时间：120分钟 满分：150分）

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.）.

1．复数z=  (  )是纯虚数，则  的值为 （ B ）

A． 1 B．  C． 1或  D．

2．已知定点F1、F2，且|F1F2|=6，动点P满足  ，则动点P的轨迹是（ D ）

A． 椭圆 B． 双曲线 C． 线段 D． 射线

3．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ B ）

A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根

B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根

C．对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根

D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根

B1
 
A1
 
C
 
B
 
 
 
A
 
C1
 
D
 
F
 
4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且  ，则（ A ）

A．  B．

C．  D．

5.命题①  ，使  　②对  ，

③对  　④  ，使  ，其中真命题为（　 　B　）

Ａ.③　　 Ｂ.③④　 　Ｃ.②③④　 　　Ｄ.①②③④

6.虚数（x－2） y  (其中x、y均为实数)，当此虚数的模为1时，  的取值范围是（ B ）

A．[－  ，  ] B．  ∪

C．[－  ，  ] D．[－  ，0)  ∪（0， 

7．点  是抛物线  上一动点，则点  到点  的距离与  到直线  的距离和的最小值是（ D ）

A．  B．  C．2 D．

8．过双曲线M：  的左顶点A作斜率为1的直线  ，若  与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且  ，则双曲线M的离心率是（ A ）

A．  B．  C．  D．

9．已知不等式  对任意正实数  恒成立,则正实数  的最小值为 ( B )

A.2 B.4 C.6 D.8

10.已知定点N（0，1），动点A,B分别在图中抛物线  及椭圆  的实线部分上运动，且AB∥Y轴，则  NAB的周长的取值范围是 ( B )

A.  B.

C.  D.

二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）

11.已知命题  ：实数m满足  ，命题  ：函数  是增函数。若  为真命题，  为假命题，则实数m的取值范围为 （1，2）

12．已知约束条件  ，目标函数z=3x y，某学生求得x= ， y= 时，zmax=  ， 这显然不合要求，正确答案应为x= 4 ; y= 0 ; zmax= 12 ．

D
 
C
 
B
 
A
 
D1
 
C1
 
B1
 
A1
 
13．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，

∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60º，则|  |=　  　.

 
 
1４．有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道

（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的

截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，隧道

高8m,宽16m. 为保证安全，要求行驶车辆顶部

（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少

为  ，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道

为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度

为  （（用分数表示）

1４．

1５.已知  则g(x)的值域为 ；若关于  的不等式  的解集为空集，则实数  的取值范围是 ．

１５． [－１，１] ；  ．

三、解答题(本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

16．（本题满分12分）已知复数  ，

（1）求|  |的值； （2）若  ，求实数  、  的值.

16．解：z=

（Ⅰ）|  |=|  =|-2  | =

（Ⅱ）∵  ∴(  )2 2  (  )  =1 bi

∴(a-4) i=1 bi 　　∴ a-4=1

b=1 　　　　

∴a=5, b=1

１７ 如图所示的多面体是由底面为  的长方体被截面  所截面而得到的，其中

（Ⅰ）求  的长；

（Ⅱ）求点  到平面  的距离

17．解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则  ，

 
 
 设 

∵  为平行四边形，

（II）设  为平面  的法向量，

 的夹角为  ，则

 　　　∴  到平面  的距离为

18．已知动点P与平面上两定点  连线的斜率的积为定值  ．

（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C；

（Ⅱ）设直线  与曲线C交于M、N两点，当|MN|=  时，求直线l的方程．

18．解：（Ⅰ）设点  ，则依题意有  ，整理得  　由于  ，所以求得的曲线C的方程为

（Ⅱ）由

解得x1=0, x2=  分别为M，N的横坐标）.

由

 　所以直线l的方程x－y 1=0或x y－1=0.

A
 
B
 
C
 
D
 
M
 
N
 
P
 
19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，

（1） 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？

（2） 若   （单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．

19．解：设AN的长为x米（x >2）

∵  ，∴|AM|＝  ∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝

（1）由SAMPN > 32 得  > 32 ，

∵x >2，∴  ，即（3x－8）（x－8）> 0

∴  即AN长的取值范围是

（2）令y＝  ，则

∴函数y＝  在  上为单调递减函数，

∴当x＝3时y＝  取得最大值，即  （平方米）

此时|AN|＝3米，|AM|＝  米

20．如图，在组合体中，  是一个长方体，  是一个四棱锥．  ，  ，点  且  ．

（Ⅰ）证明：  ；

（Ⅱ）求  与平面  所成的角的正切值；

（Ⅲ）若  ，当  为何值时，  ．

20．(Ⅰ)证明：因为  ，  ，所以  为等腰直角三角形，

所以  ．

因为  是一个长方体，所以  ，而  ，所以  ，所以  ．

因为  垂直于平面  内的两条相交直线  和  ，由线面垂直的判定定理，可得  ．…4分

(Ⅱ)解：过  点在平面  作  于  ，连接  ．……5分

因为  ，所以  ，所以  就是  与平面  所成的角．

因为  ，  ，所以  ．

所以  与平面  所成的角的正切值为  ．

(Ⅲ)解：当  时，  ．

当  时，四边形  是一个正方形，所以  ，而  ，所以  ，所以  ．

而  ，  与  在同一个平面内，所以  ．

 
 
x
 
y
 
而  ，所以  ，所以  ．

方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长  ，则有  ，  ，  ，  ．

于是  ，  ，  ，

所以  ，  ．

所以  垂直于平面  内的两条相交直线  和  ，由线面垂直的判定定理，可得  ．

(Ⅱ)  ，所以  ，而平面  的一个法向量为

所以  ．

所以  与平面  所成的角的正弦值为  ．

所以  与平面  所成的角的正切值为  ．

(Ⅲ)  ，所以  ，  ．设平面  的法向量为  ，则有  ，令  ，

可得平面  的一个法向量为  ．

若要使得  ，则要  ，即  ，解得  ．…11分

所以当  时，  ．

２１．抛物线C的方程为  ，作斜率为  的两条直线，分别交抛物线C于A  两点（P、A、B三点互不相同），且满足

（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；

（2）设直线AB上一点M满足  证明：线段PM的中点在y轴上；

（3）当  时，若点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取

值范围.

解：（1）由抛物线C的方程  得，

焦点坐标为  ……………………………………2分

（2）设直线PA的方程为

①

②
 
 
点  的解

将②式代入①式，得  ，

于是  ③………………………4分

④

⑤
 
 
又点  的解

将⑤式代入④式，得  ，

于是  ……………4分

由已知得，  ⑥

设点M的坐标为

将③式和⑥式代入上式，得

所以线段PM的中点在y轴上 ……………………………………8分

（3）因为点P（1，－1）

在抛物线

由③式知

将  代入⑥式得

因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为

 故当