一、分式的概念
1．定义：
一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子
就叫做分式．其中，A叫做分式的分子，B叫做分式的分母． 对于任意一个分式，分母都不能为零．
1、下列代数式中哪些是分式？（1）
，（2）
，（3）
，（4）
，（5）
，（6）
，（7）
．答：分式有(1)(3)(6)(7)。
其中(2)为单项式，系数为
；(4)为一次多项式，即
；(5)是一个无理数，单独一个数字属于单项式范畴；(6)不能认为能把分母约掉就不是分式，应根据它的原有形式进行判断．2．对于分式的概念，要注意以下四点：
（1）分式表示两个整式相除的商式；
（2）分式
中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母，但B中必须含有字母且不为0；（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根据它的原有形式进行判断．
（4）分式有无意义的条件：在分式
中，①当B≠0时，分式有意义；当分式有意义时，B≠0．
②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0．
③当B≠0且A = 0时，分式的值为零．
2、下列分式中的字母满足什么条件时，分式有意义？（1）
；（2）
；（3）
；（4）
．解：(1)
(2)
(3)
(4)x为任何实数分式都有意义。3、当
是什么数时，下列分式的值是0？（1）
（2）
（3）
（4）
（5）
（6）
．解：(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
二、分式的基本性质
1．分式的基本性质：
分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变．用式子表示为：
，
，其中A、B、C是整式且
≠0．注意：因为C是一个含有字母的代数式，其取值是任意实数，所以C就有等于0的可能性．因此运用分式的基本性质时，要考查C的值是否为0．
2．分式的变号法则：
分式的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变，即
，
．3．通分：
利用分式的基本性质，使分子和分母同乘适当的整式，不改变分式的值，把几个分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做通分．
通分的关键是确定几个分式的公分母——系数取几个分母的系数的最小公倍数，因式的次数取相同因式的最高次数．
4．约分：
利用分式的基本性质，约去分式的分子和分母的公因式，不改变分式的值，这样的分式变形叫做约分．
约分的关键是确定分子与分母的公因式——系数取分子、分母系数的最大公约数，因式的次数取分子、分母中相同因式的最低次数．
进行约分时，应注意以下几点：
（1）当分式的分子与分母都是单项式时，可直接约分．
（2）当分式的分子与分母有多项式时，先进行因式分解，再进行约分．
（3）当分式的分子或分母的系数有负数时，可利用分式的基本性质，最多只让分式的前面出现符号．
（4）约分的结果应化为最简分式．
4．约分：（1）
；（2）
；（3）
．分析：①定符号：只把负号留给分式．
②定最大公约式：相同字母（或多项式）的最低次幂和系数的最大公约数．
(ⅰ)单项式：先写成乘积形式、后约分．
(ⅱ)多项式：先分解因式、再约分．
解：（1）
（2）
（3）
小结约分的步骤：（1）定号；（2）定式．
5．通分：（1）
与
；（2）
与
；（3）
与
．解：（1）最简公分母是
．
； 
．（2）最简公分母是
．
； 
．（3）最简公分母是
．；
．小结最简公分母的步骤：
（1）取所有分母中出现的字母或整式；
（2）系数取最小公倍数；
（3）指数取最大的；
（4）先定号、化整系数，乘积作为公分母．
三、提高题
6．若实数
、
满足：
，则
的值为__________．分析：本题可有两种解法．解法1：根据分式的基本性质，把待求值式的分子和分母分别除以
，再进行适当的变形，使之出现条件式，把条件式整体代入即可得解；解法2：对条件式进行变形，可得
，整体代入待求值式即可．解法1：由
知，∴
=
．解法2：由
知
，
，∴．∴
=．7．已知
，求
的值．解：设
=
，则
，
，
．∴
=
．8．已知
，，
，求
的值．分析：由已知条件取倒数可得
，把待求值式取倒数化成
的代数式，进而求值．解：将已知条件的两边分别取倒数，得
即
①＋②＋③，得
=6．把待求值式取倒数，得
==6，∴
．9．（1）已知
，求
的值．（2）若
，求
的值．分析：（1）
中的两项恰有对称性，且互为倒数，由此联想到完全平方公式即
，∴=
．从而求得；（2）求
，只要求出的值，然后求倒数即可．解：（1）∵
，又∵x≠0，两边同除以x，得
，即．∴
==
（2）解法一：由
，两边平方，得
，∴=7．又∵
，∴
．解法二：由
，两边平方，得，∴=7．将所求分式的分子、分母都除以
，得=
．说明:求代数式的值的问题方法很多,要求同学们在解题中不断地归纳总结,如本题利用了整体代入的思想．
