一、知识结构：
二、知识要点：
1．关于二次根式的概念，要注意以下几点：
（1）从形式上看，二次根式是以根号“
”表示的代数式，这里的开方运算是最后一步运算。如
，
等不是二次根式，而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算；（2）当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式（整式或分式）时，虽然最后运算不是开方而是乘
法，但为了方便起见，我们把它看作一个整体仍叫做二次根式，而前面与其相乘的有理数或有理
式就叫做二次根式的系数；
（3）二次根式的被开方数，可以是某个确定的非负实数，也可以是某个代数式表示的数，但其中所含
字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数；
（4）象“
，
”等虽然可以进行开方运算，但它们仍属于二次根式。2．二次根式的主要性质：
（1）
；（2）
；（3）
；（4）积的算术平方根的性质：
；（5）商的算术平方根的性质：
；（6）若
，则
。3．注意
与的逆用。4．二次根式的运算：
（1）二次根式的乘除运算：二次根式相乘除，把被开方数相乘除，根指数不变。
由特殊到一般，理解二次根式乘除运算法则的合理性；
明确运算结果的要求，不断归纳运算结果应满足的两个要求：
①应为最简二次根式（包括两个条件）或有理式；②分母中不含根号。
（2）二次根式的加减运算：先将二次根式化为最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合
并。
二次根式的加减运算需要先化为最简二次根式，再类比整式加减运算中的合并同类项，二次根式
加减运算的实质是合并同类二次根式。
（3）二次根式的混合运算
整式的运算顺序、运算法则、公式和运算律在二次根式的运算中同样适用。
三、例题分析：
1．下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是二次根式？为什么？
，
，
，，
，
，
，
，
，
，，
，
，
，
。解：二次根式有：
，，，，，，2．
是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？（1）
；（2）
； （3）
； （4）
； （5）
；（6）
；（7）
； （8）
；（9）
。解：（1）
（2）
（3）
（4）
（5）为任何数 （6）且
（7）
（8）且 （9）
且3．当
________时，
。解：∵
∴ 
4．在
、
、
、
、
、、
、
中，最简二次根式有____。解析：最简二次根式满足：
（1）被开方数中不含有分母、分数、小数
（2）被开方数中因数或因式的指数小于根指数
∴ 最简二次根式有：
，，。5．在实数范围内分解因式：
________；
________。解析：原式
原式
6．若、
为实数，
。求
的值。解：∵
∴ 
∴ 
∴ 
7．已知
求、
、
的值。解：∵
∴ 
8．已知，，为三角形的三边，则
_____。解：∵
∴ 原式
9．比较大小（1）
；（2）
解：（1）∵
且
∴
（2）∵
∴
∴ 
总结：常用的比较大小的方法
1．两上实数a，b比较大小，一般有“比”与“较”两种方法：
①将两个实数相除（比）：若
，当
时，则
；当
时，则
。若
，则
若
，当时，则；当时，则。②将两个实数相减（较）：若
，则；若
，则；若
，则。2．除此之外，还有以下常用方法：
（1）估算法； （2）被开方数比较法； （3）平方比较法；
（4）倒数的比较法； （5）设参数比较法； ※（6）分子有理化比较法。
练习：比较下列各根式或含有根式的代数式的大小：
（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
答案：（1）＞ （2）＞（3）＞ （4）＜ （5）＜ （6）＜
10．若最简二次根式
与最简二次根式
可以合并，则的取值为________。解：可以合并的根式是同类根式。
∴
∴
11．①已知：，
,求
的值。解：由已知：
∴ 
②已知：
，求：（1）
的值；（2）
的值解：（1）∵
∴ 
（2）∵
∴ 
③已知：
，
，求
的值∵
∴
④已知
，求
的值。∵
∴
∴
∴
∴ 原式
⑤已知
，求、、
的值。∵
∴
∴
∴
⑥已知
，求
的值。∵
∴ 原式
