一、选择（本题共30分，每小题3分）
1．下列说法正确的是（ ）．
A．4的平方根是2 B．9的算术平方根是
C．8的立方根是
D．
的立方根是2．计算
的结果是（ ）．A．
B．
C．
D．
3．下列图形中，轴对称图形的个数是（ ）．
A．1 B．2 C．3 D．4
4．下列变形正确的是（ ）．
A．
B．
C．
D．
5．若函数
（k≠0）的图象如图所示，则关于x的不等式
≤0的解集在数轴上表示正确的是（ ）．
6．如图，用三角尺可按下面方法画角平分线：在已知的∠AOB的两边上分别取点M、N，使OM＝ON，再
分别过点M、N作OA、OB的垂线，交点为P，画射线OP．可证得△POM ≌△PON，OP平分∠AOB．以上
依画法证明△POM≌△PON根据的是（ ）．
A．SSS B．SAS C．AAS D．HL
7．若将直线
(k≠0)的图象向上平移3个单位后经过点(2，7)，则平移后直线的解析式为（ ）．A．
B．
C．
D．
8．如图，等边三角形ABC中，D为BC的中点，BE平分∠ABC交AD 于E，若△CDE的面积等于1，则△ABC的
面积等于（ ）．
A．2 B．4 C．6 D．12
9．已知一次函数
，其中
，则所有符合条件的一次函数的图象一定都经过（ ）．A．第一、二象限 B．第二、三象限
C．第三、四象限 D．第一、四象限
10．如图，D为△ABC内一点，CD平分∠ACB，BD⊥CD，∠A＝∠ABD，若AC＝5，BC＝3，则BD的长
为（ ）．
A．1 B．1.5 C．2 D．2.5
二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分）
11．函数
中，自变量x的取值范围是_________．12．在
，
，
，
，
这五个实数中，无理数是_________．13．如图，△ABC中，D为AC边上一点，AD＝BD＝BC，若∠A＝40°，则∠CBD＝_____°．
14．若直线
（k≠0）经过点（1，3），则该直线关于x轴对称的直线的解析式为_________． 15．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，P为AC边上一点，PC＝2，∠PBC＝30°．（1）若
PD⊥AB于D，在图中画出线段PD；（2）点P到斜边AB的距离等于_________．
16．下图是按一定规律排列的一组图形，依照此规律，第n个图形中
的个数为_____．（n为正整数）
17．如图，钝角三角形纸片ABC中，∠BAC＝110°，D为AC边的中点．现将纸片沿过点D的直线折叠，折
痕与BC交于点E，点C的落点记为F．若点F恰好在BA的延长线上，则∠ADF ＝_________°．
18．对于三个数a、b、c，用
表示这三个数中最小的数， 例如， 
，
那么观察图象，可得到
的最大值为_________．
三、耐心算一算（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分）
19．因式分解：（1）
； （2）
．20．计算：
．21．先化简再求值：
，其中x=3．22．解分式方程：
． 四、认真做一做（本题共11分，第23题6分，第24题5分）
23．已知：如图，D为△ABC内一点，AC=BC，CD平分∠ACB．
求证：∠ABD ＝∠BAD．
24．已知：如图，在∠POQ内部有两点M、N，∠MOP＝∠NOQ．
（1）画图并简要说明画法：在射线OP上取一点A，使点A到点M和点N的距离和最小；在射线OQ上取一
点B，使点B到点M和点N的距离和最小；
（2）直接写出AM＋AN与BM＋BN的大小关系．
解：（1）画法：
（2）答：AM＋AN_________BM＋BN．（填“＞”、“＝”或“＜”）
五、仔细想一想（本题共12分，每小题6分）
25．在平面直角坐标系xOy中，一动点
从点
出发，在由
，
四点组成的正方形边线上（如图①所示），按一定方向匀速运动．图②是点P运动的路程s与运动时间t（秒）之间的函数图象，图③是点P的纵坐标y与点P运动的路程s之间的函数图象的一部分． 
请结合以上信息回答下列问题：
（1）图②中，s与t之间的函数关系式是_________（t≥0）；
（2）与图③中的折线段相对应的点P的运动路径是 →_________→_________→_________；
（填“A”、“B”、“C”、“D”、“M”或“N”）
（3）当4≤s≤8时，直接写出y与s之间的函数关系式，并在图③中补全相应的函数图象．
26．某中学初二年级300名同学在“爱心包”活动中，集资购买一批学习用品（书包和文具盒），捐赠给灾区90名学生，所买的书包每个54元，文具盒每个12元．现每名同学只购买一种学习用品，而且每2人合买一个文具盒，每6人合买一个书包．若x名同学购买书包，全年级共购买了y件学习用品．
（1）求y与x之间的函数关系式（不要求写出自变量x的取值范围）；
（2）若捐赠学习用品的总金额超过2300元，且灾区90名学生每人至少得到一件学习用品，问：同学们
如何设计购买方案，才能使所购买的学习用品件数最多？学习用品最多能买多少件？
六、解答题（本题共12分，每小题6分）
27．已知：如图，平面直角坐标系xOy中，点A、B的坐标分别为
，
，P为y轴上B点下方一点， PB＝m（m＞0），以AP为边作等腰直角三角形APM，其中PM＝PA，点M落在第四象限．（1）求直线AB的解析式；
（2）用m的代数式表示M点的坐标；
（3）若直线MB与x轴交于点Q，判断点Q的坐标是否随m的变化而变化，写出你的结论并说明理由．
28．如图，等腰直角三角形ABC中，∠BAC＝90°，D、E分别为AB、AC边上的点，AD＝AE，AF⊥BE交BC于点F，过点F作FG⊥CD 交BE的延长线于点G，交AC于点M．
（1）求证：△EGM为等腰三角形；
（2）判断线段BG、AF与FG的数量关系并证明你的结论．
（1）证明：
（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为_________．
证明：
参考答案
一、选择（本题共30分，每小题3分）
| 题号 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
| 答案 | D | D | B | B | B | D | A | C | B | A |
二、填空（本题共18分，第15题4分，其余每小题各2分）
11． x≥2． 12．
， ． 13．20． 14．
．15．（1）答案见图1；（2）2． 16．
． 17．40． 18．1．三、计算（本题共17分，第19、21题各5分，第20题3分，第22题4分）
19．（1）解：
． （2）解：
．20．解：
．21．解：
．当x= 3时，原式=
． 22．解：去分母，得
．2x=2．
x=1．
经检验，x=1是原方程的解． 所以，原方程的解为x=1．
四、认真做一做（本题共11分，第23题6分，第24题5分）
23．证法一：如图2-1．
∵ CD平分∠ACB，
∴ ∠1＝∠2．
在△ACD与△BCD中，
∴ △ACD≌△BCD ．
∴ AD＝BD．
∴ ∠ABD＝∠BAD．
证法二：如图2-2．
延长CD交AB于点E．
∵ AC＝BC，CD平分∠ACB，
∴ CE垂直平分AB．
∵ 点D在CE上，
∴ AD＝BD．
∴ ∠ABD＝∠BAD．
24．解：（1）答案图如图3所示．
画法：1．作点M关于射线OP的对称点
，连结
交OP于点A．2．作点N 关于射线OQ的对称点
，连结
交OQ于点B．（2）＝．
五、仔细想一想（本题共12分，每小题6分）
25．（1）
（2）M →D → A→ N；
（3）
26．解：（1）
． （2）由题意得
解得
＜x≤180．又因为x为6的倍数，所以x等于168，174，180．
因为
随x的增大而减小，所以当x等于168，即168名同学购买书包，132名同学购买文具盒时，所购买的学习用品件数最多．
因为
时，
，所以最多可买94件学习用品．此时168名同学购买书包，132名同学购买文具盒。
六、解答题（本题共12分，每小题6分）
27．解：（1）设直线AB的解析式为
（k≠0）．则
解得
∴ 直线AB的解析式为
．（2）作MN⊥y轴于点N．（见图5）
∵ △APM为等腰直角三角形，PM=PA，
∴ ∠APM=90°．
∴ ∠OPA+∠NPM=90°．
∵ ∠NMP+∠NPM=90°，
∴ ∠OPA=∠NMP．
又∵ ∠AOP=∠PNM=90°，
∴ △AOP≌△PNM．（AAS）
∴ OP=NM，OA=NP．
∵ PB=m（m＞0），
∴ NM=m+4，ON=OP+NP=m+8．
∵ 点M在第四象限，
∴ 点M的坐标为
．（3）答：点Q的坐标不变．
解法一：由（2）得 NM=m+4，
．∴ NB=NM．
∵ ∠BNM=90°，
∴ ∠MBN=45°．
∴ ∠QBO=45°，
．∴ OQ=OB=4．
∵ 点M在第四象限，点B在y轴的负半轴上，
∴ 点Q在x轴的负半轴上．
∴ 无论m的值如何变化，点Q的坐标都为
．解法二：设直线MB的解析式为
（n≠0）．∵ 点M
在直线MB上，∴
．整理，得
．∵ m＞0，
∴ m+4≠0．
解得 n=
．∴ 直线MB的解析式为
．∴ 无论m的值如何变化，点Q的坐标都为
．28．解：（1）∵ 等腰直角三角形ABC中，∠BAC=90°，（见图6）
∴ AC=AB，∠ACB=∠ABC=45°.
又∵ AD=AE，∠CAD=∠BAE，
∴ △ACD≌△ABE．（SAS）
∴ ∠1=∠2．
∵ ∠BAC=90°，∴ ∠3+∠2=90°.
∵ FG⊥CD， ∴ ∠1+∠4=90°.
∴ ∠3=∠4.
∴ ∠GEM=∠GME.
∴ EG=MG，△EGM为等腰三角形.
（2）答：线段BG、AF与FG的数量关系为
.证法一：过点B作AB的垂线，交GF的延长线于点N.（见图6）
∵ BN⊥AB，∠ABC=45°，
∴ ∠FBN=45°=∠FBA.
∵ FG⊥CD，
∴
.∵ AF⊥BE，
∴
，∠5+∠2=90°.由（1）可得∠DCB=∠EBC，
∴ ∠BFN=∠BFA.
又∵ BF= BF，
∴ △BFN≌△BFA．（ASA）
∴ NF=AF，∠N =∠5．
又∵ ∠GBN+∠2=90°，
∴ ∠GBN=∠5=∠N．
∴ BG=NG．
又∵ NG= NF+FG，
∴ BG= AF+FG．
证法二：设CD、BE的交点为N，连结AN（见图7）.先证AF=BN，再证FG=NG.
证法三：过点C作AC的垂线，交AF的延长线于点H（见图8）.先证AH=BE ，再证FM=FH.
