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湖北省黄冈中学2008年秋季高二数学期末考试试题（理科）
命题人：潘际栋 校对人： 曾建民
一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．给出下列命题：
①平行于同一平面的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两条直线互相平行；
③垂直于同一直线的两条直线互相平行．
其中真命题的个数是 （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
2．过点P（-1，1）的直线 与圆 相交于A、B两点，当|AB|取最小值时，直线 的斜率k的值是 （ ）
A． B．1 C．2 D．
3．若a, b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1成立的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件
4．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，B1C∩BC1=O，
若 ，则 等于（ ）
A．1 B．
C． D．2
5．对两条不相交的空间直线 和 ，必定存在平面 ，使得 ( )
A． B． C． D．
6．设抛物线 的焦点为 ，经过点 的直线与抛物线交于 、 两点，又知点
恰好为 的中点，则 的值是 （ ）
A．3 B．4 C．6 D．
7．曲线 和曲线 的 （ ）
A．焦距相等 B．离心率相等 C．准线相同 D．焦点到准线距离相等
8．下列四个正方体图形中， 为正方体的两个顶点， 分别为其所在棱的中点，能得出 平面 的图形的序号是 （ ）
① ② ③ ④
A．①、② B．①、③ C． ②、③ D．②、④
9．若双曲线 与直线 无交点，则离心率 的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
10.过 （ ）任作一条直线交抛物线 于P、Q两点，若 为定值，则 ( )
A． B． C． D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案写在横线上.
11．过点 的抛物线的标准方程是____________.
12．设x，y满足约束条件 ，则 的最大值是 _________．
13．若双曲线 的虚轴长是实轴长的2倍，则 等于 .
14.如图是一个正方体的平面展开图，若将此平面展开图还原
成正方体，则在这个正方体中：
① 与 平行；
② 与 是异面直线；
③ 与 成 角；
④ 与 垂直．
以上四个命题中，真命题的序号是 ．（所有真命题的序号）
15.已知 、 为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以 为顶点， 为焦点，设 为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率 满足 ，则 的值为___________.
三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.
16．（本小题满分12分）将直线 绕着它与 轴的交点按逆时针方向旋转 角后，恰好与圆 相切，求旋转角 的最小值．
17．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；
（Ⅱ）证明：DE⊥平面PBC．
18．（本小题满分12分） 已知双曲线 的一条渐近线方程为 ，两条准线间的距离为 ， 、 是双曲线的左、右焦点.
（Ⅰ）求双曲线的方程；
（Ⅱ）直线 过坐标原点 且和双曲线交于两点 、 ，点 为双曲线上异于 、 的一点，且直线 和 的斜率 、 均存在，求 的值．
19．（本小题满分12分）如图，在空间四边形 中， 为 的中点, ， ， ， 平面 ， .
（Ⅰ）求证： ；
（Ⅱ）求异面直线 和 所成角的大小.
20．(本小题满分13分) 已知抛物线 的焦点为F， A、B为抛物线上的两个动点．
（Ⅰ）如果直线AB过抛物线焦点，判断坐标原点 与以线段AB为直径的圆的位置关系，
并给出证明；
（Ⅱ）如果 （ 为坐标原点），证明直线AB必过一定点，并求出该定点.
21．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点， M为CD的中点.
（Ⅰ）求点M的轨迹方程；
（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数 ，使 ，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；
（Ⅲ）过 的直线与轨迹E交于P、Q两点，
求 面积的最大值．
湖北省黄冈中学2008年秋季高二数学期末考试（理科）答案
1．B ①和③的两直线还可以异面或相交
2．A |AB|取最小值，则直线 与点P和圆心的连线垂直，所以直线 的斜率等于-1
3．B 因为|a|+|b|≥|a+b|，所以|a+b|>1 |a|+|b|>1；但|a|+|b|>1成立不能推出|a+b|>1成立．
如 时|a+b|>1，而|a+b|=0．
4．D 由向量的中点公式有 ，
又 ，所以
即
5．C 若 和 空间两条不相交的直线，则 和 或平行，或异面．答案A要求 和 一定共面；答案B要求 和 一定平行；答案D要求 和 一定垂直．
6．C 过 、 两点分别作抛物线准线的垂线，设垂足分别为 、 ，由抛物线定义知 =
7．A 曲线 ， 表示双曲线 ．
此时焦距 ．
而曲线 表示椭圆，此时焦距 ．
8．B 在①中 平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行 ，所以 平面 ；在③中设过点 且垂直于上底面的棱与上底面交点为 ，则由 ， 可知平面 平行平面 ，即 平面 ．
9．C 要双曲线与直线 无交点，则双曲线的渐近线 的斜率 ，
从而离心率
10．A 设直线与抛物线的两个交点为 、 ，直线倾斜角为 ，显然 ，则 ， .又过点 （ ）的直线方程为 ， 由直线方程和抛物线方程联立消去 得 =0，从而有 = ，要使这个值与 无关，则应使 ．
11． 或
12．2 画图即知当动直线 过点 时， 取最大值2
13．4 ， ， ，即 ，
14．③④ 将平面展开图还原成正方体，由图易知①、②错；
， 为异面直线 与 所成的角．
易知它等于 ；由三垂线定理可知④也对．
15． 因为点 在抛物线上，所以点 到 的距离等于它到准线的距离 ，即点 到 的距离 与它到抛物线的准线的距离 的比等于椭圆的离心率，所以抛物线的准线与椭圆的左准线重合，即 ，解得 = ．
16．因为直线与 轴的交点（3，0），所以设切线方程为 ，又已知圆的圆心 ，半径为 ，由圆心到直线的距离等于半径可知 ，解得 ，和 由题设可知应取 由到角公式知 ，故旋转角 的最小值为 ．
17．证明：（Ⅰ）连结AC，设AC∩BD=O，连结EO，
∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．
∴OE为△PAC的中位线． ∴PA∥OE，而OE 平面EDB，PA 平面EBD，
∴PA∥平面EDB. ……………6分
（Ⅱ）∵PD⊥平面AC，BC 平面AC，∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D.
∴BC⊥平面PDC. ∵DE 平面PDC , ∴BC⊥DE . ①
又∵PD=DC， E是PC的中点， ∴DE⊥PC． ②
由①、②可知DE⊥平面PBC. ……………12分
18．解：（Ⅰ）依题意有：
解得 ．∴双曲线方程为 ．………6分
(Ⅱ)解法一：设 ，由双曲线的对称性，可得 ．
设 ，则 ，
又 ，∴ ．同理 ，
∴ ． ………………12分
(Ⅱ)解法二：设直线 方程为 ，代入双曲线方程，并整理得 设 ，则 ；
又设 ，
则
19．（Ⅰ）证明： 平面 ， 是 在平面 内的射影，
且 ，由三垂线定理知 . 又已知 平面
平面 ， ……………5分
（Ⅱ）解：在平面 内分别过 作 的平行线，交于点 ，
连结 .则 是异面直线 和 所成的角或其补角. ……………8分
连结 则由 平面 可知 ， ．
， ，
， ，
.
易知四边形 为矩形，从而 ，
在 中， ，
异面直线 和 所成角的大小为 ………………12分
20． 解：（Ⅰ）∵焦点F为（1，0），过点F的直线AB的方程可设为 ，代入抛物线
得： ， ，则有 ，
，
于是 为钝角，故 在圆内. ………………6分
（Ⅱ）设直线AB的方程为 消去x，得
，则 ，
= ．
令 ，∴直线AB过定点（2，0）．…………………13分
21．解：（Ⅰ）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，则
又 由AC⊥BD有 ，即 ，
∴x2+y2=1（x≠0）. ………………………（4分）
（Ⅱ）设P（x, y），则 ，代入M的轨迹方程有
即 ，∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.
要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故 .
∴ 从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0). ………………………9分
（Ⅲ）易知l的斜率存在，设方程为 联立9x2+y2=1，有
设P(x1, y1), Q(x2, y2)，则
令 ，则 且
，
所以当 ，即 也即 时， 面积取最大值，最大值为 ．…… 14分
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