北京市朝阳区普通高中高二年级学业水平测试数学试卷（文科）2009.1

（卷面总分150分 考试时间100分钟）

模块试题部分

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.

1．下列四个命题中的真命题为（ ）．

A．

B．

C．

D．

2. 双曲线  的渐近线方程是（ ）.

A．

B．

C．

D．

3. 已知命题   ，  ，那么下列结论正确的是（ ）.

A．命题

B．命题

C．命题

D．命题

4. 抛物线  的焦点坐标是（ ）.

A．

B．

C．

D．

5．椭圆  的离心率等于（ ）．

A．

B．

C．

D．

6. 若方程  表示焦点在  轴上的双曲线，则  满足的条件是（ ）.

A．  且

B．  且

C．  且

1
 
2
 
x
 
O
 
y
 
D．  且

7.  是函数  的导函数，

若  的图象如图所示，则函数

 的图象可能是（ ）.

A．

B．

C．

D．

8. 命题“  ”的否命题为 （ ）.

A．

B．

C．

D．

9．如果质点按规律  （距离单位：  ，时间单位：  ）运动，则质点在  时的瞬时速度为（ ）.

A．

B．

C．

D．

10. 已知双曲线  的一个焦点坐标是  ，则  等于（ ）.

A．

B．

C．

D．

11．设  ，则  等于（ ）.

A．

B．

C．

D．

12. 设  ，则命题  是命题  的（ ）.

A． 充分但不必要条件

B． 必要但不充分条件

C． 充要条件

D． 既不充分又不必要条件

13. 已知点P是抛物线  上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ 　　 ）．

A．

B．

C．

D．

14. 设直线  与椭圆  相交于  两点，分别过  向  轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则  等于（ ）.

A．

B．

C．

D．

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.

15．命题“若  ，则  ”的逆命题是____________________．

16．已知  为椭圆  的两个焦点，过  的直线交椭圆于A、B两点若  ，则  =______________．

17．若  ，则  ___________．

18．设曲线  在点( 1，  )处的切线与直线  平行，则  的值是 .

三、解答题：本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

19．（本小题满分8分）

用边长  的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转  再焊接而成．问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？

20．（本小题满分10分）

已知三点  ，  ，  ．

（1）求以  ，  为焦点，且过点  的椭圆方程；

（2）设点  ，  ，  关于直线  的对称点分别为  ，  ，  ，求以  ，  为焦点，且过点  的双曲线方程.

21．（本小题满分10分）

已知函数  在  和  处取得极值．

（1）求  和  的值；

（2）求  的单调区间

非模块试题部分

一、选择题（每题5分）

22．若点P到直线x= -2的距离比它到点（3，0）的距离少1，则点P的轨迹

方程为 ；

23．曲线  在点  处的切线的倾斜角为 ；

24．设椭圆  （  ，  ）的右焦点与抛物线  的焦点相同，离心率为  ，则此椭圆的方程为 .

二、解答题

25．（本题满分10分）

已知p：x2-4x 3<0，q：x2-(m 1)x m<0，(m>1).

（1）求不等式x2-4x 3<0的解集；

（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.

26．（本小题满分12分）

已知函数  在  处取得极值．

（1）求  的值；

（2）求函数  的单调区间；

（3）当直线  与函数  的图像有3个交点时，求  的取值范围．

27．（本小题满分13分）

在直角坐标系  中，点P到两点  ，  的距离之和等于4，设点P的轨迹为  ，直线  与C交于A，B两点．

（1）写出C的方程；

（2）若    ，求k的值．

参考答案及评分标准：

第一部分 模块试题

一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.

1. C 2. B 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D

8. B 9. A 10. D 11. B 12. A 13. C 14. A

二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.

15. 若  ，则  16. 8 17.  18. 1

三、解答题：本大题共3小题，共28分.

19.（本小题满分8分）

解：设水箱底长为   ，则高为  ．

由  得  ．

设容器的容积为  ，则有  ． ………… 2分

求导数，有  ． ……………………………………………… 4分

令  ，解得  （  舍去）．

当  时，  ；当  时，  ， ………………… 6分

因此，  是函数  的极大值点，也是最大值点．

所以，当水箱底边长取  时，才能使水箱的容积最大． ………………… 8分

20. （本小题满分10分）

解：（1）  ，  ，

由椭圆定义，得  ，  ， ………………………… 3分

所以，  ．

所以，椭圆的方程为  ． …………………………………………… 5分

（2）点  ，  ，  关于直线  的对称点分别为  ，  ，  ，

由双曲线定义，得  ，  ， …………………… 8分

所以，  ．

所以，双曲线的方程为  ． ……………………………………… 10分

21.（本小题满分10分）

解：（1）因为  ， ……………………………………… 2分

由已知得：  ．

 ，解得  ． ………………… 5分

（2）由（1）知

 =  =

=  . ………………………………………7分

当  时，  ；

当  时，  . ……………………………………9分

因此  的单调增区间是  ，

 的单调减区间是  ． ……………………………………10分

第二部分 非模块试题

一、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）

22. y2=12x 23. 45° 24.  .

二、解答题（共3小题，满分35分）

25. （本小题满分10分）

解：（1）因为  ，所以  .

所求解集为  . ……………………………………………………… 3分

（2）当m >1时，

x2-(m 1)x m<0的解是1<x<m， ………………………………………………… 5分

因为p是q的充分不必要条件，

所以x2-4x 3<0的解集是x2-(m 1)x m<0，(m>1) 解集的真子集.

所以  . ……………………………………………………………………… 7分

当m <1时，

x2-(m 1)x m<0的解是m <x<1，

因为p是q的充分不必要条件，

所以x2-4x 3<0的解集是x2-(m 1)x m<0，(m<1) 解集的真子集.

因为当m <1时  ∩  = Ø，

所以m <1时p是q的充分不必要条件不成立.

综上，m的取值范围是(3， ∞). …………………………………………………10分

26. （本小题满分12分）

解：（1）因为  ，

所以  . ………………………………………………………2分

因为函数  在  处取得极值，

所以  .

解得  . …………………………………………………………3分

（2）由（Ⅰ）知  ，  ．

　　又  ，

令  ，得  ，  ． ……………………………………………5分

 和  随  的变化情况如下：

 （0，2）
 2
 （2，3）
 
 
 

 增
 极大值
 减
 极小值
 增
 

 的增区间是（0，2），  ；减区间是（2，3）． ……………………7分

（3）由（2）知，  在（0，2）上单调递增，在  上单调递增，在（2，3）上单调递减．

　　所以  ，  ．………9分

　　因为

　　可据此画出函数  的草图（图略），由图可知，

当直线  与函数  的图像有3个交点时，  的取值范围为

 ． ……………………………………………………12分

27．（本小题满分13分）

解：（1）设P( x，y )，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以  ，  为焦点，

长半轴为2的椭圆．它的短半轴  ， ……………………… 3分

故曲线C的方程为  ． ………………………………………………… 5分

（2）设  ，其坐标满足

消去y并整理得  .

故  ．………………………………………… 8分

若  ，即  ．而  ，

于是  ，

化简，得  ，所以  ．

因为△= 4k2 12(k2 4)=16k2 4>0对于任意的k∈R都成立.

故所求  . ………………………………………………………………… 13分

注意：

1. 如有不同解法，请酌情给分.

2. 请按照评分标准评判，到位给分.