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一元二次方程的根的判别式
知识要点：
要点1．对于一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)
当b2－4ac＞0时，方程有两个不相等的实数根：
当b2－4ac=0时，方程有两个相等的实数根：
当b2－4ac＜0时，方程没有实数根。
我们把b2－4ac叫做一元二次方程ax2+bx+c=0根的判别式，记作△=b2－4ac.
要点2．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个实数根x1、x2，则有
例题分析：
一、要点1的应用
 1. 不解方程，判定下列各方程根的情况
(1)2x2－6x－5=0；(2)2x2－12x+18=0; (3)3x2－5x+4=0; (4)x2－2x+k=0
解：(1)2x2－6x－5=0
∵a=2,b=－6,c=－5
∴△=b2－4ac=(－6)2－4×2×(－5)=36+40=76＞0
∴2x2－6x－5=0有两个不相等的实数根
(2)2x2－12x+18=0，化简得：x2－6x+9=0
∵a=1,b=－6,c=9 ∴△=(－6)2－4×1×9=36－36=0
∴2x2-12x+18=0有两个相等的实数根
(3)3x2－5x+4=0
∵a=3,b=－5,c=4 ∴△=(－5)2－4×3×4=25－48=-23
∴3x2－5x+4=0没有实数根，即在实数范围内无解。
(4)x2－2x+k=0
∵a=1,b=－2,c=k ∴△=(－2)2－4×1×k=4(1－k)
∴当1－k＞0时，即k＜1时，△＞0，方程x2－2x+k=0有两个不相等的实数根，
当1－k=0时，即k=1时，△=0，方程x2－2x+k=0有两个相等的实数根，
当1－k＜0时，即k＞1时，△＜0，方程x2－2x+k=0无实根。
2．已知：关于x的方程 有两个不相等的实数根。
求k的取值范围。
解：∵关于x的方程有两个不相等的实数根。
∴此方程中二次项的系数k≠0并且△＞0
即
解得
3．已知：关于x的方程有实根，求k的取值范围。
分析：当k≠0时，该方程是关于x的二次方程，它有实根，则△≥0；
当k=0时，原方程化为x的一元一次方程。
解：
(1)当k=0时，原方程化为x=0；
(2)当k≠0时，△=(k+1)2-k2=2k+1≥0
解得
由(1)、(2)，
二、要点2的应用
4．已知关于x的方程 kx2-2 (k+1) x+k-1=0 有两个不相等的实数根，
(1) 求k的取值范围；
(2) 是否存在实数k，使此方程的两个实数根的倒数和等于0 ？
若存在，求出k的值；若不存在，说明理由.
解： (1) ∵方程有两个不相等的实数根，
∴Δ=[-2(k＋1)]2－4k(k-1)＞0，且k≠0，解得 ，且k≠0 .
即k的取值范围是，且k≠0 .
(2) 假设存在实数k，使得方程的两个实数根x1 , x2的倒数和为0.
则x1 ，x2不为0，且 ，即 ，且 ，解得k=-1 .
而k=-1 与方程有两个不相等实根的条件，且k≠0矛盾，
故使方程的两个实数根的倒数和为0的实数k不存在.
5．关于x的方程x2－(2k＋1)x＋k2＝0。
(1) 如果方程有实数根，求k的取值范围。
(2)设x1、x2是方程的两根，且 ，求k的值。
解：(1) ∵方程有实数根 ∴△≥0 即 [(2k＋1)]2－4k2≥0
4k2＋4k＋1－4k2≥0 ∴4k＋1≥0 ∴k≥
(2) 解：∵x、x2是方程的两根 ∴x1＋x2＝2k＋1，x1·x2＝k2
∵ 又∵ ∴
∴ ， 又∵k≥ ∴应舍去，k＝
三、综合要点1，2的应用
6．已知： x1、x2是关于x的方程x2＋（2a－1）x＋a2＝0的两个实数根，且（x1＋2）（x2＋2）＝11，求a的值。
解：∵x1、x2是方程x2＋（2a－1）x＋a2＝0的两个实数根，
∴x1＋x2＝1－2a，x1﹒x2＝a2
∵（x1＋2）（x2＋2）＝11， ∴x1x2＋2（x1＋x2）＋4＝11
∴a2＋2（1－2a）－7＝0，即a2－4a－5＝0。
解得a＝－1，或a＝5。
又∵Δ＝（2a－1）2－4a2＝1－4a≥0，
∴a≤ 。 ∴a＝5不合题意，舍去。
∴a＝－1
7．已知：关于x的一元二次方程x2+2(2－m)x+3－6m=0
求证：无论m取什么实数，方程总有实数根。
证明：∵△=[2(2-m)]2-4(3-6m)=4[(2-m)2-(3-6m)]
=4(m2-4m+4-3+6m) =4(m2+2m+1)
=4(m+1)2≥0
∴无论m取什么实数，方程总有实数根。
8．已知：a、b、c为实数，
求证：关于x的一元二次方程(x-a)(x-b)+(x-b)(x-c)+(x-c)(x-a)=0恒有实数根。
证明：原方程化为：3x2－2(a+b+c)x+(ab+bc+ca)=0
∴△=[-2(a+b+c)]2－12(ab+bc+ca)
=4(a2+b2+c2－ab－bc－ca)
=2[(a2－2ab+b2)+(b2－2bc+c2)+(c2－2ca+a2)]
=2[(a－b)2+(b－c)2+(c－a)2]
∵a、b、c为实数
∴(a-b)2≥0,(b-c)2≥0,(c-a)2≥0
∴△≥0
∴原方程恒有实数根。
9．求函数 中y的取值范围。
解：
∴y(x2－2x－3)=x2
∴(y－1)x2－2yx－3y=0
(1)当y=1时，方程化为2x+3=0，
(2)当y≠1时，
△=4y2+12y(y-1)=4y(4y-3)≥0
即 解得y≤0或
由(1)、(2)，∴y的取值范围是 .
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