时间：120分钟 满分：150分）
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.）.
1．复数z= ( )是纯虚数，则 的值为 （ B ）
A． 1 B． C． 1或 D．
2．已知定点F1、F2，且|F1F2|=6，动点P满足 ，则动点P的轨迹是（ D ）
A． 椭圆 B． 双曲线 C． 线段 D． 射线
3．命题p：存在实数m，使方程x2＋mx＋1＝0有实数根，则“非p”形式的命题是（ B ）
A．存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0无实根
B．不存在实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
C．对任意的实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
D．至多有一个实数m，使得方程x2＋mx＋1＝0有实根
B1
A1
C
B
A
C1
D
F
4．在三棱柱ABC－A1B1C1中，D是CC1的中点，F是A1B的中点，且 ，则（ A ）
A． B．
C． D．
5.命题① ，使 ②对 ，
③对 ④ ，使 ，其中真命题为（ B ）
Ａ.③ Ｂ.③④ Ｃ.②③④ Ｄ.①②③④
6.虚数（x－2） y (其中x、y均为实数)，当此虚数的模为1时， 的取值范围是（ B ）
A．[－ ， ] B． ∪
C．[－ ， ] D．[－ ，0) ∪（0，
7．点 是抛物线 上一动点，则点 到点 的距离与 到直线 的距离和的最小值是（ D ）
A． B． C．2 D．
8．过双曲线M： 的左顶点A作斜率为1的直线 ，若 与双曲线M的两条渐近线分别相交于B、C，且 ，则双曲线M的离心率是（ A ）
A． B． C． D．
9．已知不等式 对任意正实数 恒成立,则正实数 的最小值为 ( B )
A.2 B.4 C.6 D.8
10.已知定点N（0，1），动点A,B分别在图中抛物线 及椭圆 的实线部分上运动，且AB∥Y轴，则 NAB的周长的取值范围是 ( B )
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分．）
11.已知命题 ：实数m满足 ，命题 ：函数 是增函数。若 为真命题， 为假命题，则实数m的取值范围为 （1，2）
12．已知约束条件 ，目标函数z=3x y，某学生求得x= ， y= 时，zmax= ， 这显然不合要求，正确答案应为x= 4 ; y= 0 ; zmax= 12 ．
D
C
B
A
D1
C1
B1
A1
13．已知平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=AA1=1，
∠BAD=∠BAA1=∠DAA1=60º，则| |= .
1４．有一隧道，内设双行线公路，同方向有两个车道
（共有四个车道），每个车道宽为3m，此隧道的
截面由一个长方形和一抛物线构成，如图所示，隧道
高8m,宽16m. 为保证安全，要求行驶车辆顶部
（设为平顶）与隧道顶部在竖直方向上高度之差至少
为 ，靠近中轴线的车道为快车道，两侧的车道
为慢车道，则车辆通过隧道时，慢车道的限制高度
为 （（用分数表示）
1４．
1５.已知 则g(x)的值域为 ；若关于 的不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是 ．
１５． [－１，１] ； ．
三、解答题(本大题共6小题，满分75分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)
16．（本题满分12分）已知复数 ，
（1）求| |的值； （2）若 ，求实数 、 的值.
16．解：z=
（Ⅰ）| |=| =|-2 | =
（Ⅱ）∵ ∴( )2 2 ( ) =1 bi
∴(a-4) i=1 bi ∴ a-4=1
b=1
∴a=5, b=1
１７ 如图所示的多面体是由底面为 的长方体被截面 所截面而得到的，其中
（Ⅰ）求 的长；
（Ⅱ）求点 到平面 的距离
17．解：（I）建立如图所示的空间直角坐标系，则 ，
设
∵ 为平行四边形，
（II）设 为平面 的法向量，
的夹角为 ，则
∴ 到平面 的距离为
18．已知动点P与平面上两定点 连线的斜率的积为定值 ．
（Ⅰ）试求动点P的轨迹方程C；
（Ⅱ）设直线 与曲线C交于M、N两点，当|MN|= 时，求直线l的方程．
18．解：（Ⅰ）设点 ，则依题意有 ，整理得 由于 ，所以求得的曲线C的方程为
（Ⅱ）由
解得x1=0, x2= 分别为M，N的横坐标）.
由
所以直线l的方程x－y 1=0或x y－1=0.
A
B
C
D
M
N
P
19．如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B在AM上，D在AN上，且对角线MN过C点，已知|AB|＝3米，|AD|＝2米，
（1） 要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则AN的长应在什么范围内？
（2） 若 （单位：米），则当AM、AN的长度是多少时，矩形花坛AMPN的面积最大？并求出最大面积．
19．解：设AN的长为x米（x >2）
∵ ，∴|AM|＝ ∴SAMPN＝|AN|•|AM|＝
（1）由SAMPN > 32 得 > 32 ，
∵x >2，∴ ，即（3x－8）（x－8）> 0
∴ 即AN长的取值范围是
（2）令y＝ ，则
∴函数y＝ 在 上为单调递减函数，
∴当x＝3时y＝ 取得最大值，即 （平方米）
此时|AN|＝3米，|AM|＝ 米
20．如图，在组合体中， 是一个长方体， 是一个四棱锥． ， ，点 且 ．
（Ⅰ）证明： ；
（Ⅱ）求 与平面 所成的角的正切值；
（Ⅲ）若 ，当 为何值时， ．
20．(Ⅰ)证明：因为 ， ，所以 为等腰直角三角形，
所以 ．
因为 是一个长方体，所以 ，而 ，所以 ，所以 ．
因为 垂直于平面 内的两条相交直线 和 ，由线面垂直的判定定理，可得 ．…4分
(Ⅱ)解：过 点在平面 作 于 ，连接 ．……5分
因为 ，所以 ，所以 就是 与平面 所成的角．
因为 ， ，所以 ．
所以 与平面 所成的角的正切值为 ．
(Ⅲ)解：当 时， ．
当 时，四边形 是一个正方形，所以 ，而 ，所以 ，所以 ．
而 ， 与 在同一个平面内，所以 ．
x
y
而 ，所以 ，所以 ．
方法二：(Ⅰ)如图建立空间直角坐标系，设棱长 ，则有 ， ， ， ．
于是 ， ， ，
所以 ， ．
所以 垂直于平面 内的两条相交直线 和 ，由线面垂直的判定定理，可得 ．
(Ⅱ) ，所以 ，而平面 的一个法向量为
所以 ．
所以 与平面 所成的角的正弦值为 ．
所以 与平面 所成的角的正切值为 ．
(Ⅲ) ，所以 ， ．设平面 的法向量为 ，则有 ，令 ，
可得平面 的一个法向量为 ．
若要使得 ，则要 ，即 ，解得 ．…11分
所以当 时， ．
２１．抛物线C的方程为 ，作斜率为 的两条直线，分别交抛物线C于A 两点（P、A、B三点互不相同），且满足
（1）求抛物线C的焦点坐标和准线方程；
（2）设直线AB上一点M满足 证明：线段PM的中点在y轴上；
（3）当 时，若点P的坐标为（1，—1），求∠PAB为钝角时，点A的纵坐标的取
值范围.
解：（1）由抛物线C的方程 得，
焦点坐标为 ……………………………………2分
（2）设直线PA的方程为
①
②
点 的解
将②式代入①式，得 ，
于是 ③………………………4分
④
⑤
又点 的解
将⑤式代入④式，得 ，
于是 ……………4分
由已知得， ⑥
设点M的坐标为
将③式和⑥式代入上式，得
所以线段PM的中点在y轴上 ……………………………………8分
（3）因为点P（1，－1）
在抛物线
由③式知
将 代入⑥式得
因此，直线PA、PB分别与抛物线C的交点A、B的坐标为
故当
