一、作已知角的平分线的方法：
已知：∠AOB．
求作：∠AOB的平分线．
作法：
（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于M、N．
（2）分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画弧．两弧在∠AOB内部交于点C．（3）画射线OC，射线OC即为所求．
思考：
1．在上面作法的第二步中，去掉“大于
MN的长”这个条件行吗？2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
总结：
1．去掉“大于
MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．2．若分别以M、N为圆心，大于
MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是
∠AOB的平分线了，而是其反向延长线．
3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
4．这种作法的可行性可以通过全等三角形SSS判定来证明．
二、基本图形“双垂直”
本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
1、 如图，
，
与
的面积相等．求证：OP平分
．
分析：观察已知条件中提到
与，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定结论可得。证明：作
于M，
于N
，，且
又
又
平分2、如图，
，E是BC的中点，DE平分
．求证：AE是
的平分线．
分析: 在初一学习平行线时就围绕这个图做过很多练习，当时我们证明过DE垂直AE等。还是这个图条件变了，由角平分线条件不难想到做辅助线构造“双垂直”的基本图形，用“角平分线性质”推得距离相等，再由另一侧距离相等用“角平分线判定”AE为角平分线。
证明：作
于F
平分，
，
又
E是BC的中点
又
，
AE是的平分线三、角平分线与对称翻折
有时候，不一定要构造“双垂直”的图形，可以利用沿角平分线翻折得到关于角平分线对称的全等三角形。
3、已知：如图，在ΔABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D．求证：∠BAD=∠DAE+∠C．
分析：题目中没有角平分线上的点到任何一边的垂线段，观察要证的结论发现，可以通过将
翻折下来从而将∠DAE和∠C放在一个三角形中，利用外角可求和。另外也可以单纯导角得到结果。证明：（法1）延长AD交BC于F
平分
=
在
与
中
又
(法2)(仔细观察发现没必要证明两三角形全等)
又
(法3)(进一步观察发现本题也无需辅助线)
即
而
又
（∵BE是∠ABC的平分线）4、如图，
，BD平分，且
．探究
与的数量关系，并证明你的结论．分析：利用角平分线进行翻折，构造全等三角形，使得
与产生关系。
证明：在BC上取点E，使BE=AB，连结DE
BD平分在
和
中
又
（此处提前用到了等腰三角形等边对等角的性质，可由作等腰三角
形DEC的底边高线证明两边全等得到）
又
四、角平分线与垂直平分线综合
5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．（1）求证：BE=CF．
（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的大小
（用含有a、b的式子表示）．
证明：（1）连结BD、CD
DG⊥BC，且平分BC于G
（此处提前用到了垂直平分线的性质，即垂直平分线上的点到线段两端距离相等，
可由证明
得到）AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
，
在
和
中
（2）
AD平分∠BAC
同理：
即AD平分
又
而AE=AB-BE=a-BE，AF=AC+CF=b+CF
a-BE= b+CF又
，AE=a-BE=a-=
