【知识要点】
一、分式的概念
1．一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
叫做分式．2．分式有意义的条件是分母不为零，分式的值为零的条件是分子为零，分母不为零．
二、分式的基本性质
1．分式的基本性质：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于
的整式，分式的值不变．用式子表示为：
，
（其中A、B、C是整式，
）．2．分式的变号法则：分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，可简
记为“三变二，值不变”．
3．通分：根据分式的基本性质，分子和分母同乘以适当的整式，不改变分式的值．把几个异分母的分
式化成同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分．通分的关键是确定各分母的最简公分母．
最简公分母用下面的方法确定：
（1）最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；
（2）最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次幂的积．
特别注意：为了确定最简公分母，通常先将各分母分解因式．
4．约分：根据分式的基本性质，把一个分式的分子和分母的公因式约去，这样的分式变形叫做分式的
约分．约分的关键是确定分子与分母的公因式．约分的结果应化为最简分式．
三、分式的运算法则
1．分式的乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为积的分母．
用式子表示为：
．2．分式的除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘．
用式子表示为：
．3．分式的乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方．
用式子表示为：
．4．分式的加减法法则：同分母分式相加减，分母不变，把分子相加减；异分母分式相加减，先通分，
变为同分母的分式，再加减．
用式子表示为：
；
．5．分式的混合运算
分式的混合运算，关键是弄清楚运算顺序．进行运算时要先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括
号要先算括号里面的；计算结果要化为整式或最简分式．
四、分式方程
1．分式方程的特征是分母中含有未知数，这是分式方程与整式方程的根本区别．
2．解分式方程的基本思路是“转化”，即把分式方程化为我们熟悉的整式方程，转化的途径是“去分
母”，即方程两边都乘以最简公分母．
3．解分式方程的一般步骤：①去分母，即在分式方程的两边都乘以最简公分母，把分式方程化为整式
方程；②解这个整式方程；③检验，把整式方程的解代人最简公分母，使最简公分母不等于零的解
是原分式方程的解，使最简公分母等于零的解不是原分式方程的解．
注意：因为解分式方程时可能产生增根，所以解分式方程必须检验，检验是解分式方程必要的步骤.
4．列分式方程解实际问题的基本步骤：①先分析题意，设出未知数；②根据题意找出相等关系，列出
分式方程；③解分式方程；④检验：既要检验所求得的解是否是原分式方程的解，又要检验所求得
的解是否符合题意；⑤最后做出答案．
【例题精析】
考点一、分式的有关概念
相关知识：分式的概念，分式有意义、分式无意义、分式值为零的条件，最简公分母等．
1．分别指出下列各式有意义，无意义，值为零的条件．（1）
；（2）
；（3）
； （4）
．解：（1）若分式
有意义，则
；若分式无意义，则
；若分式
，则
且，即
．（2）若分式
有意义，则
，即
；若分式无意义，则
；无论x为何值，分式
值都不为0．（3）若分式
有意义，则
，即
；若分式无意义，则
；若分式
，则
且，即．（4）若分式
有意义，则
，即
；若分式无意义，则
；若分式
，则
且，此时无解，即无论x为何值，分式
值都不为0．考点二、分式的基本性质
相关知识：考查分式的符号变换，分式的约分和通分，把分式的各项系数化为整数等．
2．下列从左到右的变形正确的是（ ）．A．
B． C．
D．
解：选A．
3．等式
（1）和
（2），从左到右的变形是否都正确？分析：原式（左边的分式）默认有意义．对于等式（1），
，即
；分子、分母同时乘以x（x可能为0），所以（1）不一定成立；对于等式（2），
，即且，分子、分母同时除以x一定成立．考点三、分式的运算
相关知识：考查分式的加、减、乘、除运算及分式的混合运算等．
4．计算：（1）
； （2）；（3）
； （4）
；（5）
．解：（1）
；（2）
；（3）
；（4）
；（5）
．考点四、分式的化简求值
相关知识：考查主要涉及两种题型：一是在已知条件下进行的分式化简求值，包括一些开放性条件的求值；二是在间接条件下进行的分式化简求值，包括利用乘法公式进行的代数式恒等变形求值．
5．（1）已知：a=3，
，求
的值．（2）先化简
，再选择一个适当的x值代入并求值．解：（1）
，当a=3，
时，原式
．（2）
．注意：选择x的值时，
且．6．（1）已知
，求
的值．（2）已知
，求
的值．解：（1）
，
，或（舍）．当
时，原式
．考点五、科学记数法
相关知识：会用科学记数法表示绝对值小于1的数，能将用科学记数法表示的数还原为普通数，以10为底的幂的运算．
7．一种细胞的直径约为
米，那么它的一百万倍相当于（ ）．A．玻璃跳棋棋子的直径 B．数学课本的宽度
C．初中学生小丽的身高 D．五层楼房的高度
解：
米的一百万倍是
（米），大约是初中学生的身高．所以，选C．
考点六、解分式方程
相关知识：主要涉及分式方程的定义，可化为一元一次方程的分式方程的解法等．
8．解方程：（1）
； （2）
．解：（1）两边同乘
，得
，解得
，检验：当
时，
，所以，原方程的解是
．（2）两边同乘
，得
，解得
，检验：当
时，
，所以
是增根，所以原方程无解．
9．解关于
的方程：
（
）．解：两边同乘
，得
，
，因为
，所以
，所以
．检验：当
时，
．若
或
，则是增根，原方程无解；若
且
，则原方程的解是．【创新题型】
10．对于正数x，规定f(x)=
．例如
，
；计算：
…+
…+
=____________．分析：
，所以，所求为2007．
【专题复习】
一、分式的条件求值
1．已知
，则分式
的值为____________．（答案：
）思路1：见比设k，设
，
（
）．思路2：利用分式的基本性质，
的分子、分母同时除以y（
）．2．已知
，求
的值．（答案：3）思路1：利用分式的基本性质，
两边同乘以
，变形为
．思路2：
两边同乘最简分母，整理得
；待求式通分，得到
3．若
，求代数式的值．（答案：34）思路：显然
，由，得
，即
．所以，
，因此，
．二、含字母系数的分式方程
4．m为何值时，关于x的方程
有解？（
且
）思路：整式方程的解为
，而且．5．关于x的方程
的解是负数，则a的取值范围是（ ）．（答案：B）A．
B．且 C．
D．且思路：分式方程有负数解的条件为
且
．6．当m为何值时，关于x的方程
无解？（
或1或6）思路：分式方程无解有两种情况，一是化简后的整式方程无解，二是整式方程有解，
其解为分式方程的增根．
原方程去分母，化为
，当
时，方程无解；当
时，解为增根．
