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 2008年下学期邵东二中高二数学期末考试复习卷（4）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.
1．在△ 中，“ ”是“ ”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
2．已知 ，那么 的最小值是 （ ）
A． B． C． D．
3．已知等差数列 满足 ，则有 （ ）
A． B． C． D．
4. △ABC中，“ ”是“△ABC为钝角三角形”的 （ ）
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
5．数列 等于（ ）
A．2 B．－２ Ｃ．３ Ｄ．－３
6．已知函数 在区间（ ）是增函数，则常数 的取值范围是 （ ）
A． B． C． D．
7．已知点 在不等式 表示的平面区域上运动，则 的最大值是 （ ）
A．0 B．-1 C．1 D．2
8．若双曲线 的一条准线与抛物线 的准线重合，则双曲线的离心率为
（ ）A． B． C．4 D．
9．
如图是函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的大致图象，
则x＋x等于( )
A． B． C． D．
10．若函数 处的切线的倾斜角为 （ ）
A． B．0 C．钝角 D．锐角
二填空题（本大题共5小题.每小题5分，共25分）
11、已知命题p： ，命题q： ，则 的_______条件.
1
13. 关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 __ __.
14．在等比数列 中, 若 是方程 的两根，则 =______.
15．设 则 __ __.
三、解答题（有6大道题，共75分，要求写出推理和运算的过程）
16．（本小题满分12分）已知数列 满足 ， ．
（1）求证：数列 是等比数列；
（2）求数列 的通项公式和前 项和 ．
17.（本小题满分12分）某工厂拟建一座平面图(如下图)为矩形且面积为200平方米的三级污水处理池，由于地形限制，长、宽都不能超过16米，如果池外周壁建造单价为每米400元，中间两条隔墙建造单价为每米248元，池底建造单价为每平方米80元(池壁厚度忽略不计，且池无盖)
(1)写出总造价y(元)与污水处理池长x(米)的函数关系式，并指出其定义域
(2)求污水处理池的长和宽各为多少时，污水处理池的总造价最低？并求最低总造价
．
18．（本小题共12分）已知函数 （ ）.
（1）若函数 的图象在点 处的切线的倾斜角为 ，求 ；
（2）若存在 ，使 ，求 的取值范围.
19．（本小题满分12分）
已知数
的图象上。 （I）求数列 的通项公式；
（II）设
20．（本小题满分13分）已知椭圆 的方程为 ，双曲线 的左、右焦点分别是 的左、右顶点，而 的左、右顶点分别是 的左、右焦点。
（1）求双曲线 的方程；
（2）若直线 与双曲线C2恒有两个不同的交点A和B，且
（其中O为原点），求 的范围
21、（本小题满分14分） 已知函数f(x)=ax3+bx2－3x在x=±1处取得极值.
（Ⅰ）求函数f(x)的解析式；
（Ⅱ）求证：对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，都有|f(x1)－f(x2)|≤4；
（Ⅲ）若过点A（1，m）（m≠－2）可作曲线y=f(x)的三条切线，求实数m的取值范围.
（4）答案
| 1
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2
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3
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4
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5
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6
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7
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8
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9
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10
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| B
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A
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C
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B
|
B
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A
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D
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A
|
C
|
B
| 11、充分不必要 ；12、 75 13. 。 14. 15.
16．解：(1)依题意有 且 ， 所以 所以数列 是等比数列 (2)由(1)知 即 ， 所以 而
17. 解 (1)因污水处理水池的长为x米，则宽为 米，
总造价y=400(2x+2× )+248× ×2+80×200=800(x+ )+1600,由题设条件 解得12 5≤x≤16,即函数定义域为［12 5，16］
(2)先研究函数y=f(x)=800(x+ )+16000在［12 5,16］上的单调性，
对于任意的x1,x2∈［12 5,16］,不妨设x1＜x2,
则f(x2)－f(x1)=800［(x2－x1)+324( )］=800(x2－x1)(1－ ),
∵12 5≤x1≤x2≤16 ∴0＜x1x2＜162＜324,∴ >1,即1－ ＜0 又x2－x1>0,∴f(x2)－f(x1)＜0,即f(x2)＜f(x1),
故函数y=f(x)在［12 5,16］上是减函数 ∴当x=16时，y取得最小值，此时，ymin=800(16+ )+16000=45000(元)， =12 5(米）
综上，当污水处理池的长为16米，宽为12 5米时，总造价最低，最低为45000元
18、解：（1） 据题意，
（2）
① 若 上单调递减.
又
②若
从而 在 上单调递增，在[ ，+ 上单调递减.
据题意， 综上， 的取值范围是（3，+∞）.
另解：存在 ，使 ，即：存在 ，使 ，
设 ，则
由 知
即 在 上单调递减，在[ ，+ 上单调递增，所以
所以 的取值范围是（3，+∞）.
19．解：（I）由题意， ，
（II） …………7分
①
②…
②—①得，
20．解：（1）设双曲线 的方程为 则 ，再由 得 ，故 的方程为
（2）将 代入 得
由直线 与双曲线C2交于不同的两点得：
且 ①设 ，则
又 ，得
即 ，解得： ② 由①、②得：
故k的取值范围为
21（本小题满分14分）
解：（I）f′(x)=3ax2+2bx－3，依题意，f′(1)=f′(－1)=0，
即 … 解得a=1，b=0.∴f(x)=x3－3x.…
（II）∵f(x)=x3－3x,∴f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
当－1<x<1时，f′(x)<0，故f(x)在区间[－1，1]上为减函数，
fmax(x)=f(－1)=2，fmin(x)=f(1)=－2…
∵对于区间[－1，1]上任意两个自变量的值x1，x2，
都有|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x) －fmin(x)|
|f(x1)－f(x2)|≤|fmax(x)－fmin(x)|=2－(－2)=4…
（III）f′(x)=3x2－3=3(x+1)(x－1)，
∵曲线方程为y=x3－3x，∴点A（1，m）不在曲线上.
设切点为M（x0，y0），则点M的坐标满足
因 ，故切线的斜率为 ，
整理得 .∵过点A（1，m）可作曲线的三条切线，
∴关于x0方程 =0有三个实根.
设g(x0)= ，则g′(x0)=6 ，
由g′(x0)=0，得x0=0或x0=1.
∴g(x0)在（－∞，0），（1，+∞）上单调递增，在（0，1）上单调递减.
∴函数g(x0)= 的极值点为x0=0，x0=1
∴关于x0方程 =0有三个实根的充要条件是
，解得－3<m<－2.故所求的实数a的取值范围是－3<m<－2.
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