北京市朝阳区普通高中高二年级学业水平测试数学试卷（文科）2009.1
（卷面总分150分 考试时间100分钟）
模块试题部分
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的.
1．下列四个命题中的真命题为（ ）．
A．
B．
C．
D．
2. 双曲线 的渐近线方程是（ ）.
A．
B．
C．
D．
3. 已知命题 ， ，那么下列结论正确的是（ ）.
A．命题
B．命题
C．命题
D．命题
4. 抛物线 的焦点坐标是（ ）.
A．
B．
C．
D．
5．椭圆 的离心率等于（ ）．
A．
B．
C．
D．
6. 若方程 表示焦点在 轴上的双曲线，则 满足的条件是（ ）.
A． 且
B． 且
C． 且
1
2
x
O
y
D． 且
7. 是函数 的导函数，
若 的图象如图所示，则函数
的图象可能是（ ）.
A．
B．
C．
D．
8. 命题“ ”的否命题为 （ ）.
A．
B．
C．
D．
9．如果质点按规律 （距离单位： ，时间单位： ）运动，则质点在 时的瞬时速度为（ ）.
A．
B．
C．
D．
10. 已知双曲线 的一个焦点坐标是 ，则 等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
11．设 ，则 等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
12. 设 ，则命题 是命题 的（ ）.
A． 充分但不必要条件
B． 必要但不充分条件
C． 充要条件
D． 既不充分又不必要条件
13. 已知点P是抛物线 上的一个动点，则点P到点(0，2)的距离与P到该抛物线准线的距离之和的最小值为（ ）．
A．
B．
C．
D．
14. 设直线 与椭圆 相交于 两点，分别过 向 轴作垂线，若垂足恰为椭圆的两个焦点，则 等于（ ）.
A．
B．
C．
D．
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题中横线上.
15．命题“若 ，则 ”的逆命题是____________________．
16．已知 为椭圆 的两个焦点，过 的直线交椭圆于A、B两点若 ，则 =______________．
17．若 ，则 ___________．
18．设曲线 在点( 1， )处的切线与直线 平行，则 的值是 .
三、解答题：本大题共3小题，共28分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.
19．（本小题满分8分）
用边长 的正方形的铁皮做一个无盖水箱，先在四角分别截去相同的小正方形，然后把四边翻转 再焊接而成．问水箱底边应取多少，才能使水箱的容积最大？
20．（本小题满分10分）
已知三点 ， ， ．
（1）求以 ， 为焦点，且过点 的椭圆方程；
（2）设点 ， ， 关于直线 的对称点分别为 ， ， ，求以 ， 为焦点，且过点 的双曲线方程.
21．（本小题满分10分）
已知函数 在 和 处取得极值．
（1）求 和 的值；
（2）求 的单调区间
非模块试题部分
一、选择题（每题5分）
22．若点P到直线x= -2的距离比它到点（3，0）的距离少1，则点P的轨迹
方程为 ；
23．曲线 在点 处的切线的倾斜角为 ；
24．设椭圆 （ ， ）的右焦点与抛物线 的焦点相同，离心率为 ，则此椭圆的方程为 .
二、解答题
25．（本题满分10分）
已知p：x2-4x 3<0，q：x2-(m 1)x m<0，(m>1).
（1）求不等式x2-4x 3<0的解集；
（2）若p是q的充分不必要条件，求m的取值范围.
26．（本小题满分12分）
已知函数 在 处取得极值．
（1）求 的值；
（2）求函数 的单调区间；
（3）当直线 与函数 的图像有3个交点时，求 的取值范围．
27．（本小题满分13分）
在直角坐标系 中，点P到两点 ， 的距离之和等于4，设点P的轨迹为 ，直线 与C交于A，B两点．
（1）写出C的方程；
（2）若 ，求k的值．
参考答案及评分标准：
第一部分 模块试题
一、选择题：本大题共14小题，每小题4分，共56分.
1. C 2. B 3. B 4. A 5. D 6. C 7. D
8. B 9. A 10. D 11. B 12. A 13. C 14. A
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分.
15. 若 ，则 16. 8 17. 18. 1
三、解答题：本大题共3小题，共28分.
19.（本小题满分8分）
解：设水箱底长为 ，则高为 ．
由 得 ．
设容器的容积为 ，则有 ． ………… 2分
求导数，有 ． ……………………………………………… 4分
令 ，解得 （ 舍去）．
当 时， ；当 时， ， ………………… 6分
因此， 是函数 的极大值点，也是最大值点．
所以，当水箱底边长取 时，才能使水箱的容积最大． ………………… 8分
20. （本小题满分10分）
解：（1） ， ，
由椭圆定义，得 ， ， ………………………… 3分
所以， ．
所以，椭圆的方程为 ． …………………………………………… 5分
（2）点 ， ， 关于直线 的对称点分别为 ， ， ，
由双曲线定义，得 ， ， …………………… 8分
所以， ．
所以，双曲线的方程为 ． ……………………………………… 10分
21.（本小题满分10分）
解：（1）因为 ， ……………………………………… 2分
由已知得： ．
，解得 ． ………………… 5分
（2）由（1）知
= =
= . ………………………………………7分
当 时， ；
当 时， . ……………………………………9分
因此 的单调增区间是 ，
的单调减区间是 ． ……………………………………10分
第二部分 非模块试题
一、填空题（共3小题，每小题5分，满分15分）
22. y2=12x 23. 45° 24. .
二、解答题（共3小题，满分35分）
25. （本小题满分10分）
解：（1）因为 ，所以 .
所求解集为 . ……………………………………………………… 3分
（2）当m >1时，
x2-(m 1)x m<0的解是1<x<m， ………………………………………………… 5分
因为p是q的充分不必要条件，
所以x2-4x 3<0的解集是x2-(m 1)x m<0，(m>1) 解集的真子集.
所以 . ……………………………………………………………………… 7分
当m <1时，
x2-(m 1)x m<0的解是m <x<1，
因为p是q的充分不必要条件，
所以x2-4x 3<0的解集是x2-(m 1)x m<0，(m<1) 解集的真子集.
因为当m <1时 ∩ = Ø，
所以m <1时p是q的充分不必要条件不成立.
综上，m的取值范围是(3， ∞). …………………………………………………10分
26. （本小题满分12分）
解：（1）因为 ，
所以 . ………………………………………………………2分
因为函数 在 处取得极值，
所以 .
解得 . …………………………………………………………3分
（2）由（Ⅰ）知 ， ．
又 ，
令 ，得 ， ． ……………………………………………5分
和 随 的变化情况如下：
（0，2）
2
（2，3）
增
极大值
减
极小值
增
的增区间是（0，2）， ；减区间是（2，3）． ……………………7分
（3）由（2）知， 在（0，2）上单调递增，在 上单调递增，在（2，3）上单调递减．
所以 ， ．………9分
因为
当直线 与函数 的图像有3个交点时， 的取值范围为
． ……………………………………………………12分
27．（本小题满分13分）
解：（1）设P( x，y )，由椭圆定义可知，点P的轨迹C是以 ， 为焦点，
长半轴为2的椭圆．它的短半轴 ， ……………………… 3分
故曲线C的方程为 ． ………………………………………………… 5分
（2）设 ，其坐标满足
消去y并整理得 .
故 ．………………………………………… 8分
若 ，即 ．而 ，
于是 ，
化简，得 ，所以 ．
因为△= 4k2 12(k2 4)=16k2 4>0对于任意的k∈R都成立.
故所求 . ………………………………………………………………… 13分
注意：
1. 如有不同解法，请酌情给分.
2. 请按照评分标准评判，到位给分.
