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[组图]角平分线性质

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角平分线性质
一、作已知角的平分线的方法：
　　已知：∠AOB．
　　求作：∠AOB的平分线．
　　作法：
　　（1）以O为圆心，适当长为半径画弧，分别交OA、OB于M、N．
　　（2）分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧．两弧在∠AOB内部交于点C．
　　（3）画射线OC，射线OC即为所求．

　　　　　　　　　　　　　　　
　　思考：
　　1．在上面作法的第二步中，去掉“大于MN的长”这个条件行吗？
　　2．第二步中所作的两弧交点一定在∠AOB的内部吗？
　　（设计这两个问题的目的在于加深对角的平分线的作法的理解，培养数学严密性的良好学习习惯）
　　总结：
　　1．去掉“大于MN的长”这个条件，所作的两弧可能没有交点，所以就找不到角的平分线．
　　2．若分别以M、N为圆心，大于MN的长为半径画两弧，两弧的交点可能在∠AOB的内部，也可能在
　 　　∠AOB的外部，而我们要找的是∠AOB内部的交点，否则两弧交点与顶点连线得到的射线就不是
　 　　∠AOB的平分线了，而是其反向延长线．
　　3．角的平分线是一条射线．它不是线段，也不是直线，所以第二步中的两个限制缺一不可．
　　4．这种作法的可行性可以通过全等三角形SSS判定来证明．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　

二、基本图形“双垂直”
　　本节常用辅助线是围绕角平分线性质构造双垂直（需对其对称性形成感觉）。
　　1、 如图，，与的面积相等．求证：OP平分．
　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：观察已知条件中提到与，显然与全等无关，而面积相等、底边相等，于是自然想到可得两三角形的高线相等，联系到角平分线判定结论可得。
　　证明：作于M，于N
　　　　　，，且
　　　　　
　　　　　又
　　　　　
　　　　　又
　　　　　平分

　　2、如图，，E是BC的中点，DE平分．求证：AE是的平分线．
　　分析: 在初一学习平行线时就围绕这个图做过很多练习，当时我们证明过DE垂直AE等。还是这个图条件变了，由角平分线条件不难想到做辅助线构造“双垂直”的基本图形，用“角平分线性质”推得距离相等，再由另一侧距离相等用“角平分线判定”AE为角平分线。
　　证明：作于F
　　　　　平分，，
　　　　　
　　　　　又 E是BC的中点
　　　　　
　　　　　
　　　　　又，
　　　　　AE是的平分线

三、角平分线与对称翻折
　　有时候，不一定要构造“双垂直”的图形，可以利用沿角平分线翻折得到关于角平分线对称的全等三角形。
　　3、已知：如图，在ΔABC中，BE是∠ABC的平分线，AD⊥BE，垂足为D．
　　　　　　求证：∠BAD=∠DAE+∠C．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　分析：题目中没有角平分线上的点到任何一边的垂线段，观察要证的结论发现，可以通过将翻折下来从而将∠DAE和∠C放在一个三角形中，利用外角可求和。另外也可以单纯导角得到结果。
　　证明：（法1）延长AD交BC于F
　　　　　平分
　　　　　
　　　　　
　　　　　 =
　　　　　在与中
　　　　　
　　　　　
　　　　　又
　　　　　
　　　　　(法2)(仔细观察发现没必要证明两三角形全等)
　　　　　
　　　　　又
　　　　　
　　　　　(法3)(进一步观察发现本题也无需辅助线)
　　　　　
　　　　　即
　　　　　而
　　　　　
　　　　　又（∵BE是∠ABC的平分线）
　　　　　

　　4、如图，，BD平分，且．探究与的数量关系，并证明你的结论．
　　分析：利用角平分线进行翻折，构造全等三角形，使得与产生关系。
　　证明：在BC上取点E，使BE=AB，连结DE
　　　　　BD平分
　　　　　
　　　　　在和中
　　　　　
　　　　　
　　　　　又
　　　　　
　　　　　
　　　　　（此处提前用到了等腰三角形等边对等角的性质，可由作等腰三角
　　　　　　形DEC的底边高线证明两边全等得到）
　　　　　又
　　　　　

四、角平分线与垂直平分线综合
　　5、如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC，且平分BC于G，DE⊥AB于E，DF⊥AC延长线于F．
　　（1）求证：BE=CF．
　　（2）如果AB=a，AC=b，求AE、BE的大小
　　 （用含有a、b的式子表示）．
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：（1）连结BD、CD
　　　　　　　 DG⊥BC，且平分BC于G
　　　　　　　 （此处提前用到了垂直平分线的性质，
　　　　　　　 即垂直平分线上的点到线段两端距离相等，
　　　　　　　 可由证明得到）
　　　　　　　 AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC
　　　　　　　 ，
　　　　　　　 在和中
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　（2） AD平分∠BAC
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　
　　　　　　　 同理：
　　　　　　　
　　　　　　　 即AD平分
　　　　　　　 又
　　　　　　　
　　　　　　　 而AE=AB-BE=a-BE，AF=AC+CF=b+CF
　　　　　　　 a-BE= b+CF
　　　　　　　 又
　　　　　　　 ，AE=a-BE=a-=

来源：中国哲士网

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