第一章概率与统计

（知识拓展）

一、数学史话

1．我们的世界充满或然性
　　一块龟壳被烈火焚烧，即将龟裂，你知道会出现几条裂纹吗？一枚随意抛掷的硬币即将着地，你知道哪一面向上吗？一个新的黎明即将到来的时候，《晨报》告诉你：降水概率为60%，你知道自己是否要带雨伞吗？从古老的占卜，到现代的生活，每个人都以某种方式接触到或然性法则．
　　描述概率世界的统计学存在于我们所到之处：初次心脏病发作的人有三分之一未能存活；一次DNA匹配的机会是千亿分之一；在美国10桩婚姻中有4桩以离婚告终；射击选手的平均环数，民意测验和天气预报等等，到处充满着统计规律．
　　著名的物理学家格纳曾说过数学之有效是无法理解的．数学为什么会如此有效？我们还是让哲学家去讨论吧．对于我们只要记住伽利略说的话就行了：“大自然是一本书，这本书是用数学写的，不借助于它们就一个字也不懂，没有它们就只会在黑暗的迷宫中踯躅．”
　　对于以上的随机性事件，就需要我们用随机数学来研究．新教材增加了概率与统计的基本内容，让大家初步认识随机数学．
　　2．随机数表
　　“一个有理性的19世纪的人肯定会认为出版一本随机数的书是愚蠢到了极点．”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--阿尔佛雷德·博克
　　即使在今天大多数人也会认为一本都是数字的书，而且是毫无规律的数的书是毫无用处的，然而，一旦你接受了统计学，就会发现这是很必要的，我们不妨看看随机数表的历史．
　　1920年，列昂纳德·H·C·提珀特先生，要向他的同事们演示他的新的统计思想，这就需要大量的随机数据，提珀特先生就把一些写了数字的卡片放在一个布袋里，然后像摸彩券似的把他们摸出来，但是很遗憾，这种方法被证明是过于笨拙，而且卡片的混合也不足以保证随机性．时至今日，我们仍可以想象提珀特先生手提布袋进行演讲的辛劳．
　　“近年来在借助于人工随机样本检验各种统计理论中，已经花费了极其大量的劳动！”
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　--卡尔·毕尔生
　　1927年，剑桥出版社出版了一本曾由提珀特先生随机排列的41600个数字的表，这些数据是随机取自人口普查教区面积的数字．也就是从这开始统计学家走上了一条寻找随机数的道路．
　　1938年数学家R·A·费歇尔和F·雅特斯发表了15000个初充随机数字，选自对数展开的第15至19位小数．这些数字是通过一个涉及两副纸牌的程序获得的。
　　1939年，M·G·肯德尔和B·巴秉顿·史密斯发表了一张包含100000个数字的表，是由一台用旋转圆盘制作的机器随机排序的．这个圆盘分为十个扇形，当圆盘旋转时，十个扇形之一被一闪光的氖光灯瞬时照亮．
　　1955年，RAND公司发表了一个文件，标题为具有100000正规叛离的一百万个随机数字，是由一个电子轮盘赌转向轮的随机脉冲所产生的．
　　随着计算机的发展，数学家受蒙特卡洛的启发，冯·诺伊曼提出一个生成随机数的算术程序：一个被称为“平方取中”的算法，它从一个字长为N的数开始进行平方，取中间的N或N 1数字作为第一组，然后对这个数平方，取中间N或N 1个数字作为第二组，……遗憾的是，这个方法被发现是一个贫乏的随机数源，可能由于原来 个数字的选取不当而无效．例如，从四位数3729出发，施以平方产生数14379264，其中间数字是3792，与我们开始的四个数字相同．
　　现在随机数的生成元主要有四种类型：
　　 基于模算术或除后余数的同余生成元；
　　 使用计算机存储信息的二进制结构的生成元；
　　 基于数论的生成元；
　　 基于斐波那契序列．
　　研究仍在继续--寻找更好的生成元，更快的生成元，以及周期更长的生成元．

二、趣味数学

1．假如你是经理，你将如何决策？
　　统计资料表明，每年国庆节某商场内的促销活动可获得效益2万元，商场外的促销活动如果不遇到下雨天气可获得经济效益10万元，遇到雨天则要损失4万元．已知当天的降水概率40%，假设你是商场经理，你将如何决策？

【思路】

要作出决策，先要求出商场外促销经济效益这个随机变量的概率分布，再求出它的期望，然后与商场内促销的经济效益进行比较，最后作出正确的决策．
　　

　2．布丰问题：平行线、火柴棍与 ．
　　18世纪，法国科学家布丰提出一个问题：在纸上画很多间距为火柴棍长度的平行线，然后向这张纸扔一根火柴棍，问火柴棍与平行线相交的概率是多少？

【思路】

如图1－1设火柴棍长为2，其中点到最近的一条平行线的距离为 ，半根火柴棍在垂直方向的上的投影长为 ，火柴棍与平行线的夹角为 ，

　　现在，利用概率论的有关知识，进行计算机模拟和数值分析，已发展成为一种新的数值计算方法--蒙特卡罗方法．

3．关于肇事嫌疑人的概率问题.
　　一位出租车司机涉嫌一起夜间肇事逃逸事故．已知在这个城市里，有“绿色”和“蓝色”两家出租车公司．
　　 在这个城市里，85%的出租车是绿色，15%是蓝色．
　　 一位目击者认定肇事出租车是蓝色．法庭在与出事当夜相同的环境下测试了目击者的可信度，并得出结论，在80%的时间里，目击者能正确识别两种颜色中的一种，在20%的时间里不能．
　　与该事故有牵连的出租车是蓝色而不是绿色的概率是多少？
　　在审判当中，这是一个非常严肃的决策时刻，但是大部分人不能正确估计客观的概率，仅凭目击者的认定下断语，一个有代表的答案是大约80%．而正确的答案是大约41%．

【评析】

心理学家丹尼尔·卡内曼和艾莫斯·特弗斯基曾经研究了这个例子，本题错误的原因在于过于相信直觉，而忽略了两种出租车的比率．正确的分析是：如果有共100辆出租车，则可能被判定为蓝色的有85×20%＋15×80%＝29辆，正确判定为蓝色的有15×80%＝12辆，判定为蓝色的概率是12/29≈41%。

三、竞赛园地

怎样用期望来证明平均数问题呢？因为期望在某种意义上就是加权平均数，要求期望就要先列其分布列，利用期望的定义来进行计算和论证，下面举一例说明．
　　例设有一付纸牌共有 张，其中有3张王牌，任意地洗牌，且牌的所有可能的分布是等概率的，洗好牌后从顶上开始一张接一张地翻牌，直至翻到第二张王牌出现时为止，证明所翻过的纸牌的平均数是

【证明】