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[组图]三角形有关的角、多边形及其内角和

查询数七年下单元1的详细结果
三角形有关的角、多边形及其内角和
一、学习目标：
　　1．了解与三角形有关的角（内角、外角），会用平行线的性质与平角的定义证明三角形内角和等于
　 　　180°，探索并了解三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和．
　　2．了解多边形的有关概念（边、内角、外角、对角线、正多边形），探索并了解多边形的内角和与外
　 　　角和公式．
　　3．通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌平面，并能运用这几
　 　　种图形进行简单的镶嵌设计．

二、内容解析：
7.2.1 三角形的内角
　　本节的重点是证明和熟练运用“三角形内角和为180°”.
　　1．可添加不同的辅助线证明这个定理.
　　　　　　
　　2．在证明的过程中，体会各种证法异同点.
　　3．可利用内角和定理证明“直角三角形的两个锐角互余”.

7.2.2 三角形的外角
　　1．三角形的外角的实质就是内角的邻补角.
　　　 外角的特征：(1) 顶点是三角形的一个顶点；
　 　　　　　　　　(2) 一条边就是三角形的边；
　 　　　　　　　　(3) 另一边是三角形某边的延长线.
　　2．完成一些基本的判断题和问题，理解外角的概念，如：
　　(1) 判断下列图中∠1、∠2是三角形的外角吗？
　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　 图① 　　　　　　　　　　　　　　　　　　图②
　　　　答：图①中∠1、∠2均不是；图②中∠1也不是.
　　(2) 问：三角形每个顶点处有几个外角，它们之间有什么关系？
　　　　答：三角形每个顶点处有2个外角，它们互为对顶角.
　　(3) 三角形的外角中至少有多少个钝角？若一个三角形的三个外角都是钝角，则这个三角形是什么三角
　　　　形？
　　　　答：三角形的外角中至少有2个钝角；若一个三角形的三个外角都是钝角，则这个三角形是锐角三
　　　　角形.
　　3．由邻补角的定义和三角形内角和定理推导外角的性质定理.
　　(1) 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.
　　(2) 三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角.
　　(3) 三角形的外角和为360°.(可利用上面外角的性质(1)，以及内角和定理证明；也可以用邻补角的定
　　　　义，以及内角和定理证明)
　　注意：深刻理解外角实质上是内角的邻补角.

　　知识点对比：
定义 特征及图例 有关结论 相关链接
三角形的内角 相邻两边组成的角，叫做三角形的内角，简称三角形的角 内角的特征：(1) 顶点是三角形的一个顶点；(2) 两条边就是三角形的边； 三角形的内角和定理：三角形的内角和等于180°. 平行线的性质
直角三角形的两个锐角互余.
三角形的外角 三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角 外角的特征：(1) 顶点是三角形的一个顶点；(2) 一条边就是三角形的边；(3) 另一边是三角形某边的延长线. 三角形的外角的性质：（1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；
（2）三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
(3) 三角形的外角和为360°.		 三角形的外角的实质就是内角的邻补角.

7.3 多边形的内角和
　　1．本节的学习，要以三角形为基础，可以仿照三角形建立多边形的有关概念，如多边形、多边形的
　 　　边、内角、外角、内角和、外角和等都可同三角形类比，理解这些概念.
　　2．多边形：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形.如果这个多边形由n条线段组
　 　　成，那么这个多边形就叫做n边形.（n≥3，且n为整数）
　　说明：
　　(1) 多边形的概念中要提到“在平面内”，而三角形却不必强调；
　　(2) 三角形是最简单的多边形，因此很多有关多边形的问题都应转化为三角形来研究，同时它也一般不
　 　　 叫做“三边形”.
　　3．对角线是多边形(n>3)所特有的概念，它的重要之处是将多边形的问题转化为三角形的问题来解决，
　 　　此处可以引申一些问题，如：
　　(1) 从n边形的任一顶点，可以引多少条对角线，它们将多边形分成了几个三角形；
　　(2) n边形一共有多少条对角线？(,数的方法一定要抓住概念中“不相邻的两个顶点”来考虑)
　　4．正多边形的概念一般说来必须同时满足“各边相等”和“各角相等”.
　　说明：
　　(1) 只满足“各边相等”的反例：菱形；
　　(2) 只满足“各角相等”的反例：矩形.
　　5．通过对多边形内角和公式的探究和推导，要充分体会三角形在研究多边形问题的过程中所发挥的重
　 　　要作用，发现不同的证法.
　　　　　　　　　
　　说明：可以将各种证法统一起来，即点O在不同的位置.
　　6．利用内角和以及邻补角的定义，推导外角和公式，体会变与不变的关系.

7.4 课题学习 镶嵌
　　1．本节课是探索并推导平面图形的镶嵌，通过这个过程可以加深对多边形内角和的理解.
　　2．用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，通常把这类问题叫做用多边形覆盖平面（或
　 　　平面镶嵌）的问题.
　　3．通过探究和实验，可总结平面镶嵌的必要条件是：
　　(1) 拼接在同一点的各个角的和恰好等于360°；
　　(2) 相邻的多边形有公共边.

三、例题解析：
　　1．下列四个图中能说明∠1＞∠2的图是( C ).
　　　　　 　　　　　　
　　 　　　A 　　　　　　　　B 　　　　　　　　　　　C 　　　　　　　　　　　D

　　2．已知：如图1，直线AB∥CD，直线EF分别交AB、CD于点E、F，∠BEF的平分线与∠DFE的平分线相交于点P，试说明：∠P=90°.
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　3．如图2，在锐角三角形ABC中，CD、BE分别是AB、AC边上的高，且CD、BE交于一点P，若∠A=50°，求∠BPC的度数。 （130o）
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

　　4．如图3，D是△ABC内任一点，试说明：∠ADB=∠1+∠2+∠C.

　　5．如图4，若P为∠B、∠C平分线的交点，求∠BPC∠A的值。（90o）
　　　　　　　　　　　　　　　　　


　　6．如右图5，△ABC的两条外角平分线交于点D,则下列等式成立的是（ C ）
　　(A) ∠A+∠D=90° 　　　　(B) ∣∠A-∠D∣=90°
　　(C) ∠A+∠D=90°　　　 (D) ∣∠A-∠D∣=90°

　　7．如图，△ABC中，∠ABC的平分线与∠ACE的平分线交于点D，试探求∠D与∠A之间的大小关系. ∠D=∠A
　　　　　　　　　　　　　

　　8．已知：如图6，在△ABC中，D、E分别是BC、AC上的点，AD、BE相交于点F.
　　求：∠C+∠1+∠2+∠3. （180o）
　　　　　　　　　　 　　　　

　　9．已知：如图7，把△ABC纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内部时，
　　∠A与∠1+∠2之间有什么关系，请猜想并证明. （2∠A=∠1+∠2）

　　10．一个多边形的内角和是540°，那么这个多边形的对角线的条数是（ A ）
　　(A) 5 　　　(B) 4　　　 (C) 3　　　 (D) 2

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