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[组图]二次根式

查询数八年下练习的详细结果
二次根式
一、知识结构:


二、知识要点:
1.关于二次根式的概念,要注意以下几点:
  (1)从形式上看,二次根式是以根号“”表示的代数式,这里的开方运算是最后一步运算。如
     等不是二次根式,而是含有二次根式的代数式或二次根式的运算;
  (2)当一个二次根式前面乘有一个有理数或有理式(整式或分式)时,虽然最后运算不是开方而是乘
     法,但为了方便起见,我们把它看作一个整体仍叫做二次根式,而前面与其相乘的有理数或有理
     式就叫做二次根式的系数;
  (3)二次根式的被开方数,可以是某个确定的非负实数,也可以是某个代数式表示的数,但其中所含
     字母的取值必须使得该代数式的值为非负实数;
  (4)象“”等虽然可以进行开方运算,但它们仍属于二次根式。

2.二次根式的主要性质:
  (1)
  (2)
  (3)
  (4)积的算术平方根的性质:
  (5)商的算术平方根的性质:
  (6)若,则

3.注意的逆用。

4.二次根式的运算:
  (1)二次根式的乘除运算:二次根式相乘除,把被开方数相乘除,根指数不变。
     由特殊到一般,理解二次根式乘除运算法则的合理性;
     明确运算结果的要求,不断归纳运算结果应满足的两个要求:
     ①应为最简二次根式(包括两个条件)或有理式;②分母中不含根号。
  (2)二次根式的加减运算:先将二次根式化为最简二次根式,再将被开方数相同的二次根式进行合
     并。
     二次根式的加减运算需要先化为最简二次根式,再类比整式加减运算中的合并同类项,二次根式
     加减运算的实质是合并同类二次根式。
  (3)二次根式的混合运算
     整式的运算顺序、运算法则、公式和运算律在二次根式的运算中同样适用。

三、例题分析:
  1.下列各式中,哪些是二次根式?哪些不是二次根式?为什么?
  
  
  解:二次根式有:

  2.是怎样的实数时,下列各式在实数范围内有意义?
  (1);(2);     (3);    (4);  (5)
  (6);(7); (8);(9)
  解:(1)      (2)     (3)    
    (4)      (5)为任何数   (6)
    (7)    (8) (9)

  3.当________时,
  解:∵

  4.在中,最简二次根式有____。
  解析:最简二次根式满足:
     (1)被开方数中不含有分母、分数、小数
     (2)被开方数中因数或因式的指数小于根指数
     ∴ 最简二次根式有:

  5.在实数范围内分解因式:________;________。
  解析:原式 原式
       

  6.若为实数,。求的值。
  解:∵

  7.已知的值。
  解:∵

  8.已知为三角形的三边,则_____。
  解:∵ ∴ 原式

  9.比较大小(1);(2)
  解:(1)∵
       ∴
     (2)∵
       ∴
  总结:常用的比较大小的方法
  1.两上实数a,b比较大小,一般有“比”与“较”两种方法:
    ①将两个实数相除(比):若,当时,则;当时,则
     若,则
     若,当时,则;当时,则
    ②将两个实数相减(较):若,则
     若,则
     若,则
  2.除此之外,还有以下常用方法:
    (1)估算法;      (2)被开方数比较法;  (3)平方比较法;
    (4)倒数的比较法;   (5)设参数比较法;  ※(6)分子有理化比较法。

  练习:比较下列各根式或含有根式的代数式的大小:
  (1)         (2)
  (3)    (4)
  (5)    (6)
  答案:(1)> (2)>(3)> (4)< (5)< (6)<

  10.若最简二次根式与最简二次根式可以合并,则的取值为________。
  解:可以合并的根式是同类根式。
    ∴
    ∴

  11.①已知:,求的值。
  解:由已知:

  ②已知:,求:(1)的值;(2)的值
  解:(1)∵
    (2)∵

  ③已知:,求的值
  ∵
  ∴

  ④已知,求的值。
  ∵
  ∴
  ∴
  ∴
  ∴ 原式

  ⑤已知,求的值。
  ∵
  ∴
  ∴
  ∴

  ⑥已知,求的值。
  ∵
  ∴ 原式
     
     
     

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