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高二（理科）数学期末考试卷
一、选择题（本大题共11小题，每小题3分，共33分）
1、与向量平行的一个向量的坐标是（ ）
A．（，1，1） B．（－1，－3，2）
C．（－，，－1） D．（，－3，－2）
2、设命题：方程的两根符号不同；命题：方程的两根之和为3，判断命题“”、“”、“”、“”为假命题的个数为( )
A．0 B．1 C．2 D．3
3、“a＞b＞0”是“ab＜”的 （ ）
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4、椭圆的焦距为2，则的值等于 （ ）.
A．5 B．8 C．5或3 D．5或8
5、已知空间四边形OABC中，，点M在OA上，且OM=2MA，N为BC中点，则 =（ ）
A． B．
C． D．
6、抛物线上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标为（ ）
A． B． C． D．0
7、已知对称轴为坐标轴的双曲线有一条渐近线平行于直线x＋2y－3＝0，则该双曲线的离心率为（ ）
A.5或 B.或 C. 或 D.5或
8、若不等式|x－1| <a成立的充分条件是0<x<4,则实数a的取值范围是 ( )
A．a 1 B．a 3 C．a 1 D．a 3
9、已知，则的最小值为 （ ）
A． B． C． D．
10、已知动点P(x、y)满足10＝|3x＋4y＋2|，则动点P的轨迹是 （ ）
A．椭圆 B．双曲线 C．抛物线 D．无法确定
11、已知P是椭圆上的一点，O是坐标原点，F是椭圆的左焦点且，则点P到该椭圆左准线的距离为（ ）
A.6 B.4 C.3 D.
一、填空题（本大题共4小题，每小题3分，共12分）
12、命题：的否定是
13、若双曲线 的左、右焦点是、，过的直线交左支于A、B两点，若|AB|=5，则△AF2B的周长是 .
14、若，，则为邻边的平行四边形的面积为 ．
15、以下四个关于圆锥曲线的命题中：
①设A、B为两个定点，k为正常数，，则动点P的轨迹为椭圆；
②双曲线与椭圆有相同的焦点；
③方程的两根可分别作为椭圆和双曲线的离心率；
④和定点及定直线的距离之比为的点的轨迹方程为．
其中真命题的序号为 _________．
二、解答题（本大题共6小题，共55分）
16、（本题满分8分）已知命题p：方程表示焦点在y轴上的椭圆，命题q：双曲线的离心率，若只有一个为真，求实数的取值范围．
17、（本题满分8分）已知棱长为1的正方体ABCD－A1B1C1D1，试用向量法求平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值。
18、（本题满分8分）
（1）已知双曲线的一条渐近线方程是，焦距为，求此双曲线的标准方程；
（2）求以双曲线的焦点为顶点，顶点为焦点的椭圆标准方程。
19、（本题满分10分）如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1中，CA=CB=1，∠BCA=90°，棱AA1=2，M、N分别是A1B1、A1A的中点.
（1）求的长；
（2）求cos< >的值；
（3）求证：A1B⊥C1M.
20、（本题满分10分）如图所示，在直角梯形ABCD中，|AD|＝3，|AB|＝4，|BC|＝，曲线段DE上任一点到A、B两点的距离之和都相等．
（1）建立适当的直角坐标系，求曲线段DE的方程；
（2）过C能否作一条直线与曲线段DE相交，且所
得弦以C为中点，如果能，求该弦所在的直线
的方程；若不能，说明理由．
21、（本题满分11分）若直线l：与抛物线交于A、B两点，O点是坐标原点。
(1)当m=－1,c=－2时，求证：OA⊥OB；
(2)若OA⊥OB，求证：直线l恒过定点；并求出这个定点坐标。
(3)当OA⊥OB时，试问△OAB的外接圆与抛物线的准线位置关系如何？证明你的结论。
高二数学（理科）参考答案：
1、C 2、C 3、A 4、C 5、B 6、B 7、B 8、D 9、C 10、A
11、D
12、 13、18 14、 15、②③
16、p:0<m< q:0< m <15 p真q假，则空集；p假q真，则
故m的取值范围为
17、如图建立空间直角坐标系，＝（－1，1，0），＝（0，1，－1）
设、分别是平面A1BC1与平面ABCD的法向量，
由 可解得＝（1，1，1）
易知＝（0，0，1），
所以，＝
所以平面A1BC1与平面ABCD所成的锐二面角的余弦值为。
18、（1）或；（2） .
19、如图，建立空间直角坐标系O—xyz.
（1）依题意得B（0，1，0）、N（1，0，1）
∴| |=.
（2）依题意得 A1（1，0，2）、 B（0，1，0）、 C（0，0，0）、 B1（0，1，2）
∴ =（1，－1，2）， =（0，1，2），· =3，| |=，| |=
∴cos<， >=.
（3）证明：依题意，得C1（0，0，2）、M（，2）， =（－1，1，－2），
=（，0）.∴· =－ +0=0，∴⊥，
∴A1B⊥C1M.
20、（1）以直线AB为x轴，线段AB的中点为原点建立直角坐标系，
则A（－2，0），B（2，0），C（2， ），D（－2，3）．
依题意，曲线段DE是以A、B为焦点的椭圆的一部分．
∴所求方程为
（2）设这样的弦存在，其方程为：
得
设弦的端点为M（x1，y1），N（x2，y2），则由
∴弦MN所在直线方程为验证得知，
这时适合条件．
故这样的直线存在，其方程为
21、解：设A(x1,y1)、B(x2,y2)，由得
可知y1+y2=－2m y1y2=2c ∴x1+x2=2m2—2c x1x2= c2,
(1) 当m=－1,c=－2时，x1x2 +y1y2=0 所以OA⊥OB.
(2) 当OA⊥OB时，x1x2 +y1y2=0 于是c2+2c=0 ∴c=－2(c=0不合题意),此时，直线l：过定点(2,0).
(3) 由题意AB的中点D(就是△OAB外接圆圆心)到原点的距离就是外接圆的半径。
而(m2—c+ )2－[(m2—c)2+m2 ]= 由(2)知c=－2
∴圆心到准线的距离大于半径,故△OAB的外接圆与抛物线的准线相离。
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