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一次函数练习卷
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[组图]四边形总复习

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四边形总复习（一）
一．知识结构
　　　　　　　　
　　

二．突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合．
　　在本章，重点研究了一些特殊的四边形，由于涉及的图形比较多，因此，本章涉及的图形的性质和判定方法也比较多．教学时要注意突出图形性质的探索过程，重视直观操作和逻辑推理的有机结合，通过各种手段，如观察度量、实验操作、图形变换、逻辑推理等来探索图形的性质．
【实践案例】
　　如教学“平行四边形的性质”
　　(1)平行四边形是中心对称图形，对角线的交点是它的对称中心：
　　(2)平行四边形的对边平行且相等：
　　(3)平行四边形的对角相等，邻角互补：
　　(4)平行四边形的对角线互相平分．

　　再如教学“平行四边形的判定方法”
　　

　　再如教学矩形
　　矩形定义：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
　　矩形的性质：(1)具有平行四边形的所有性质；
　　　　　　　　(2)对角线相等；
　　　　　　　　(3)四个角都是直角；
　　　　　　　　(4)是轴对称图形，它有两条对称轴．
　　矩形的判定方法：(1)有一个角是直角的平行四边形；
　　　　　　　　　　(2)有三个角是直角的四边形；
　　　　　　　　　　(3)对角线相等的平行四边形；
　　　　　　　　　　(4)对角线相等且互相平分的四边形．

[实践案例]
　　以下是平行四边形、矩形、菱形、正方形的知识点对比．
名称 定义 性质 判定 面积
平
行
四
边
形		 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。 ①对边平行；
②对边相等；
③对角相等；
④邻角互补；
⑤对角线互相平分；⑥是中心对称图形		 ①定义；
②两组对边分别相等的四
　边形；
③一组对边平行且相等的
　四边形；
④两组对角分别相等的四
　边形；
⑤对角线互相平分的四边
　形。		 S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)
矩
形		 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形 除具有平行四边形的性质外，还有：①四个角都是直角；②对角线相等；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 ①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③定义。 S=ab(a为一边长，b为另一边长)
菱
形		 有一组邻边相等的平行四边形叫做菱形。 除具有平行四边形的性质外，还有①四条边相等；②对角线互相垂直，且每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 ①四条边相等的四边形是菱形；②对角线垂直的平行四边形是菱形；③定义。 ①S=ah(a为一边长，h为这条边上的高)；
②(b、c为两条对角线的长)
正
方
形		 有一组邻边相等且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形 具有平行四边形、矩形、菱形的性质：①四个角是直角，四条边相等；②对角线相等，互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；③既是中心对称图形又是轴对称图形。 ①有一组邻边相等的矩形是正方形；②有一个角是直角的菱形是正方形；③定义。 ①(a为边长)；
②(b为对角线长)
　　另外教学时要求让学生自行完成一些判定定理、性质定理的证明，有利于学生深刻理解概念的本质属性、概念之间的复杂的联系。

三．精典例题解答：
　　1．已知：如图，E、F是平行四边形ABCD的对角线AC上的两点，AE=CF。
　　　　　　求证：（1）△ADF≌△CBE；（2）EB∥DF。
　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：（1）∵ AE=CF
　　　　　　　 ∴ AE+EF=CF+FE 即 AF=CE
　　　　　　　 又ABCD是平行四边形，
　　　　　　　 ∴ AD=CB，AD∥BC
　　　　　　　 ∴ ∠DAF=∠BCE
　　　　　　　 在△ADF与△CBE中
　　　　　　　
　　　　　　　 ∴ △ADF≌△CBE（SAS）
　　　　　（2）∵ △ADF≌△CBE
　　　　　　　 ∴ ∠DFA=∠BEC
　　　　　　　 ∴ DF∥EB

　　2．如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是直线AC上的两点，并且AE=CF，求证：四边形BFDE是平行四边形。
　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：∵ 四边形ABCD是平行四边形
　　　　　∴ OA=OC，OB=OD
　　　　　又∵ AE=CF
　　　　　∴ OA+AE=OC+CF 即 OE=OF
　　　　　∴ 四边形BFDE是平行四边形

　　3．如图，在梯形纸片ABCD中，AD∥BC，AD>CD，将纸片沿过点D的直线折叠，使点C落在AD上的点C’处，折痕DE交BC于点E，连结。
　　求证：四边形是菱形。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：根据题意可知
　　　　　则 ，，
　　　　　∵ AD∥BC
　　　　　∴
　　　　　∴ ∠CDE=∠CED
　　　　　∴ CD=CE
　　　　　∴
　　　　　∴ 四边形为菱形

　　4．把正方形ABCD绕着点A，按顺时针方向旋转得到正方形AEFG，边FG与BC交于点H（如图）。试问线段HG与线段HB相等吗？请先观察猜想，然后再证明你的猜想。
　　　　　　　　　 　　　　　　　　　　
　　解：HG=HB。
　　　　证法1：连结AH，
　　　　　　　 ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形
　　　　　　　 ∴ ∠B=∠G=90°
　　　　　　　 由题意知AG=AB，又AH=AH
　　　　　　　 ∴ Rt△AGH≌Rt△ABH（HL）
　　　　　　　 ∴ HG=HB
　　　　证法2：连结GB
　　　　　　　 ∵ 四边形ABCD，AEFG都是正方形
　　　　　　　 ∴ ∠ABC=∠AGF=90°
　　　　　　　 由题意知AB=AG
　　　　　　　 ∴ ∠AGB=∠ABG
　　　　　　　 ∴ ∠ABC-∠ABG =∠AGF-∠AGB 即∠HBG=∠HGB
　　　　　　　 ∴ HG=HB

　　5．如图，正方形ABCD绕点A逆时针旋转n°后得到正方形AEFG，边EF与CD交于点O。　　　　
　　（1）以图中已标有字母的点为端点连结两条线段（正方形的对角线除外），要求所连结的两条线段相
　　　　 交且互相垂直，交说明这两条线段互相垂直的理由；
　　（2）若正方形的边长为2cm，重叠部分（四边形AEOD）的面积为，求旋转的角度n。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）我连结的两条相交且互相垂直的线段是____AO____和____DE____。
　　　　　　 理由如下：
　　　　　　 ∵ 在Rt△ADO与Rt△AEO中，AD=AE，AO=AO，
　　　　　　 ∴ Rt△ADO≌Rt△AEO
　　　　　　 ∴ ∠DAO=∠OAE（即AO平分∠DAE）
　　　　　　 ∴ AO⊥DE（等腰三角形的三线合一）
　　　　　　 注：其它的结论也成立如GD⊥BE。
　　　　（2）∵ 四边形AEOD的面积为
　　　　　　 ∴ 三角形ADO的面积=
　　　　　　 ∵ AD=2
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∴ ∠DAO=30°
　　　　　　 ∴ ∠EAB=30°即旋转的角度是30°

　　6．四边形ABCD、DEFG都是正方形，连接AE、CG。
　　（1）求证：AE=CG；
　　（2）观察图形，猜想AE与CG之间的位置关系，并证明你的猜想。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：（1）如图，
　　 　　　　　∵ AD=CD，DE=DG，∠ADC=∠GDE=90°
　　 　　　　　又 ∠CDG=90°+∠ADG=∠ADE
　　 　　　　　∴ △ADE≌△CDG
　　 　　　　　∴ AE=CG
　　　　　（2）猜想：AE⊥CG。
　　 　　　　　证明：如图，设AE与CG交点为M，AD与CG交点为N
　　 　　　　　　　　∵ △ADE≌△CDG
　　 　　　　　　　　∴ ∠DAE=∠DCG
　　 　　　　　　　　又∵ ∠ANM=∠CND
　　 　　　　　　　　∴ △AMN∽△CDN
　　 　　　　　　　　∴ ∠AMN=∠ADC=90°
　　 　　　　　　　　∴ AE⊥CG

　　7．已知：如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC，垂足为点D，AN是△ABC外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为点E，
　　（1）求证：四边形ADCE为矩形；
　　（2）当△ABC满足什么条件时，四边形ADCE是一个正方形？并给出证明。
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：（1）在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC
　　　　　　　 ∴ ∠BAD=∠DAC
　　　　　　　 ∵ AN是△ABC外角∠CAM的平分线
　　　　　　　 ∴ ∠MAE=∠CAE
　　　　　　　 ∴
　　　　　　　 又∵ AD⊥BC，CE⊥AN
　　　　　　　 ∴ ∠ADC=∠CEA=90°
　　　　　　　 ∴ 四边形ADCE为矩形
　　　　　（2）当时（答案不唯一），四边形ADCE是正方形。
　　　　　　　 证明：∵ AB=AC，AD⊥BC于D
　　　　　　　 　　　∴
　　　　　　　 　　　又
　　　　　　　 　　　∴ DC=AD
　　　　　　　 　　　由（1）四边形ADCE为矩形
　　　　　　　 　　　∴ 矩形ADCE是正方形

　　8．将平行四边形纸片ABCD按如图方式折叠，使点C与A重合，点D落到处，折痕为EF。
　　（1）求证：△ABE≌△AD′F；
　　（2）连接CF，判断四边形AECF是什么特殊四边形？证明你的结论。
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　证明：（1）由折叠可知：，，
　　　　　　　 ∵ 四边形ABCD是平行四边形
　　　　　　　 ∴ ∠B=∠D，AB=CD，∠C=∠BAD
　　　　　　　 ∴ ∠B=∠D′，AB=AD′
　　　　　　　 ∠D′AE=∠BAD，即∠1+∠2=∠2+∠3
　　　　　　　 ∴ ∠1=∠3
　　　　　　　 ∴ △ABE≌△AD′F
　　　　　（2）四边形AECF是菱形。
　　　　　　　 由折叠可知：AE=EC，∠4=∠5
　　　　　　　 ∵ 四边形ABCD是平行四边形
　　　　　　　 ∴ AD∥BC
　　　　　　　 ∴ ∠5=∠6
　　　　　　　 ∴ ∠4=∠6
　　　　　　　 ∴ AF=AE
　　　　　　　 ∵ AE=EC
　　　　　　　 ∴ AF=EC
　　　　　　　 又∵ AF∥EC
　　　　　　　 ∴ 四边形AECF是平行四边形
　　　　　　　 ∵ AF=AE
　　　　　　　 ∴ 四边形AECF是菱。

　　9．如下图，已知P正方形ABCD的对角线AC上一点(不与A、C重合)，PE⊥BC于点E，PF⊥CD于点F．
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　（1）求证：BP=DP；
　　（2）若四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，在旋转过程中是否总有BP=DP？若是，请给予证明；若不
　　　　 是，请用反例加以说明；
　　（3）试选取正方形ABCD的两个顶点，分别与四边形PECF的两个顶点连结，使得到的两条线段在四边
　　　　 形PECF绕点C按逆时针方向旋转的过程中长度始终相等，并证明你的结论．
　　思路分析：（1）解法一：在△ABP与△ADP中，利用全等可得BP=DP．
　　 　　　　　　　 解法二：利用正方形的轴对称性，可得BP=DP．
　　 　　　　　（2）不是总成立．当四边形PECF绕点C按逆时针方向旋转，点P旋转到BC边上时，
　　　　 　　　　　 DP>DC>BP，此时BP=DP不成立．
　　　　 　　　　　 说明：未用举反例的方法说理的不得分．
　　　　　　　 （3）连接BE、DF，则BE与DF始终相等．
　　　　 　　　　　 在图中，可证四边形PECF为正方形，
　　　　 　　　　　 在△BEC与△DFC中，可证△BEC≌△DFC．
　　　　 　　　　　 从而有BE=DF

　　10．为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．
　　提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．
　　
　　解：以下为不同情形下的部分正确画法，答案不唯一．


　　11．如图，等腰梯形ABCD中，AB=15，AD=20，∠C=30°。点M、N同时以相同速度分别从点A、点D开始在AB、AD（包括端点）上运动。
　　（1）设ND的长为x，用x表示出点N到AB的距离，并写出x的取值范围。
　　（2）设，用t表示△AMN的面积。
　　（3）求△AMN的面积的最大值，并判断取最大值时△AMN的形状。

　　解：（1）过点N作BA的垂线NP，交BA的延长线于点P。
　　　　　　 由已知：，。
　　　　　　 ∵ 四边形ABCD是等腰梯形，AB∥CD，∠D=∠C=30°，
　　　　　　 ∴ ∠PAN=∠D=30°。
　　　　　　 在Rt△APN中，，
　　　　　　 即点N到AB的距离为。
　　　　　　 ∵ 点N在AD上，，点M在AB上，，
　　　　　　 ∴ x的取值范围是。
　　　　（2）根据（1），。
　　　　（3）∵ ，∴ 当t=0时，即x=10时，有最大值25。
　　　　　　 当x=10时，即ND=AM=10，AN=AD-ND=10，即AM=AN。
　　　　　　 此时，△AMN为等腰三角形。

　　12．（08通州22改编）如图，在ABCD中，AB=8cm，AD=6cm，∠DAB=60°，点M是边AD上一点，且DM=2cm，点E、F分别是边AB、BC上的点，EM、CD的延长线交于G，GF交AD于O，设AE=CF=x，
　　（1）试用含x的代数式表示△CGF的面积；
　　（2）当GF⊥AD时，求AE的值。
　　　　　　　　　　　　　　　
　　解：（1）∵ 在平行四边形ABCD中CD=AB=8，BC=AD=6
　　　　　　 ∵ DM=2，AD=6，∴ AM=4，
　　　　　　 取AM、ME中点P、Q，则由中位线定理知，PQ∥AE且。
　　　　　　 由AE∥GD可得PQ∥GD从而△DGM≌△PQM
　　　　　　 ∴ ，
　　　　　　 过点F作FN⊥CD于N，
　　　　　　 ∵ ∠C=∠A=60°，CF=x
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∴
　　　　（2）当GF⊥AD时，
　　　　　　 ∵ AD∥BC，∠GDA=∠A=60°
　　　　　　 ∴ ∠OGD=30°，GF⊥BC
　　　　　　 ∴ 在Rt△GFC中，
　　　　　　 即：
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∴
　　　　　　 ∴ 当GF⊥AD时，

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