学年第一学期高二期末统一考试数学(文科)试题

本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共3页．满分为150分。考试时间120分钟．

注意事项：

1．答卷前，考生务必用黑色字迹钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号填写在答题卡上，用2B铅笔把考号及试卷类型填涂在答题卡上．

2．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，不能答在试题卷上．

3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液．不按以上要求作答的答案无效．

第Ⅰ卷　选择题　（共50分）

一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一选项是符合题目要求的)

1． 等差数列  中，  = 2 ，则该数列的前５项的和为　　　　　 （　　　） A．32 B．20 C．16 D．10

2． 抛物线y = -2x2的准线方程是 （ ） A．x=－  　　　　Ｂ．x=  　　　　．C．y=  　　　　　　D．y=－ 

3. 下列命题中，其“非”是真命题的是　　　　　　　　　　　 （　　　）

A．∀x∈R ，x²-  x 2 ≥ 0 ； B．∃x∈R ，3x-5 = 0 ；

C．一切分数都是有理数 ； D．对于任意的实数a,b,方程ax=b都有唯一解 ．

4. 已知F1、F2是双曲线  （a＞0，b＞0）的两焦点，以线段F1F2为边作正三角形MF1F2，若边MF1的中点在双曲线上，则双曲线的离心率是 （ ）

A．4  　　　　 Ｂ．  1　　　 Ｃ．  —1　　　 Ｄ． 

5．方程  表示的曲线是 （ ）

A．圆 B．椭圆 C．双曲线 D．抛物线

6. 已知f(x) = x2 2x f1 (1) , 则f 1（0）= ( )

A．0 B．－4 C．－2 D．2

7．设x，y是正实数，且满足x 4y = 40，则lgx lgy的最大值是 ( )

A．2 B．4 C．10 D．40

8. 已知数列{an},那么“对任意的n∈N*,点 Pn(n,an)都在直线y=2x 1上”是“{an}为等差数列” 的 （ 　　　）

A.必要不充分条件  B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件

9．已知x, y满足约束条件  ， 则  的取值范围为是 （ 　　 ）

A.〔 ­—1，   〕 B.〔－  ,  〕 C. 〔 －  , ∞ ） D. 〔－  ,1）

10．设F1，F2是x2 3y2 = 3椭圆的焦点，点P是椭圆上的点，若∠F1PF2=900，则这样的点P有（ 　　　）

A．0个 B．2个 C．3个 D．4个

第Ⅱ卷　非选择题 （共100分）

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）

11．函数y =  的定义域为 ________________

12．过点P(－1,2 ) 且与曲线y=3x2—4x 2在点M(1,1)处的切线平行的直线方程是­­­

13已知m,n,m n成等差数列,m,n,mn 成等比数列,则椭圆  的离心率为_________­­­­­______

14．在△ABC中∠A=600,b=1,S△ABC=  ,则  =

三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15．（本小题满分12分）求经过点P（―3，2  ）和Q（―6  ，―7）且焦点在坐标轴上的双曲线的标准方程。

16. （本小题满分12分）已知p：x < －２，或x > 10；q：  ≤ｘ≤  ；若¬p是q的充分而不必要条件，求实数  的取值范围。

17．（本小题满分14分）某银行准备新设一种定期存款业务，经测算：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k（k＞0），贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去。

（1）若存款利率为x，x∈（0，0.048），试写出存款量g（x）及银行应支付给储户的利息h（x）与存款利率x之间的关系式；

（2）存款利率为多少时，银行可获得最大收益？

18.（本小题满分14分）函数f（x）= 4x3 ax2 bx 5的图在x=1处的切线方程为y=－12x；

（1）求函数f（x）的解析式；

（2）求函数f（x）在 [—3，1]上的最值。

19.（本小题满分14分）设椭圆  (a＞b＞0)的左焦点为F1(－2，0)，左准线 L1 与x轴交于点N（－3，0），过点N且倾斜角为300的直线L交椭圆于A、B两点。

（1）求直线L和椭圆的方程；

（2）求证：点F1(－2，0)在以线段AB为直径的圆上。

20．（本小题满分14分）已知数列  的前  项和为  ，且  是  与2的等差中项，数列  中，  ，点  在直线  上．

⑴求  和  的值；

⑵求数列  的通项  和  ；

⑶ 设  ，求数列  的前n项和  ．

2006学年第一学期高二期末统一考试数学(文科)答案

评分统计表：

题号

一

二

15

16

17

18

19

20

得

分

一、选择题(本大题共10小题，每题5分，共50分，每小题给出的4个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题号

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

答案

D

C

D

B

D

B

A

B

D

D

二、填空题（本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡的横线上）

11． 〔－2，1〕 12． y＝ 2x ＋4  13．  .

14．  .

三、解答题：（本大题共 6 小题，共 80分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。）

15．（本小题满分12分）

解：依题意，设双曲线方程为Ax2－By2=1（AB＞0）---------3分

∵双曲线过点P（―3，2  ）和Q（―6  ，―7） 

∴  ------------7分

解得：A=－  　　　B=－  ----------10分

故双曲线方程为  --------12分

(若设为标准方程, 则需讨论焦点所在的轴)

16.（本小题满分12分）。

解：∵ p：x < －２，或x > 10；q：  ≤ｘ≤ 

∴¬p： －２≤ x≤ 10 --------------------------3分

∵¬p  q

∴  ---------------8分

又∵q  ¬p ∴m  3

∴m的取值范围为（3，＋∞） ---------------------12分

17．（本小题满分14分）

解：（1）由题意知，存款量g（x）＝ kx2 ­ ---------------------------------------2分

银行应支付的利息h（x）＝ xg（x）＝ kx3 ------------------4分

（2）设银行可获得的利益为y，则y ＝ 0.048kx2－kx3 -------------------6分

y 1 ＝0.096kx－3kx2

令y 1＝ 0 即0.096kx－3kx2＝0 解得：x＝0.032 或 x＝0（舍去）---------9分

当x∈（0，0.032）时，y 1＞0

当x∈（0.032，0.048）时，y 1＜0

　　　　∴当x＝0.032时，y取得最大值 -----------------------------------------13分

故当存款利率为3.2%时，银行可获得最大利益。-------------------------14分

18. （本小题满分14分）

解：（1）f 1（x）＝ 12x2＋2ax＋b -----------------------------------2 分

∵y ＝f（x）在x＝1处的切线方程为　y＝－12x

∴  即 

解得：a＝－3 b＝－18 -------------------------------6分

∴f（x）＝4x3―3x2―18x＋5　 ------------------------------------------------7分

（2）∵f 1（x）＝ 12x2－6x－18＝6（x＋1）（2x－3）

令f 1（x）＝0 解得：x＝－1或x＝  --------------------------------------9分

∴ 当x＜－1或x＞  时，f 1（x）＞0

当－1＜ x＜  时， f 1（x）＜0 ----------------------------------------11分

∵ x∈[－3，1]

∴ 在[－3，1]上无极小值，有极大值f（－1）＝16

又∵f（－3）＝－76 f（1）＝12 ----------------------------------------13分

∴f（x）在[－3，1]上的最小值为－76，最大值为16。-------------------------------14分

19.（本小题满分14分）

解：（1）由题意知，c＝2及  得 a＝6 -----------------------------2分

∴  

∴椭圆方程为  -----------------------4分

直线L的方程为：y－0＝tan300（x＋3）即y＝  （x＋3）------------6分

（2）由方程组  得  -----------------8分

设A（x1，y1），B（x2，y2），则 x1＋x2＝－3 x1x2＝ 

∵ 

  ----------------12分

∴ 

∴点F（－2，0）在以线段AB为直径的圆上 -----------------14分

（注：此问有多种解法） 

20．（本小题满分14分）

解：（1）∵  是  与2的等差中项

∴  --------------------------------------------1分

∴ 

 -------------------------3分

（2） 

 .

∵a1＝2 ∴  -------------------------------------------------6分

∴  -----------8分

（3） 

 ------------10分

因此：  ------------12分

即： 

∴  ----------------------------------14分