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[组图]旋  转

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旋  转
【内容提要】
1、 定义:
  把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转.点O叫做旋转中心,转动的角叫做旋转角.
  注:根据旋转的概念可知,旋转变换包括三个方面的要素,即旋转中心、旋转方向和旋转角度.

2、旋转的性质:
  ①旋转后的图形与原图形是全等的;
  ②旋转前后两个图形对应点到旋转中心的距离相等;
  ③对应点与旋转中心所连线段的夹角都等于旋转角;

3、中心对称
  (1)概念:把一个图形绕着某一个点旋转180°,如果它能够与另一个图形重合,那么就关于说这两个
   图形关于这个点对称或中心对称,这个点叫做对称中心,这两个图形中的对应点叫做中心的对称点。
  (2)性质:中心对称是一种特殊的旋转(旋转角为180°),满足旋转的性质,由旋转的性质可以得到
   中心对称性质:
     ①关于中心对称的两个图形是全等的;
     ②对称点所连线段经过对称中心;
     ③对称点所连线段被对称中心平分.

4、平移、旋转、轴对称的区别和联系
  学习旋转变换与学习平移、轴对称的过程基本一致,主要都是研究变换过程中的不变量,是研究几何问题、发现几何结论的有效工具. 平移、轴对称、旋转都是全等变换,只改变图形的位置,不改变图形的形状和大小. 由于变换方式的不同,故变换前后具有各自的性质.
  平移 轴对称 旋转
相同点 都是全等变换,即变换前后的图形全等.
不同点 定义 把一个图形沿某一方向移动一定距离的图形变换,叫~. 把一个图形沿着某一条直线折叠的图形变换叫~. 把一个图形绕着某一定点转动一个角度的图形变换叫~.
图形

要素
平移方向
平移距离
对称轴 旋转中心、旋转方向、
旋转角度
性质 连接各组对应点的线段平行(或共线)且相等. 任意一对对应点所连线段被对称轴垂直平分. 对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 即:对应点与旋转中心连线所成的角彼此相等.

5、旋转与中心对称
  中心对称是一种特殊的旋转(旋转180°),满足旋转的性质,由旋转的性质可以得到中心对称性质.
  旋转 中心对称

性质 1 对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角. 对称点所连线段都经过对称中心.
2 对应点到旋转中心的距离相等. 对称点所连线段被对称中心所平分.
3 旋转前、后的图形全等. 关于中心对称的两个图形是全等图形

【典型例题】
1、利用旋转的性质确定一个旋转变换的旋转中心、旋转角,探索图形之间的变换关系.
  1、如图,在平面直角坐标系中,△ABC和△DEF为等边三角形,AB=DE,点B、C、D在x轴上,点A、E、F在y轴上,下面判断正确的是( )
  A.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转90°得到的
  B.△DEF是△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的
  C.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转60°得到的
  D.△DEF是△ABC绕点O顺时针旋转120°得到的
  解:选A,也可以绕点O逆时针旋转270°。

  2、以图1的右边缘所在直线为轴将该图案向右翻折180°后,再按顺时针方向旋转180°,所得到的图形是( )
     
  解:选A。

2、利用旋转、中心对称的性质作图.
  3、在如图1的方格纸中,每个小方格都是边长为1个单位的正方形,△ABC的三个顶点都在格点上(每个小方格的顶点叫格点).出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的△A1B1C1,并求AA1的长.
      
  解:如图2,△A1B1C1记为所求,AA1=

  4、已知:如图,试用一条直线把图形分成面积相等的两部分(至少三种方法).
  [分析]利用过中心对称图形的对称中心的直线等分该图形的面积。
  解:
  

3、运用图形变换的思想解决问题.
  5、如图,以等腰直角三角形ABC的斜边AB为边向内作等边△ABD,连结DC,以DC为边作等边△DCE.B、E在C、D的同侧,若AB=,则BE=____________.
  解:∵在等边△ABD中,BD=AD,∠ADB=60°,
    在等边△CDE中,DE=CD,∠CDE=60°,
    ∴∠BDE=∠ADC=60°-∠BDC.
    ∴△BDE≌△ADC.
    ∴BE=AC
    ∵在等腰Rt△ABC中,AB=,∴AC=1,∴BE=1.
  [小结]我们可以看成把△BDE绕点D顺时针旋转60°,得到△ADC.

  6、如图,在四边形ABCD中,∠ADC=∠ABC=90°, AD=CD,DP⊥AB于P,若四边形ABCD的面积是16,求DP的长.
  [分析] 根据AD=CD,∠ADC=90°,试想将△APD绕点D逆时针旋转90°,得到△CED,可证四边形DPBE为正方形,但比较麻烦,不如先将四边形DPBC补成一个正方形。
  解:过点D作DE⊥BC于点E,
    ∵DP⊥AB,∴∠DPB=∠DEB=90°,
    ∵∠ABC=90°,
    ∴四边形DPBE是矩形,∴∠PDE=90°,即∠CDE+∠CDP=90°
    ∵∠ADC=∠ADP+∠CDP=90°,
    ∴∠ADP=∠CDE
    ∵AD=CD, ∠APD=∠CED=90°,
    ∴△ADP≌△CDE
    ∴DP=DE.
    ∴矩形DPBE是正方形.
    ∵
    ∴DP=4.

  7、如图,设P是等边三角形ABC内一点,PB=3,PA=4,PC=5,求∠APB的度数.
  [分析]要将题目条件中的三条线段尽可能集中在一个三角形中,而且出现等腰(或等边)三角形就可以利用旋转思想来构造全等三角形。
  解:∵△ABC为等边三角形,∴AB=AC,∠BAC=60°.
    将△PAB绕点A逆时针旋转60°,得到△DAC,
    ∴△PAB≌△DAC.
    ∴PA=AD=4,PB=CD=3,∠APB=∠ADC.
    ∵在Rt△PCD中,PC=5,
    ∴.
    ∴∠PDC=90°.
    ∵PA=AD,∠PAD=60°,
    ∴△PAD为等边三角形.
    ∴∠PDA=60°.
    ∵∠ADC=∠PDA+∠PDC=150°,
    ∴∠APB=150°.

  8、如图,在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,AD=CD. 求证:BD2=AB2+BC2.
  [分析]利用AD=CD可以将△BCD绕点D逆时针 旋转60°,从而把条件集中到一个三角形中。
  证明:∵AD=CD,∠ADC=60°,
     ∴△BCD绕点D逆时针旋转60°,得到△EAD,
     ∴∠BDE=∠CDA=60°,△BCD≌△EAD.
     ∴BC=AE, BD=DE,∠DAE=∠DCB
     ∴△BDE为等边三角形.
     ∴BE=BD.
     ∵在四边形ABCD中,∠ABC=30°,∠ADC=60°,
     ∴∠DCB+∠DAB=270°,即∠DAE+∠DAB=270°.
     ∴∠BAE=90°.
     ∵在Rt△BAE中,
     ∴

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