一、填空题
1、1 2、(–11, 10) 3、10 4、3n 5、4x+3y–20=0 6、–
或3
7、8 8、2 9、
10、
11、
二、选择题
12、D 13、A 14、C 15、B
三、解答题
16、因为在ΔABC中A(–1, –1)、B(5, 5)，垂心H(4, –1)，AH⊥BC，BH⊥AC，
所以直线AH的斜率为0，则直线BC的斜率不存在，
故BC的方程为：x=5，………………………………………………………2分
直线BH的斜率为6，则直线AC的斜率为 –，
故直线AC的方程为：y=–(x+1)–1，……………………………………4分
令
，………………………………………………………5分
解之得：
……………………………………………………………7分
所以C点的坐标为(5,–2) ……………………………………………………8分
17、因为向量
=(1, 2)，
=(x,1)，
=(1+2x, 4)，
=(2–x, 3) …………………………………………2分
因为与平行，所以=k()…………………………3分
即：
，所以x=
，………………………………………4分
=(,1)；……………………………………………………………………5分
(2)已知点A(3 ,–1)，=(2,4)，向量
与垂直，
即直线AB的法向量为(2, 4)，………………………………………………6分
所以直线AB的点法向式为2(x–3)+4(y+1)=0，
其一般式方程为x+2y–1=0…………………………………………………8分
18、(1)因为向量=(x+3, x–2)，向量=(1–x, 4)，其中0≤x≤5
=(x+3)(1–x)+4(x–2)= –x2+2x–5，(0≤x≤5) ……………………………3分
(2) 设
、
夹角为a，
= –x2+2x–5= –(x–1)2–4，(0≤x≤5) ……………………………………4分
所以当x=1时，()max= –4，此时x=1，向量=(4, –1)，向量=(0, 4)
cosa= –
，、夹角的大小为π–arccos，……………………6分
当x=5时，()min= –20，此时x=5，向量=(8, 3)，向量=(–4, 4)
cosa= –
，、夹角的大小为π–arccos。………………8分
19、D=
=(m+2)(m–2)，Dx=
=m(m–2)，
Dy=
=(m+1)(m–2) …………………………………………………3分
(1)当m ¹ ±2时，D ¹ 0，原方程组有唯一组解，即
…………6分
(2)当m = –2时，D=0，Dx=8 ¹ 0，原方程组无解；………………………8分
(3)当m=2时，D=0，Dx=0，Dy=0，原方程组有无穷组解。……………9分
20、(1)因为a1=，an+1=
，所以a2=
, a3=
，a4=……………3分
(2)猜测：an=
，…………………………………………………………4分
(3)当n=1时，a1=
=，等式成立，…………………………………5分
假设当n=k时等式，即：ak=
，………………………………………6分
则当n=k+1时，ak+1=
=
=
=
…………………8分
即当n=k+1时，等式也成立，………………………………………………9分
所以由上述可知，等式an=对nÎN*都成立。………………………10分
21、(1)由于当n≥2时，a2＋a3＋…＋an=2n＋p(p为常数)，
a2＋a3＋…＋an+an+1=2n+1＋p
两式相减得：an+1=2n，因为数列{an}为等比数列，所以a1＝1，a2=2，…1分
由条件可得p＝–2，an＝2
，(n∈N
)；…………………………………2分
(2)因为数列｛bn｝的前n项和为Sn，b1＝2，
n bn+1＝Sn＋n(n+1)，(n–1)bn=Sn–1+(n–1)n
两式相减得：nbn+1–nbn+bn=bn+2n，(n≥2)
bn+1–bn=2，(n≥2)，…………………………………………………………4分
即{bn}是从第二项起为公差是2的等差数列，b2=S1+1(1+1)=4
因为b1＝2，所以{bn}是公差是2的等差数列，
bn=2n，(n∈N)；……………………………………………………………5分
Sn＝n
＋n；…………………………………………………………………6分
(3)因为Tn=
，若Tn＝
对一切正整数n，均有Tn ≤ C恒成立，则需C大于或等于Tn的最大值，……………………………………………………7分
=
´
=
，
令≥1得：n≤2，
即有：T1＝2≤T2＝3=T3＝3≥T4＝
≥T5＝
≥…≥Tn≥…，即数列{Tn}是先增后减的数列，且Tn的极限是0，
故有Tn的最大值为T2＝T3＝3，……………………………………………9分
又对一切正整数n，均有Tn≤C恒成立，∴C≥3…………………………10分
