。

3.回顾解方程:
  求方程的解或证明方程无解的过程叫解方程。
  那么解不等式呢?求不等式的解集或证明不等式无解的过程叫做解不等式。

4.类似于一元一次方程,含有一个未知数,未知数的次数是1的不等式,叫做一元一次不等式。

二、一元一次不等式性质
  大家不妨先回顾一下解方程的过程,我们一般是依靠等式的性质来解方程的:
  2:解关于的方程
      
  解:去分母:
    去括号:
    移项:
    合并:
    系数化为1:
    使用到的等式的性质有:
    (1)等式两边加上或减去同一个数或式子,等式仍成立。
    (2)等式两边乘以或除以同一个不为零的数或式,等式仍成立。
    那么变一下关系符号,你是否还会呢?
    
    可否按解方程步骤?
    看来,只有用解不等式的理论依据才能指导我们解不等式的步骤。
    类比等式的性质,找到不等式的性质,首先注意,我们约定a、b两数的大小关系,共有3种:
    (1)
    (2)
    (3)

性质类比:
  1.自反性:
    等式:若,则
    不等式:若,则
  2.传递性:
    等式:若,则
    不等式:若,则
  3.等式:等式两边同时加上(或减去)同一个数或式子,等式仍然成立,即若,则
    不等式:不等式两边同时加上(或减去)同一个数,不等式仍然成立,即若,则
    这是可以由我们的规定来说明的。
    已知,若比较的大小,则可以其差值分析:
   
    ∴
  4.等式:等式两边同时乘以或除以同一个不为零数或式子,等式仍然成立,即若a=b,则有ac=bc;
    不等式:
    (1)不等式两边同时乘以或除以同一个正数,不等号方向不变。即若,则
    (2)不等式两边同时乘以或除以同一个负数,不等号方向改变。即若,则
    说明:∵
       ∴
       则
    (1)当时,为正,为正
       ∴
       即
       ∴
    (2)当时,为正,为负
       ∴
       即
       ∴

  3:用适当符号连接:
  (1)若,那么
    
    
    
    
    
  解:①∵
     ∴ (性质3)
    ②∵
     ∴ (性质3)
    ③∵
     ∴ (性质4(1))
    ④∵
     ∴ (性质4(2))
    ⑤∵
     ∴ (性质3)
  (2)
    
    
  解:①∵
     ∴ (性质3)
     即
    ②∵
     ∴ (性质3)
    ③∵
     ∴ (性质4(1))
     ∴ (性质3)
  (3)
    
  解:①∵
     ∴ (性质3)
     即
    ②∵
     ∴ (性质4(2))
     ∴ (性质3)
     即

  4:已知,求证:
  分析:现阶段很多比大小的问题都可以通过作差比较的方法来处理。
  证明:
     ∵
     ∴
     即

三、运算:
利用不等式的性质解下列不等式,并将解集在数轴上表示出来:
  1.
  解:
    
    
    
   

  2.
  解:
    
    
    3x≤-9
    x≤-3
    

  3.
  解:
    
    
    
    
    
    
    

  计算中注意:(1)去分母中易漏项;
         (2)去括号时注意符号变化;
         (3)系数化为1时必须考系数正负来决定是否变号,且不要弄错分子与分母。

四、发展能力
  1.已知,比较的大小
  解:
    
    
    当,即时,
    当,即时,
    当,即时,

  2.解关于的不等式
  解:时,
    当时,
  注意:不等式两边欲同时除以,由于不知的正负,因而需分类讨论,可能使用的性质有2条。

  3.若不等式只有3个正整数解,求的取值范围。
  解:
    
    ∵ 只有3个正整数解
    ∴ 3个解为1,2,3
    如图
    ∴
    ∴9≤a<12
  注意:检验边界点是否在范围内。

来源:中国哲士网

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