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湖北省黄冈中学2010年春季高二数学期末考试试题（理）
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本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，满分50分）
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 是可导函数 在点 处取极值的 （ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
2． 一个学生通过某种英语听力测试的概率是 ，他连续测试2次，那么其中恰有1次获得通过的概率是 （ ）
A． B． C． D．
3．若函数 在点x=1处连续，则实数a等于 （ ）
A .4 B . C. D.
4．下列命题中不正确的是（其中 表示直线， 表示平面） ( )
A. B.
C. D.
5．某文艺团体下基层进行宣传演出，原准备的节目表中有6个节目，如果保持这些节目的
相对顺序不变，在它们之间再插入2个小品节目，并且这2个小品节目在节目表中既不
排头，也不排尾，则不同的插入方法有 ( )
A.20种 B.30种 C.42种 D.56种
6．已知 ，
则 的值 （ ）
A.7 B.8 C.9 D.10
7．已知 上有最大值 ，那么此函数在 上的最小值为 （ ）
A. B. C. D.
8．已知随机变量 ，若 ，则 分别是 （ ）
A.6和 B.2和 C.2和 D.6和
9．已知 ，且函数 在 上具有单调性，则 的取值范围是 （ ）
A. B.
C. D.
10．若函数f(x)= 的图象如图所示，则一定有 （ ）
A. a<0 b>0 c>0 d<0
B .a<0 b<0 c>0 d<0
C .a<0 b>0 c<0 d<0
D .a<0 b<0 c<0 d<0
第Ⅱ卷（非选择题，满分100分）
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分．
11．某企业三月中旬生产A、B、C三种产品共3000件，根据分层抽样的结果，企业统计员制作了如下的统计表格：
产品类别 A B C
产品数量(件) 1300
样本容量 130
由于不小心，表格中A、C产品的有关数据已被污染看不清楚，统计员只记得A产品的样本容量比C产品的样本容量多10，请你根据以上信息补全表格中的数据.
12．曲线 在点 处的切线方程为¬¬¬¬¬¬¬¬________________。
13．某市乘公车从A站到B站所需时间（单位：分）服从正态分布N（20，202），甲上午
8：00从A站出发赶往B站见一位朋友乙，若甲只能在B站上午9：00前见到乙，则甲见不到乙的概率等于____________(参考数据：， ， )
14．走廊上有一排照明灯共 盏，为了节约用电，要关掉其中的三盏。如果关掉的三盏灯不是两端的灯，且任意两盏都不相邻，就不会影响照明，那么随机关掉其中的三盏灯，影响照明的概率是 ____________.
15．一直角梯形 ， ， 为 中点，沿 把梯形折成四个面都是直角三角形的三棱锥，使 、 重合，则三棱锥的体积为 。
答 题 卷（理）
分数___________.
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案
题号 11 12 13 14 15
答案
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
16．（本小题满分12分）有一粒质地均匀的正方体骰子，6个表面点数分别为1、2、3、4、5、6，甲、乙两人各掷一次，所得点数分别为ξ1，ξ2，记η=ξ1－ξ2．
（1）求η>0的概率；
（2）求η>2的概率．
17．（本小题满分12分）用数学归纳法证明 能被 整除．
18．（本小题满分12分）如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F为CE上的点，且BF⊥平面ACE.
(1)求证AE⊥平面BCE；
(2)求二面角B—AC—E的大小；
(3)求点D到平面ACE的距离.
19．（本小题满分1２分）如图 两点之间有 条网线并联，他们能通过的最大信息量分别为 现从中任取三条网线且使每条网线通过最大信息量；
(1)设选取的三条网线由 到 可通过的信息总量为 ， 当 时，才能保证信息畅通，求线路信息畅通的概率；
(2)求选取的三条网线可通过信息总量的数学期望.
20．（本小题满分13分）已知数列 有 ， （常数 ），对任意的正整数 ， ，并有 满足 .
（1）求 的值；
（2）试确定数列 是否是等差数列，若是，求出其通项公式，若不是，说明理由；
（3）对于数列 ，假如存在一个常数 使得对任意的正整数 都有 ，且 ，则称 为数列 的“上渐近值”，令 ，求数列 的“上渐近值”.
21． (本小题满分14分)定义函数fn(x)＝(1＋x)n－1，x>－2，n∈N＋，其导函数记为 ．
（1）求证：fn(x)≥nx；
（2）设 ，求证：0<x0<1；
（3）是否存在区间[a，b] (－∞，0]，使函数h(x)＝f3(x)－f2(x)在区间[a，b]上的值域为
[ka，kb]?若存在，求出最小的k值及相应的区间[a，b]．
湖北省黄冈中学2007年春季高二数学期末考试答案（理）
参考答案BADBB BABAA
11.900,90；800，80 12. 13. 0.0228; 14. 15.
1．B 解析：可导函数在导数等于零的点不一定是极值点，反过来是极值的点一定导数等于零。
2．A 解析： .
3．D 解析：由 知 ，∴ 或4.
4．B
5．B 解析：
6．B 解析：令x=0，则a0=n，而an=1；令x=1，
则
故 ，∴n=8.
7．A 解析： ，由 得x=0或2.
∵ ，
显然， ∴m=3，最小值为
8．B 解析： ，
9．A 解析：可得 ∴
∵ 的单调增区间 ，单调减区间为（0，b），
由 或 知b≥e或b≤1.
10．A 解析：由f(x)可求得 并且由f(x)的图象可得 的图象。
∴ ∴
11．解析： ，A、B、C三种产品的样本总容量为： ，
故A、C产品的样本总容量为300－130=170.
12．解析： ，故在点（1，－2）处的切线方程为 即
13．解析：记 则所求概率
14．解析：
15．解析： 其中
16、解：（1）显然p(η>0)=p(η<0)．
而
有
（2）若ξ2=1，则ξ¬1可取4，5，6．
若ξ2=2，则ξ¬1的可能值为5，6．
若ξ2=3，则ξ¬1的可能值为6．
故
17、证明：（1）当n＝1时，
（2）假设当n＝k时，
这就是说，当n＝k＋1时，
根据（1）和（2）可知，命题对任何n∈N*都成立．
18、解法一：(1) 平面ACE.
∵二面角D—AB—E为直二面角，且 ，
平面ABE.
(2)连结BD交AC于C，连结FG，
∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG= ，
平面ACE， 由三垂线定理的逆定理得FG⊥AC.
是二面角B—AC—E的平面角.
由（Ⅰ）AE⊥平面BCE， 又 ，
∴在等腰直角三角形AEB中，BE= . 又 直角
，
∴二面角B—AC—E等于
(3)过点E作 交AB于点O. OE=1.
∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.
设D到平面ACE的距离为h，
平面BCE，
∴点D到平面ACE的距离为
解法二：（Ⅰ）同解法一.
（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系O—xyz，如图.
面BCE，BE 面BCE，
， 在 的中点，
设平面AEC的一个法向量为 ，
则 解得
令 得 是平面AEC的一个法向量. 又平面BAC的一个法向量为 ，
∴二面角B—AC—E的大小为
（III）∵AD//z轴，AD=2，∴ ，
∴点D到平面ACE的距离
19、解：①
即线路信息畅通的概率为 ……………………6分
②
信息总量x分布列
x 4 5 6 7 8 9
P
线路通过信息量的数学期望为6.5．．．．．．．．．．．．．．13分
20、解：（1） ，即
（2）
∴ 是一个以 为首项， 为公差的等差数列。
（3） ，
∵ ，∴数列 的“上渐近值”为 。
21．⑴证明：fn(x)－nx＝(1＋x)n－1－nx，
令g(x)＝(1＋x)n－1－nx，则g′(x)＝n[(1＋x)n－1－1]．
当x∈(－2，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，
∴g(x)在(－2，0)上递减，在(0，＋∞)上递增，
故g(x)在x＝0处取得极(最) 小值g(0)＝0，
∴g(x)≥0，即fn(x)≥nx(当且仅当x＝0时取等号)．…………………………………3分
⑵解：由 ，得n(1＋x0)n－1(n+1)(1＋x0)n＝2n－12n＋1－1，
∴1＋x0＝n(2n＋1－1)(n+1)(2n－1)，x0＝(n－1)2n＋1(n+1)(2n－1)，易知x0>0，
而x0－1＝n＋2－2n＋1(n+1)(2n－1)．
由⑴知当x>0时，(1＋x)n>1＋nx，故2n＋1＝(1＋1)n+1>1＋n＋1＝n＋2，
∴x0<1，∴0< x0<1．…………………………………………………………………7分
⑶解：h(x)＝f3(x)－f2(x)＝x(1＋x)2，
h′(x)＝(1＋x)2＋x•2(1＋x)＝(1＋x)(1＋3x)
令h′(x)＝0，得x＝－1，x＝－13，
∴当x∈(－2，－1)时，h′(x)>0；
当x∈(－1，－13)时，h′(x)<0；
当x∈(－13，＋∞)时，h′(x)>0．
故h(x)的图象如右图所示．……………………………………………………………9分
下面考察直线y＝kx(k>0)与曲线y＝h(x)的相交问题．
① 当交点均在[－13，0]内时，由y＝kx，y＝x(1＋x)2得x＝0，y＝0 或x＝k－1，y＝k(k－1)。
当－13≤k－1<0，即49≤k<1时，存在满足条件的区间[a，b]＝[k－1，0]，
∴k的最小值为49，此时[a，b]＝[－13，0]．……………………………………………11分
② 当有交点分别在(－2，－1)和(－1，－13)内时，
如图，图象的极小值点为A(－13，－427)，过A作直线y＝－427与y＝h(x)的图象交于另一点B，当直线y＝kx与曲线段BC(点C的坐标为(－2，－2))有交点时，存在满足条件的区间[a，b]．
则b＝0，－2<a<－1，且f(a)≤f(－13)，
令f(x)＝f(－13)，得x(1＋x)2＝－427 (x＋13)2(x＋43)＝0 x＝－43，
∴当－2<a≤－43时，存在满足条件的区间[a，b]．
这时[a，b]＝[－43，0]，…………………………………………………………………13分
综合①②，得k的最小值为19，相应区间[a，b]＝[－43，0]．………………………14分
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来源：中国哲士网
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