一、填空题

1、1   2、(–11, 10)    3、10   4、3ⁿ   5、4x+3y–20=0   6、–或3

7、8    8、2   9、     10、     11、

二、选择题

12、D    13、A    14、C    15、B

三、解答题

16、因为在ΔABC中A(–1, –1)、B(5, 5)，垂心H(4, –1)，AH⊥BC，BH⊥AC，

所以直线AH的斜率为0，则直线BC的斜率不存在，

故BC的方程为：x=5，………………………………………………………2分

直线BH的斜率为6，则直线AC的斜率为 –，

故直线AC的方程为：y=–(x+1)–1，……………………………………4分

令，………………………………………………………5分

解之得：……………………………………………………………7分

所以C点的坐标为(5,–2) ……………………………………………………8分

17、因为向量=(1, 2)，=(x,1)，

=(1+2x, 4)，=(2–x, 3) …………………………………………2分

因为与平行，所以=k()…………………………3分

即：，所以x=，………………………………………4分

=(,1)；……………………………………………………………………5分

(2)已知点A(3 ,–1)，=(2,4)，向量与垂直，

即直线AB的法向量为(2, 4)，………………………………………………6分

所以直线AB的点法向式为2(x–3)+4(y+1)=0，

其一般式方程为x+2y–1=0…………………………………………………8分

18、(1)因为向量=(x+3, x–2)，向量=(1–x, 4)，其中0≤x≤5

=(x+3)(1–x)+4(x–2)= –x²+2x–5，(0≤x≤5) ……………………………3分

(2) 设、夹角为a，

= –x²+2x–5= –(x–1)²–4，(0≤x≤5) ……………………………………4分

所以当x=1时，()_max= –4，此时x=1，向量=(4, –1)，向量=(0, 4)

cosa= –，、夹角的大小为π–arccos，……………………6分

当x=5时，()_min= –20，此时x=5，向量=(8, 3)，向量=(–4, 4)

cosa= –，、夹角的大小为π–arccos。………………8分

19、D==(m+2)(m–2)，D_x==m(m–2)，

D_y==(m+1)(m–2) …………………………………………………3分

(1)当m ¹ ±2时，D ¹ 0，原方程组有唯一组解，即…………6分

(2)当m = –2时，D=0，D_x=8 ¹ 0，原方程组无解；………………………8分

(3)当m=2时，D=0，D_x=0，D_y=0，原方程组有无穷组解。……………9分

20、(1)因为a₁=，a_n+1=，所以a₂=, a₃=，a₄=……………3分

(2)猜测：a_n=，…………………………………………………………4分

(3)当n=1时，a₁==，等式成立，…………………………………5分

假设当n=k时等式，即：a_k=，………………………………………6分

则当n=k+1时，a_k+1====…………………8分

即当n=k+1时，等式也成立，………………………………………………9分

所以由上述可知，等式a_n=对nÎN^*都成立。………………………10分

21、(1)由于当n≥2时，a₂＋a₃＋…＋a_n=2ⁿ＋p(p为常数)，

a₂＋a₃＋…＋a_n+a_n+1=2ⁿ⁺¹＋p

两式相减得：a_n+1=2ⁿ，因为数列{a_n}为等比数列，所以a₁＝1，a₂=2，…1分

由条件可得p＝–2，a_n＝2，(n∈N)；…………………………………2分

(2)因为数列｛b_n｝的前n项和为S_n，b₁＝2，

n b_n+1＝S_n＋n(n+1)，(n–1)b_n=S_n–1+(n–1)n

两式相减得：nb_n+1–nb_n+b_n=b_n+2n，(n≥2)

b_n+1–b_n=2，(n≥2)，…………………………………………………………4分

即{b_n}是从第二项起为公差是2的等差数列，b₂=S₁+1(1+1)=4

因为b₁＝2，所以{b_n}是公差是2的等差数列，

b_n=2n，(n∈N)；……………………………………………………………5分

S_n＝n＋n；…………………………………………………………………6分

(3)因为T_n=，若T_n＝对一切正整数n，均有T_n ≤ C恒成立，则需C大于或等于T_n的最大值，……………………………………………………7分

=´=，

令≥1得：n≤2，

即有：T₁＝2≤T₂＝3=T₃＝3≥T₄＝≥T₅＝≥…≥T_n≥…，即数列{T_n}是先增后减的数列，且T_n的极限是0，

故有T_n的最大值为T₂＝T₃＝3，……………………………………………9分

又对一切正整数n，均有T_n≤C恒成立，∴C≥3…………………………10分