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湖北省黄冈中学2008年春季高二数学期末考试试题（理）
命题：熊斌 校对：董明秀
一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1． 是虚数单位，
A． B．1 C． D．
2．设 ～B（n，P），若有 ， ，则n，P之值分别为
A．15和 B．16和 C．20和 D．18和
3．为了了解某地区高三学生的身体发育情况，抽查了该地区100名年龄为17～18岁的男生体重（kg），得到频率分布直方图如下图：
根据上图可得这100名学生体重在[56.5，64.5）的学生人数是
A．20 B．30 C．40 D．50
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一年级
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二年级
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三年级
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女生
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373
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男生
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377
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370
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| 4．某校共有学生2000名，各年级男、女生人数如表，已知在全校学生中随机抽取1名，抽到二年级女生的概率是0.19．现用分层抽样的方法在全校抽取64名学生，则应在三年级抽取的学生人数为
A．24 B．18 C．16 D．12
5． 的值是
A．0 B．1 C． D．
6．设数列{ }的通项公式为 （ ），其前n项和为Tn，则
A．1 B． C．0 D．
7．设函数f（x）=xsinx在x=x0处取得极值，则 的值为
A．1 B．3 C．0 D．2
8．已知函数f（x）＝x3－ax2＋1在区间（0，2）内单调递减，则实数a的取值范围是
A．a≥3 B．a＝3 C．a≤3 D．0<a<3
9．如果函数y=f（x）的图象如下图，那么导函数y= 的图象可能是
10．已知数列{an}中， ， ，则 的值是
A． B． C． D．
二、填空题：本大共5小题,每小题5分,共25分,把答案填在答题卡的相应位置．
11．若 的二项展开式中x3的系数为 ，则a=__________（用数字作答）.
12．设随机变量 服从正态分布N（2,9）,若P（ ＞c＋1）=P（ ＜c－ ,则c =__________.
13．已知函数 ，若 的单调减区间是 ，则在曲线 的所有切线中，斜率最小的切线方程是__________
14．若函数f（x）=x3－3a2x＋1的图象与直线y=3只有一个公共点，则实数a的取值范围为__________.
15．如图，抛物线 与 轴的正半轴交于点 ，将线段 的 等分点从左至右依次记为 ，过这些分点分别作 轴的垂线，与抛物线的交点依次为 ，从而得到 个直角三角形 ．当 时，这些三角形的面积之和的极限为 ．（注： ）
三、解答题：本大题共6小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
16．（本小题满分12分）
若 ，求 的值.
17．（本小题满分12分） 某射击测试规则为：每人最多射击3次，击中目标即终止射击，第 次击中目标得 分，3次均未击中目标得0分．已知某射手每次击中目标的概率为0.8，且各次射击结果互不影响．
（1）求该射手恰好射击两次的概率；
（2）该射手的得分记为 ，求随机变量 的分布列及数学期望．
18．（本小题满分12分）
已知函数f（x）=x－sinx，数列{an}满足：0<a1<1，an＋1=f（an），n=1，2，3，….
（1）判断函数f（x）在（0，1）上的单调性;
（2）求证：0<an<1
19．（本题满分12分）
如右图，某地有三家工厂，分别位于矩形ABCD 的顶点A、B 及CD的中点P 处，已知AB=20km,CB =10km ，为了处理三家工厂的污水，现要在矩形ABCD 的区域上（含边界），且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂，并铺设排污管道AO、BO、OP ，设排污管道的总长度为 km．
（1）按下列要求写出函数关系式：①设∠BAO= （rad），将 表示成 的函数；②设OP （km），将 表示成 的函数．
（2）请选用（1）中的一个函数关系式，确定污水处理厂的位置，使铺设的排污管道总长度最短．
20．（本小题满分13分）
由坐标原点O向函数y=x3 -3x2的图象W引切线l1,切点P1（x1,y1） （P1,O不重合），再由点P1引W的切线l2，切点为P2（x2,y2） （P1, P2不重合），…，如此继续下去得到点列{Pn（xn,yn）}.
（1）求x1的值；
（2）求xn与xn+1满足的关系式；
（3）求 的值。
21．（本小题满分14分）7、9、10班同学做乙题，其他班同学任选一题，若两题都做，则以较少得分计入总分．
（甲）已知f（x）=ax－ln（－x），x∈[－e，0）， ，其中e=2.718 28…是自然对数的底数，a∈R.
（1）若a=－1，求f（x）的极值；
（2）求证：在（1）的条件下， ；
（3）是否存在实数a，使f（x）的最小值是3，如果存在，求出a的值；如果不存在，说明理由.
（乙）定义在（0，＋∞）上的函数 ，其中e=2.718 28…是自然对数的底数，a∈R.
（1）若函数f（x）在点x=1处连续，求a的值；
（2）若函数f（x）为（0，1）上的单调函数，求实数a的取值范围；并判断此时函数f（x）在（0，＋∞）上是否为单调函数；
（3）当x∈（0，1）时，记g（x）=lnf（x）＋x2－ax. 试证明：对 ，当n≥2时，有
湖北省黄冈中学2008年春季高二数学期末考试答案（理）
选择题
1—5 ADCCD 6—10 BDAAB
填空题
11．2 12．2 13． 14．（－1，1） 15．
16．解：∵ ，∴x2＋x＋a中含因式x－2
∴x=2是方程x2＋x＋a=0的根，∴22＋2＋a=0，∴a=－6
∴
17．解：（1）设该射手第 次击中目标的事件为 ，则 ，
．
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0
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1
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2
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3
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0.008
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0.032
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0.16
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0.8
| （2） 可能取的值为0，1，2，3．
的分布列为
.
18．解：（1） ，x∈（0，1）时，0<cosx<1，∴
∴f（x）在（0，1）上是增函数
（2）①当n=1时，由已知，结论成立.
②假设当n=k时结论成立，即0<ak<1.
因为0<x<1时， ，所以f（x）在（0，1）上是增函数.
又f（x）在[0，1]上连续，从而f（0）<f（ak）<f（1），即0<ak＋1<1－sin1<1.
故当n=k＋1时，结论成立. 由①、②可知，0<an<1对一切正整数都成立.
19．解：（1）①由条件知PQ 垂直平分AB，若∠BAO= （rad） ，则 ,
故 ，
又OP＝ ，所以 ，
所求函数关系式为
②若OP= （km） ，则OQ＝10－ ，
所以OA =OB=
所求函数关系式为
（2）选择函数模型①，
令 0 得sin ，因为 ，所以 = ，
当 时， ， 是 的减函数；
当 时， ， 是 的增函数，
所以函数 在 = 时取得极小值，这个极小值就是最小值。 。
这时 （km）
因此，当污水处理厂建在矩形区域内且到A、B的距离均为 （km）时，铺设的排污管道总长度最短．
20．解：（1）∵y=x3 -3x2，∴y′=3x2-6x,
∵过点P1（x1,y1） 的切线l1的方程为y-（ ）= （ ）（x-x1）,
又l1过点O（0,0）, ∴-（ ）=-x1（ ）,∴ ,∴x1= 或x1=0.
∵P1与O不重合, ∴x1= .
（2）∵过点Pn+1（xn+1,yn+1） 的切线ln+1的方程为 = （x-xn+1）,
又ln+1过点Pn（xn,yn）, ∴ = （xn-xn+1）,
整理得（xn-xn+1）2 （xn+2xn+1）-3（xn-xn+1）2=0,
由已知得xn≠xn+1, ∴xn+2xn+1=3.
（3） ∵xn+1= ∴xn+1-1= ,
∴{xn-1}是以x1-1= 为首项,- 为公比的等比数列,
∴xn-1= （- ）n-1, ∴xn=1-（- ）n ∴
21．解：（甲）（1）∵f（x）=－x－ln（－x），f´（x）= －1 ，
∴当－e＜x＜－1时， f´（x）＜0，此时f（x）单调递减，
当－1＜x＜0时，f´（x）＞0，此时f（x） 单调递增，
∴f（x）的极小值为f（－1）=1。
（2）∵f（x）的极小值即f（x）在[－e，0）上的最小值为1，∴| f（x）|min=1，
令h（x）=g（x）＋ ，
又∴h´（x）= ，∴当－e＜x＜0时，h´（x）＜0，且h（x）在x=－e处连续
∴h（x）在[－e，0）上单调递减，∴h（x）max=h（－e）=
∴当x [－e，0）时，
（3）假设存在实数a，使f（x）=ax－ln（－x）有最小值3， [－e，0），f´（x）= ，
①当a≥ 时，由于 （－e，0），则f´（x）=a 且f（x）在x=－e处连续
∴函数f（x）=ax－ln（－x）是[－e，0）上的增函数，
∴f（x）min=f（－e）= －ae－1=3，解得a= （舍去）.
②当a＜ 时，则当－e＜x＜ 时，f´（x）=a 此时f（x）=ax－ln（－x） 是减函数，
当 时，f´（x）=a 此时f（x）=ax－ln（－x）是增函数，
∴f（x）min=f（ ）=1－ln（ ）=3，解得a=－e2.
由①、②知，存在实数a=－e2，使得当 [－e，0），时f（x）有最小值3.
（乙）（1）∵f（1）=1， ，
已知f（x）在点x=1处连续，∴有ea－1=1. ∴a=1.
（2）当x∈（0，1）时，
此时， ，
∵ ， ，∴ 不可能在（0，1）上恒小于0.
故f（x）在（0，1）上必为增函数. ∴－2x2＋ax＋1 0在（0，1）上恒成立.
在（0，1）上恒成立.
设 ，x∈（0，1）.
∵u（x）在（0，1）上是增函数，u（x）<1.
∴当a≥1时，f（x）在（0，1）上是增函数.
又当a=1时，f（x）在（0，＋∞）上也是增函数；
当a>1时，∵ ，
此时，f（x）在（0，＋∞）上不是增函数.
（3）当x∈（0，1）时，g（x）=lnf（x）＋x2－ax=lnx. 当n≥2时，
欲证 ，
即证
需证
即需证
猜想： ，其中t∈（0，1）.
下面证明之. 构造函数 ，t∈（0，1）.
∵ ，∴h（t）在（0，1）上是减函数，而 ，
∴h（t）>0，即有 同理，设s（t）=lnt－t＋1，t∈（0，1）.
∵ ，∴s（t）在（0，1）上是增函数，而 ，
∴s（t）<0，即有 故有 ，其中t∈（0，1）.
分别取 ，有
，
，
，
…
相加，得
即
∴
即
∴
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