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杭州市高二年级教学质量检测
数学试题卷
一．选择题 : 本大题共12小题, 每小题3分, 共36分. 在每小题给出的四个选项中, 有且只有一项是符合题目要求的 .
1．已知集合M = {x | | x – 2 | < 3, 且x ( Z}，则集合M中元素的个数是（ ）
（A）7 （B）6 （C）5 （D）4
2．双曲线的焦点坐标是 （ ）
(A)（– 2，0），（2，0）. (B)（0，– 2），（0，2）.
(C)（0，– 4），（0，4）. (D)（– 4，0），（4，0） . .
3. 直线x – 2y +2 = 0与直线3x – y + 7 = 0的夹角等于 ( )
(A). (B). (C). (D) arctan7.
4. 不等式|| > 的解集是 ( )
(A) {x | x ( –1}. (B) { x | x > –1 }.
(C) { x | x < 0且x ( –1 }. (D){x | –1 < x < 0 }.
5. 若椭圆两准线间的距离是焦距的4倍，则该椭圆的离心率为 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.
6. 已知两点A( –2, 0 ) , B( 0 , 2 ), 点P是椭圆=1上任意一点，则点P到直线AB距离的最大值是 （ ）
(A) . (B) 3. (C) . (D) 0.
7．直线y = x + 1被椭圆=1所截得的弦的中点坐标是 ( )
(A) (,). (B) (,). (C) (–,). (D)( –, –).
8. 如果实数x、y满足x + y = 4，则x2 + y2的最小值是 ( )
(A)4. (B)6. (C)8. (D)10.
9. 在相距4k米的A、B两地, 听到炮弹爆炸声的时间相差2秒, 若声速每秒k 米, 则爆炸地点P必在 ( )
(A) 以A，B为焦点, 短轴长为k米的椭圆上 .
(B) 以AB为直径的圆上.
(C) 以A，B为焦点, 实轴长为2k米的双曲线上 .
(D) 以A，B为顶点, 虚轴长为k米的双曲线上.
10. “a + b > 4”成立的一个充分不必要条件是 （ ）
(A) a > 2或b > 2. (B) a > 2或b < 2.
(C) a > 2且 b > 2. (D) a > 2且b < 2.
11. 已知曲线C1: y= –x 2 +4x–2 , C2: y 2 = x, 若C1、C2 关于直线l对称, 则l的方程是 ( ) (A) x + y + 2 = 0. (B) x + y –2 = 0.
(C) x – y + 2 = 0. (D) x – y – 2 = 0.
12．已知 – 1< x + y < 3，且2 < x – y < 4，则2x +3y的取值范围是 ( )
（A）（–，） （B）（–，）
（C）（–，） （D）（–，）
二．填空题：本大题有4小题, 每小题4分, 共16分. 请将答案填写在答题卷中的横线上.
13．已知a (R+, 且a ≠ 1, 又M = , N = , P = , 则M, N , P的大小关系是 .
14. 在平面直角坐标系内， 动点P到x轴、y轴的距离之积等于1， 则点P的轨迹方程是 .
（第15题）
15. 如图, 直线l ( FH于H, O为FH的中点, 曲线C1 , C2是以F为焦点, l为准线的圆锥曲线(图中只画出曲线的一部分）, 那么圆锥曲线C1是 ; 圆锥曲线C2是 .
16. 一次化学实验中需要用天平称出20g氧化铜粉末, 某同学发现自己所用的天平是不准的(其两臂不等长)，因此, 他采用了下列操作方法：选10g的法码放入左盘, 置氧化铜粉末于右盘使之平衡，取出氧化铜粉末, 然后又将10g法码放于右盘, 置氧化铜粉末于左盘, 平衡后再取出. 他这样称两次得到的氧化铜粉末之和应该 20g. (选用“大于”，“小于”，“等于”，“不小于”，或“不大于”填空 )
三．解答题：本大题有4小题, 共48分. 解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤.
17．(本小题满分10分)
已知直线l满足下列两个条件：(1) 过直线y = – x + 1和y = 2x + 4的交点; (2)与直线x –3y + 2 = 0 垂直，求直线l的方程.
18. (本小题满分12分)
已知A =, B = x + 1, 当x ≠ 1时，试比较A与B的大小, 并说明理由.
19. (本小题满分14分)
已知抛物线 y 2 = – x与直线 y = k ( x + 1 )相交于A、B两点, 点O是坐标原点.
(1) 求证: OA(OB;
(2) 当△OAB的面积等于时, 求k的值.
20. (本小题满分12分)
某游泳馆出售学生游泳卡，每张240元，使用规定：不记名，每卡每次只限1人，每天只限一次. 某班有48名学生, 老师打算组织同学们集体去游泳, 且要求每位学生能游8次.在费用开支方面, 除需购买x张游泳卡外, 每天游泳还要包一辆汽车, 无论乘坐多少名学生. 每次包车费均为40元.
（1）试写出游泳活动总开支y元关于购买游泳卡张数x 的函数解析式；
（2）试求出购买多少张游泳卡，可以使每位同学需要交纳的费用最少? 最少需要交多少元?
21 附加题: (本题分值6分, 计入总分, 但本题与必做题得分之和不超过100分.)
（附加题）
已知a , b都是正数，△ABC是平面直角坐标系xOy内, 以两点A ( a , 0 )和B ( 0 , b )为顶点的正三角形，且它的第三个顶点C在第一象限内.
（1）若△ABC能含于正方形D = { ( x , y ) | 0 ( x ( 1, 0( y ( 1}内， 试求 变量 a , b 的约束条件，并在直角坐标系aOb内（见答题卷）内画出这个约束等条件表示的平面区域；
（2）当( a, b )在（1）所得的约束条件内移动时，求△ABC面积S的最大值，并求此时（a , b ）的值.
2003年杭州市高二年级教学质量检测
数学试题卷参考评分标准
一．选择题 (本大题共12小题, 每小题3分, 共36分）
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
答案
C
D
B
D
A
A
C
C
C
C
B
D
二．填空题（本大题有4小题, 每小题4分, 共16分）
13． M > N > P .14. xy = ±1 .
15. 椭圆 ; 双曲线 .16. 大于
三．解答题（本大题有4小题, 共48分）
17．(本小题满分10分)
解：由，得 交点 ( –1, 2 )， 4分
∵ k l = – 3, 2分
∴ 所求直线l的方程为: 3x + y + 1 = 0. 4分
18. (本小题满分12分)
解: A – B = =， 4分
由 > 0得x < – 1或1 < x < 2 . 2分
∴ 当x < – 1或1 < x < 2时, A > B; 2分
当 – 1< x < 1或x > 2时, A < B； 2 分
当x = – 1或x = 2时, A = B. 2 分
19. (本小题满分14分)
解: (1) 当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意, 1分
∴k ( 0由y = k (x+1)得x = –1 代入y 2 = – x 整理得: y 2 +y – 1 = 0 ， 2分
设A (x 1 , y 1), B (x 2 , y 2) 则y 1 + y 2 = –, y 1y 2 = –1. 2分
∵A、B在y 2 = – x上, ∴A (–, y 1 ), B (–, y 2 ) ，
∴ kOA·kOB === – 1 .
∴ OA(OB. 3 分
(2) 设直线与x轴交于E, 则 E ( – 1 , 0 ) ∴|OE| = 1 ，
S△OAB =|OE|(| y 1| + | y 2| ) =| y 1 – y 2| ==， 4分
解得k = (. 2分
20. (本小题满分12分)
解: (1) 设游泳活动的总开支为y元, 则由题设得:
y =( 40 + 240x = 240 (+ x) , ( 0 < x ( 48 ) 4分
(2) 由基本不等式得: y = 240 (+ x) ( 240(2= 3840 , 4分
当且仅当x = 8时取等号.
由3840(48 = 80 (元)，
答: 购买8张游泳卡, 可以每位同学交纳费用最少, 最少费用为每人80元. 4分
21．附加题: (本题分值6分, 计入总分, 但本题与前20题得分之和不超过100分.)
解: （1）顶点C是以A、B为圆心|AB|为半径的两圆在第一象限的交点，
由圆A: ( x – a)2 + y2 = a2 + b2 ,
圆B: x2 + ( y – b )2 = a2 + b2 .
解得 x = , y = ，
∴C（， ）
△ABC含于正方形D内，即三顶点A，B，C含于区域D内时，
∴
这就是 ( a , b )的约束条件. 其图形为右图的六边形，
∵a > 0 , b > 0 , ∴图中坐标轴上的点除外. 4分
（2）∵△ABC是边长为的正三角形,
∴ S = ( a2 + b2 )
在(1)的条件下, 当S取最大值等价于六边形图形中的点( a, b )到原点的距离最大,
由六边形中P、Q、R相应的OP、OQ、OR的计算.
OP2 = OR2 = 12 + ( 2 – )2 = 8 – 4;
OQ2 = 2( – 1)2 = 8 – 4. 知:
当 ( a , b ) = ( 1, 2 –), 或(– 1, – 1), 或( 2 –, 1 )时, Smax =2– 3. 2分
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