最值问题专题（轴对称的应用）
1、线段之和的最值。（将军饮马问题）
（1）如图，A、B在直线l的同侧，在l上求作一点P，使PA+PB最小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　作法：i）作点A关于l的对称点：作AO⊥l于O，在AO延长线上截。
　　　　　ii）连结，交l于点P。
　　　　　点P即为所求。
　　证明：在l上取异于P点的一点M，下证
　　　　　∵ 与A关于l对称，P、M在l上
　　　　　∴ ，
　　　　　∴ ，
　　　　　∵ 中，（三角形两边之和大于第三边）
　　　　　∴ 。

（2）如图，A、B在直线l同侧，在l上求作两点P、Q（P在Q左侧）且PQ=a，使四边形APQB的周长最小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：四边形APQB周长=AP+PQ+QB+AB。其中PQ、AB为定值，问题转化为AP+QB最小，与（1）不同，将军不是去河边饮了马就折走，而是要沿河走一段线段a，如果能把这段a提前走掉就可以转化为问题（1）了，于是考虑从A沿平行的方向走a至c，之后同问题（1）。
　　作法：i）作线段且
　　　　　ii）作点C关于的对称点：
　　　　　　　作于O且在CO延长线上截。
　　　　　iii）连结交于点Q
　　　　　iv）在上Q左侧截PQ=a。
　　　　　　　四边形APQB即为所求。
　　证明：在l上取异于P、Q的两点M、N（M在N左侧）且MN=a
　　　　　下证：四边形AMNB周长＞四边形APQB周长。 （*）
　　　　　∵ ACPQ
　　　　　∴ APQC为平行四边形
　　　　　∴ AP=CQ
　　　　　∵ C与关于对称，Q在上
　　　　　∴
　　　　　∴ 四边形APQB周长
　　　　　
　　　　　同理：AMNC为平行四边形
　　　　　四边形AMNB周长
　　　　　∴ 要证（*）式，即证
　　　　　而在中，
　　　　　故（*）式成立，证毕。

（3）如图，A、B、C三点在直线同侧，在上求作一点P，使四边形APBC周长最小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：四边形APBC的周长=AP+PB+BC+AC
　　　　　其中BC+AC为定值
　　　　　所以要使周长最小，即使PA+PB最小
　　　　　于是转化为问题（1）。
　　作法及证明略。

（4）如图，点M在锐角∠AOB内部，在OA边上求作一点P，在OB边上求作一点Q，使△MPQ周长最小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　作法：i）作M关于OA对称点M₁，
　　　　　　 作M关于OB对称点M₂。
　　 　　　ii）连结M₁M₂分别交OA、OB于P、Q，
　　　　　　　 △MPQ即为所求。
　　证明：在OA上取异于点P的一点E，在OB是取异于点Q的一点F，
　　　　　下证：△MPQ周长＜△MEF周长。
　　　　　∵ M与M₁关于OA对称，P、E在OA上
　　　　　∴ PM₁=PM，EM₁=EM。
　　　　　同理 FM=FM₂，QM=QM₂
　　　　　∴ △MPQ周长=MP+MQ+PQ=PM₁+PQ+QM₂=M₁M₂
　　　　　△MEF周长=ME+EF+MF=EM₁+EF+FM₂
　　　　　∵ M₁E+EF+FM₂ ＞ M₁M₂（两点之间线段最短）
　　　　　∴ △MPQ周长 ＜ △MEF周长。

（5）如图，点M在锐角∠AOB内部，在OB边上求作一点P，使点P到点M的距离与点P到OA边的距离之和最小。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　作法：i）作M关于OB的对称点。
　　　　　ii）作于H，交OB于点P。
　　　　　　　点P即为所求。
　　证明：在OB上取异于点P的任意点Q，作QN⊥OA于N。
　　　　　下证：MP+PH ＜ MQ+QN
　　　　　∵ M与M′关于OB对称，P、Q在OB上
　　　　　∴ MQ=M^/Q，MP=M^/P
　　　　　∴ MP+PH=
　　　　　
　　　　　∵ （点与直线之间，垂线段最短）
　　　　　∴ MP+PH ＜ MQ+QN

2、线段之差的最值
（1）如图，在上求作一点P，使最小。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：由绝对值的非负性知，
　 　　　　故当PA=PB时， 取最小值0。
　　作法：i）连结AB
　　　　　ii）作AB中垂线交于点P
　　　　　　　点P即为所求。

（2）如图，在上求作一点P，使得最大。
　　　　　　　　　　　
　　① 作法：作射线BA交于点P，点P即为所求。
　　　　　　　　　　　　
　　说明：在上取异于点P的一点M，下证
　　　　　在△MAB中，（三角形两边之差小于第三边），而
　　　　　所以。
　　② 分析：由①的作法可解决A、B在同侧的问题，不妨通过作A的对称点，将②中A、B在异侧的问题转化为在同侧的问题。