湖北省黄冈中学2008年秋季高二数学期末考试试题（理科）

命题人：潘际栋校对人：曾建民

一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分，在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.

1．给出下列命题：

①平行于同一平面的两条直线互相平行；

②垂直于同一平面的两条直线互相平行；

③垂直于同一直线的两条直线互相平行．

其中真命题的个数是（）

A．0 B．1 C．2 D．3

2．过点P（-1，1）的直线与圆相交于A、B两点，当|AB|取最小值时，直线的斜率k的值是（　　）

A．　　　　　 B．1 　　　 C．2 　　　 D．

3．若a, b∈R，则|a|+|b|>1是|a+b|>1成立的（）

A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件

C．充分必要条件 D．既不充分又不必要条件

4．在平行六面体ABCD—A1B1C1D1中，B1C∩BC1=O，

若，则等于（）

A．1 B．

C． D．2

5．对两条不相交的空间直线和，必定存在平面，使得 ( )

A． B． C． D．

6．设抛物线的焦点为，经过点的直线与抛物线交于、两点，又知点

恰好为的中点，则的值是（）

A．3 B．4 C．6 D．

7．曲线和曲线的（）

A．焦距相等 B．离心率相等 C．准线相同 D．焦点到准线距离相等

MMM

8．下列四个正方体图形中，为正方体的两个顶点，分别为其所在棱的中点，能得出平面的图形的序号是（）

① ② ③ ④

A．①、② B．①、③ C． ②、③ D．②、④

9．若双曲线与直线无交点，则离心率的取值范围是（）

A． B． C． D．

10.过（）任作一条直线交抛物线于P、Q两点，若为定值，则 ( )

A． B． C． D．

二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.把答案写在横线上.

11．过点的抛物线的标准方程是____________.

12．设x，y满足约束条件，则的最大值是 _________．

13．若双曲线的虚轴长是实轴长的2倍，则等于 .

14.如图是一个正方体的平面展开图，若将此平面展开图还原

成正方体，则在这个正方体中：

① 与平行；

② 与是异面直线；

③ 与成角；

④ 与垂直．

以上四个命题中，真命题的序号是．（所有真命题的序号）

15.已知、为椭圆E的左、右焦点，抛物线C以为顶点，为焦点，设为椭圆与抛物线的一个交点，如果椭圆离心率满足，则的值为___________.

三、解答题：本大题共6个小题，共75分.解答应写出文字说明、证明或演算步骤.

16．（本小题满分12分）将直线绕着它与轴的交点按逆时针方向旋转角后，恰好与圆相切，求旋转角的最小值．

P

E

17．（本小题满分12分）如图，四边形ABCD为矩形，PD⊥平面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．

（Ⅰ）证明：PA∥平面EDB；

（Ⅱ）证明：DE⊥平面PBC．

18．（本小题满分12分）已知双曲线的一条渐近线方程为，两条准线间的距离为，、是双曲线的左、右焦点.

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）直线过坐标原点且和双曲线交于两点、，点为双曲线上异于、的一点，且直线和的斜率、均存在，求的值．

19．（本小题满分12分）如图，在空间四边形中，为的中点, ，，，平面， .

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）求异面直线和所成角的大小.

20．(本小题满分13分) 已知抛物线的焦点为F， A、B为抛物线上的两个动点．

（Ⅰ）如果直线AB过抛物线焦点，判断坐标原点与以线段AB为直径的圆的位置关系，

并给出证明；

（Ⅱ）如果（为坐标原点），证明直线AB必过一定点，并求出该定点.

21．（本小题满分14分）如图，梯形ABCD的底边AB在y轴上，原点O为AB的中点， M为CD的中点.

（Ⅰ）求点M的轨迹方程；

P

M

N

A

（Ⅱ）过M作AB的垂线，垂足为N，若存在正常数，使，且P点到A、B 的距离和为定值，求点P的轨迹E的方程；

（Ⅲ）过的直线与轨迹E交于P、Q两点，

求面积的最大值．

湖北省黄冈中学2008年秋季高二数学期末考试（理科）答案

1．B ①和③的两直线还可以异面或相交

2．A |AB|取最小值，则直线与点P和圆心的连线垂直，所以直线的斜率等于-1

3．B 因为|a|+|b|≥|a+b|，所以|a+b|>1 |a|+|b|>1；但|a|+|b|>1成立不能推出|a+b|>1成立．

如时|a+b|>1，而|a+b|=0．

4．D 由向量的中点公式有，

又，所以

即

5．C 若和空间两条不相交的直线，则和或平行，或异面．答案A要求和一定共面；答案B要求和一定平行；答案D要求和一定垂直．

6．C 过、两点分别作抛物线准线的垂线，设垂足分别为、，由抛物线定义知 =

7．A 曲线，表示双曲线．

此时焦距．

而曲线表示椭圆，此时焦距．

8．B 在①中平行所在正方体的那个侧面的对角线，从而平行，所以平面；在③中设过点且垂直于上底面的棱与上底面交点为，则由，可知平面平行平面，即平面．

9．C 要双曲线与直线无交点，则双曲线的渐近线的斜率，

从而离心率

10．A 设直线与抛物线的两个交点为、，直线倾斜角为，显然，则， .又过点（）的直线方程为，由直线方程和抛物线方程联立消去得 =0，从而有 = ，要使这个值与无关，则应使．

11．或

12．2 画图即知当动直线过点时，取最大值2

13．4 ，，，即，

14．③④ 将平面展开图还原成正方体，由图易知①、②错；

，为异面直线与所成的角．

易知它等于；由三垂线定理可知④也对．

15．因为点在抛物线上，所以点到的距离等于它到准线的距离，即点到的距离与它到抛物线的准线的距离的比等于椭圆的离心率，所以抛物线的准线与椭圆的左准线重合，即，解得 = ．

16．因为直线与轴的交点（3，0），所以设切线方程为，又已知圆的圆心，半径为，由圆心到直线的距离等于半径可知，解得，和由题设可知应取由到角公式知，故旋转角的最小值为．

17．证明：（Ⅰ）连结AC，设AC∩BD=O，连结EO，

∵四边形ABCD为矩形，∴O为AC的中点．

∴OE为△PAC的中位线． ∴PA∥OE，而OE 平面EDB，PA 平面EBD，

∴PA∥平面EDB. ……………6分

（Ⅱ）∵PD⊥平面AC，BC 平面AC，∴BC⊥PD，而BC⊥CD，PD∩CD=D.

∴BC⊥平面PDC. ∵DE 平面PDC , ∴BC⊥DE . ①

又∵PD=DC， E是PC的中点， ∴DE⊥PC． ②

由①、②可知DE⊥平面PBC. ……………12分

18．解：（Ⅰ）依题意有：

解得．∴双曲线方程为．………6分

(Ⅱ)解法一：设，由双曲线的对称性，可得．

设，则，

又，∴ ．同理，

∴ ． ………………12分

(Ⅱ)解法二：设直线方程为，代入双曲线方程，并整理得设，则；

又设，

则

19．（Ⅰ）证明：平面，是在平面内的射影，

且，由三垂线定理知 . 又已知平面

平面， ……………5分

（Ⅱ）解：在平面内分别过作的平行线，交于点，

连结 .则是异面直线和所成的角或其补角. ……………8分

连结则由平面可知，．

，，

易知四边形为矩形，从而，

在中，，

异面直线和所成角的大小为 ………………12分

20．解：（Ⅰ）∵焦点F为（1，0），过点F的直线AB的方程可设为，代入抛物线

得：，，则有，

，

于是为钝角，故在圆内. ………………6分

（Ⅱ）设直线AB的方程为消去x，得

，则，

= ．

令，∴直线AB过定点（2，0）．…………………13分

21．解：（Ⅰ）设点M的坐标为M(x, y)(x≠0)，则

又由AC⊥BD有，即，

∴x2+y2=1（x≠0）. ………………………（4分）

（Ⅱ）设P（x, y），则，代入M的轨迹方程有

即，∴P的轨迹为椭圆（除去长轴的两个端点）.

要P到A、B的距离之和为定值，则以A、B为焦点，故 .

∴ 从而所求P的轨迹方程为9x2+y2=1(x≠0). ………………………9分

（Ⅲ）易知l的斜率存在，设方程为联立9x2+y2=1，有

设P(x1, y1), Q(x2, y2)，则

令，则且

，

所以当，即也即时，面积取最大值，最大值为．…… 14分

公开课优质课湖北省黄冈中学2010年秋季高二数学期末考试试题（理科）比赛获奖作品

P

E

P

M

N

A